精品解析：福建省宁德市柘荣县第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

2024-2025学年柘荣一中第二学期高一第一次月考数学试题 本试卷共19题．考试时间120分钟，满分150分． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合运算法则计算． 【详解】由题意，因此， 故选：A． 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到，结合特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得 . 故选：C. 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指对数函数及正弦函数的性质判断大小关系即可. 【详解】由，即. 故选：A 4. 若一个扇形的弧长为4，面积为2，则这个扇形中心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形的弧长及面积公式列方程求中心角弧度. 【详解】令扇形中心角为，半径为，则，可得. 故选：D 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数图象性质排除选项AB，然后根据特殊值的符号排除D. 【详解】由题意得设，函数的定义域为， ，所以函数为奇函数. 对A、B：由图象可知函数为偶函数，因为函数为奇函数，故A、B错误； 对C、D：由图象可知函数为奇函数，令，得，故D错误，故C正确. 故选：C 6. 式子（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算即得. 【详解】 . 故选：C. 7. 已知函数的图象是在上连续不断的曲线，在区间项上单调递增，且满足，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过条件分析函数具有的性质，再把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】由得：的图象关于点对称； ； 又在上连续不断，且在上单调递增， 所以在上单调递增. . 故选：B 8. 设为上的奇函数，则当时，“单调递增”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 必要不充分 C. 充分不必要 D. 不充分不必要 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分，必要条件的定义举反例求解即可 【详解】若， 如图： 当时，单调递增不能推出； 若 如图： 当时， 不能推出单调递增； 所以“单调递增”是“”的不充分不必要条件， 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定为“，使得” B. 函数的定义域是 C. 函数且的图象经过定点 D. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时 【答案】BD 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题写出命题的否定判断A；由分式、对数的性质求函数定义域判断B；根据指数的性质求函数所过的定点判断C；应用偶函数性质求函数解析式判断D. 【详解】对于A选项，命题“，都有”为全称量词命题， 该命题的否定为“，使得”，A错； 对于B选项，对于函数，有， 解得且，故函数的定义域是，B对； 对于C选项，对于函数且，， 所以，函数且图象经过定点，C错； 对于D选项，因为函数是定义在上的偶函数，当时， 当时，，则，D对. 故选：BD. 10. 已知实数满足且，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则对任意实数， B. 若，则 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用特殊值判断A；作差法判断B；应用基本不等式“1”的代换求最小值判断C；由且求最小值判断D. 【详解】A：当，此时，错； B：由，则，即，对； C：， 当且仅当时取等号，对； D：由，则，故， 当时，取得最小值，对； 故选：BCD 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递减 C. 当时，的最小值为1 D. 当时，的最大值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分式性质求定义域，由新定义有时，，判断单调性判断A、B；讨论、，结合函数新定义求的值域，即可判断C、D. 【详解】由解析式易知，函数定义域为，A对； 当，则，故在区间上单调递增，B错； 当时，，此时函数最小值为1， 当时，，则，当且仅当时取等号，C对； 当时，， 当时，，则，当且仅当时取等号，D对； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象通过点，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由幂函数的定义，结合函数过求得函数解析式，进而可得的值. 【详解】设幂函数的解析式为 ∵幂函数过点 ∴ ∴ ∴该函数的解析式为， ∴. 故答案为： 13. 已知,,用,表示_________.（结果用,表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据换底公式找到和之间的等式关系,将用换底公式换为的形式,代换成即可. 详解】解:由题知,,, ,, , 故答案为:. 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实根，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数性质，及二次方程根的分布来求解即可. 【详解】作出函数的图象如图所示， 令，则因为关于 x的方程有6个不同的实根， 所以方程在区间上有2个不同的实根， 设， 则，解得， 故实数a的取值范围是 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）首先求解集合和，再根据交集和并集的定义，即可求解； （2）根据必要条件的定义，转化为集合的包含关系，即可列式求解. 【小问1详解】 当， 所以， 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，所以， 所以 解得. 16. （1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到的值，应用诱导公式化简为，分子分母同时除以，即可得到有关的式子，代入即可得到答案； （2）先根据完全平方公式得到的值，然后再利用完全平方公式得到的值，构造等式即可求得结果. 【详解】（1）由，得或， 是方程一个实根，且是第三象限角，， . （2）， ，则， ，所以， 故， . 17. 为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位．已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①；②；③. （1）请从中选择并求合适的两个确定关于的函数解析式，并说明理由； （2）求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳） 【答案】（1）解析式为①和② （2）时长为 【解析】 【分析】（1）根据函数图象并结合已有模型性质，根据增减性可判断选择①②，再代入点坐标求得参数值即可得出解析式； （2）由生态环境最佳的标准得出不等关系解不等式，即可得出结论. 【小问1详解】 易知模型③在上单调递减，因此可排除； 因为这种微生物在开始的年内繁殖速度越来越快，根据二次函数性质可得①符合题意； 又随后越来越慢，由幂函数性质可得②符合题意； 因此在时，， 当时，； 结合图象可知经过点、； 即，解得，即； 函数经过点、， 即，解得，即； 因此符合题意的两函数解析式为①和②. 【小问2详解】 因为微生物的数量在个单位之间生态环境最佳， 当时，令，解得； 当时，令，解得； 综上可得，当时，满足题意； 因此该水域生态环境最佳的时长为. 18. 已知为偶函数，为奇函数，且． （1）的值； （2）令． ①用函数单调性的定义判断的单调性． ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①判断过程见解析；② 【解析】 【分析】（1）求出，，联立即可求解和，代值计算可得的值； （2）①将函数的解析式变形为，然后利用函数单调性的定义证明即可； ②先证明出函数为上的奇函数，求出，证明原题可转化为对任意的恒成立，令，根据单调性即可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为①，所以， 又因为为偶函数，为奇函数，所以②， 由①②得：，， 所以. 【小问2详解】 ①， 对任意的，，则函数的定义域为， 、，且， 有， 因为在上单调递增，且，所以，即， 又因为，所以，所以是上的增函数； ②因为，， 又，故为上的奇函数，所以， 故对任意的恒成立， 又因为为上增函数，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 故， 所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 函数在上单调递增，故，所以，即. 因此，实数的取值范围是. 19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0或1； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得； （2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解； （3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得. 【小问1详解】 当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， “准不动点”为0或1； 【小问2详解】 由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 的取值范围； 【小问3详解】 由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年柘荣一中第二学期高一第一次月考数学试题 本试卷共19题．考试时间120分钟，满分150分． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 若一个扇形的弧长为4，面积为2，则这个扇形中心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 式子（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知函数的图象是在上连续不断的曲线，在区间项上单调递增，且满足，，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 8. 设为上的奇函数，则当时，“单调递增”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 必要不充分 C. 充分不必要 D. 不充分不必要 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定为“，使得” B. 函数定义域是 C. 函数且的图象经过定点 D. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时 10. 已知实数满足且，则下列说法正确有（ ） A. 若，则对任意实数， B. 若，则 C. 的最小值是 D. 的最小值是 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递减 C. 当时，的最小值为1 D. 当时，的最大值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象通过点，则__________． 13. 已知,,用,表示_________.（结果用,表示） 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实根，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 16. （1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值； （2）已知，且，求的值． 17. 为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位．已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①；②；③. （1）请从中选择并求合适的两个确定关于的函数解析式，并说明理由； （2）求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳） 18. 已知为偶函数，为奇函数，且． （1）值； （2）令． ①用函数单调性的定义判断的单调性． ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$