18.2腰三角形的判定 同步练习2024－2025学年沪教版（五四制）数学七年级下册

18.2等腰三角形的判定 一、单选题 1．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为（    ） A．12 B．12或15 C．15或18 D．15 2．如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 3．如图，中，，，则等于（　　　） A． B． C． D． 4．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（    ） A．或或 B．或 C．或 D．或 5．下列能判定△ABC为等腰三角形的是(         ) A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝80° C．∠A＝2∠B＝80° D．AB＝3，BC＝6，周长为13 6．已知是的两边，且，则的形状是（  ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定 7．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（　　） A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm 8．如图，是的中线，是上一点，交于，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在Rt中，，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（    ） A． B． C． D． 10．当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在中，，CD平分，，，求BC的长，解决办法：如图2，在BC边上取点E，使，连接DE，可得且是等腰三角形，所以BC的长为5，试通过构造等腰三角形解决问题：如图3，中，，，BD平分，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（，，）（    ） A．a和b B．b和c C．a和c D．a、b和c 二、填空题 11．等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数一共最多有 条（重合的算一条）． 12．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则△ABC是 三角形． 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的底角为 ． 14．在中，，点D为斜边上的一点，，若为等腰三角形，那么的度数为 ． 15．如图，在△ABC中，∠A=58°，AB=AC，BD=CF，BE=CD，则∠EDF= 度． 16．如图,△ABC的两条角平分线相交于O，过O的直线MN∥BC交AB于M交AC于N，若BC=8cm,△AMN的周长是12cm,则△ABC的周长等于 cm. 17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE是 度． 18．在中，，点是外一点，连接、、，且交于点，在上取一点，使得，，若，则的度数为 ． 三、解答题 19．如图，在中，，、是边上的点，且，求证：． 20．如图，中，，点D和E分别在边和上，，连接和．求证：． 21．如图，在四边形中，，，，垂足为点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 22．如图，在中，，，求的度数． 23．如图，中，，D为上一点，E为延长线上一点，且交于G．求证：． 24．如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． （1）求证：为等腰三角形； （2）当时，求的度数． 25．如图，在中，AD平分，过点B作AD的垂线，垂足为点D，，交AB于点E，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 26．如图，点在线段上，点在线段上，，，，，分别是，的中点． (1)求证AE=CD (2)连接MN，判断△MBN的形状，并证明 27．在中，，，将一块足够大的直角三角尺PMN（，）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角，斜边PN交AC于点D． (1)当时，______度． (2)在点P滑动的过程中，当AP的长度为多少时，与全等？说明理由． (3)在点P滑动的过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请求出的大小． 28．如图，在中，，，，，三点共线，点在上，，，分别交于，两点． (1)求证：； (2)若． ①求证：； ②探究，与的数量关系，并证明． 答案 一、单选题 1．D 【分析】分别从若腰长为3，底边长为6，若腰长为6，底边长为3，去分析求解即可求得答案，注意三角形的三边关系． 【解析】解：①若腰长为3，底边长为6， ∵3+3=6， ∴不能组成三角形，舍去； ②若腰长为6，底边长为3， 则它的周长是：6+6+3=15． ∴它的周长是15， 故选：D． 2．D 【分析】利用三线合一的性质对每一个选项进行验证从而求解． 【解析】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点， ∴∠B=∠C，（故A正确） AD⊥BC，（故B正确） ∠BAD=∠CAD（故C正确） 无法得到AB=2BD，（故D不正确）． 故选：D． 3．A 【分析】利用AD=AC，求出∠ADC=∠C=，利用AD=AB，即可求得∠B=∠BAD． 【解析】∵AD=AC， ∴∠ADC=∠C， ∵， ∴∠ADC=∠C=， ∵AD=AB， ∴∠B=∠BAD， 故选：A． 4．A 【分析】设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【解析】设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°， ①x是顶角，2x﹣20°是底角时，x+2（2x﹣20°）＝180°， 解得x＝44°， 所以，顶角是44°； ②x是底角，2x﹣20°是顶角时，2x+（2x﹣20°）＝180°， 解得x＝50°， 所以，顶角是2×50°﹣20°＝80°； ③x与2x﹣20°都是底角时，x＝2x﹣20°， 解得x＝20°， 所以，顶角是180°﹣20°×2＝140°； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°． 故选：A． 5．B 【分析】判断三角形中是否有相等的角，以及根据定义，是否有相等的边即可判断． 【解析】A、∠C＝180°−30°−60°＝90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，A选项错误； B、∠C＝180°−50°−80°＝50°，有相等的角，则是等腰三角形，B选项正确； C、∵∠A＝2∠B＝80°， ∴∠B＝40°， ∴∠C＝60°，没有相等的角，则不是等腰三角形，C选项错误； D、∵AB＝3，BC＝6，周长为13， ∴AC＝13−6−3＝4，没有相等的边，则不是等腰三角形，D选项错误； 故答案选：B． 6．A 【分析】把变形得到可得三角形形状． 【解析】解：因为：，所以：， 所以：，所以三角形ABC是等腰三角形， 故选A． 7．C 【分析】设AB=AC=x，则BC=16-2x,根据三角形的三边关系即可求出AB的取值范围. 【解析】在等腰△ABC中，AB=AC,其周长为16cm， 设设AB=AC=cm，则BC=16-2x, 依题意得, 解得4cm＜AB＜8cm, 选C. 8．B 【分析】延长AD到G使得，连接BG，证明，根据全等三角形的性质可得到，AC=BD，等量代换得到BE=BG，再由等腰三角形的性质得到，推出EF=AF，即可解决问题； 【解析】如图，延长AD到G使得，连接BG， ∵AD是△ABC的中线， ∴CD=BD， 在△ACD与△GBD中， ， ∴， ∴，AC=BD， ∵BE=AC， ∴BE=BG， ∴， ∵， ∴， ∴EF=AF， ∴， 即， ∴； 故选：B． 9．D 【分析】由旋转的性质可得CA=CA'，∠ACA'=α，由等腰三角形的性质可得∠A=∠CA'A=60°，由三角形内角和定理可求α的值． 【解析】解：，， ， 将绕点顺时针旋转角至△， ，， ， ， ， 故选：． 10．A 【分析】在边上取点，使，连接，得到，在边上取点，使，连接，得到，即可推出结论． 【解析】解：要想求的长，仅需知道和的长，理由是： 如图4，中，，， ， ∵BD平分， ，， 在边上取点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， 在边上取点，使，连接， 则， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 二、填空题 11．7 【分析】根据等腰三角形底边上三线合一的性质进行分析即可. 【解析】解：等腰三角形的角平分线，中线、高彼此重合的只计一条，即底边上的高、中线、角平分线只计一条，因此总条数最多有7条，故答案为7 12．等腰 【分析】根据三角形的内角和定理求出∠B，即可判断． 【解析】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°， ∴∠B=180°－∠A－∠C=70° ∴∠B=∠C ∴△ABC为等腰三角形 故答案为：等腰． 13．或 【分析】首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案． 【解析】解：根据题意得：AB=AC，BD⊥AC， 如图（1），∠ABD=60°， 则∠A=30°， ∴∠ABC=∠C=75°； 如图（2），∠ABD=60°， ∴∠BAD=30°， ∴∠ABC=∠C=∠BAD=15°． 故这个等腰三角形的底角是：75°或15°． 故答案为：或. 14．55°或 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得∠A＋∠B=90°，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据等边对等角和三角形的内角和定理即可分别求出结论． 【解析】解：∵在中，， ∴∠A＋∠B=90° 当DA=DC时，如下图所示 ∴∠A=∠ACD=35° ∴∠B=90°－∠A=55°； 当CA=CD时，如下图所示 ∴∠A=∠CDA=（180°－∠ACD）= ∴∠B=90°－∠A=； 当AC=AD时， ∴∠ADC=∠ACD=35° ∴∠A=180°－∠ADC－∠ACD=110°，不符合实际，舍去； 综上：的度数为55°或 故答案为：55°或． 15．61° 【分析】先由等腰三角形的性质求得∠B的大小，再证明△EBD≌△DFC,得到∠DEB=∠FDC;又由三角形内角和为∠BED+∠B+∠EDB=180°,即∠FDC+∠B+∠EDB=180°，可得∠FDC+∠EDB=180°-∠B由因为∠BDC是平角可得：∠EDF=180°-(∠FDC+∠EDB),即可完成作答． 【解析】解：∵等腰三角形ABC ∴ 在△EBD和△DFC中 ∴△EBD≌△DFC（AAS） ∴∠DEB=∠FDC 又∵在△EBD中，∠BED+∠B+∠EDB=180 ∴∠FDC+∠EDB=180°-∠B=119° 又∵∠EDF+(∠FDC+∠EDB)=180° ∴∠EDF=180°-(∠FDC+∠EDB)= 180°-119°=61° 故答案为61°． 16．20 【分析】由已知条件根据平行线的性质、角平分线的性质及等角对等边可得MO＝MB，NO＝NC．从而根据△AMN的周长求出AB＋AC，问题得解． 【解析】解：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC． 又∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC． ∴∠ABO＝∠MOB， ∴MO＝MB． 同理可得：NO＝NC． ∴△AMN的周长为：AM＋MN＋AN＝AM＋MO＋ON＋AN＝AM＋MB＋NC＋AN＝AB＋AC＝12cm， ∴△ABC的周长为：AB＋AC＋BC＝12＋8＝20cm. 故答案为20. 17．15 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠ADB＝90°，根据三角形内角和定理计算． 【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠ADB＝90°， ∵BD＝BE， ∴∠BDE＝75°， ∴∠ADE＝15°， 故答案为15． 18． 【分析】根据证明，再利用全等三角形的性质，然后由三角形的外角性质，，可说明，再利用等腰三角形的性质可求出，最后利用三角形的内角和解答即可． 【解析】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是和的外角， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20．证明：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21．（1）证明：∵， ， ∴，， ∵， ∴∠AED=∠ABC=90° ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴∠ADC=∠ACD， ∴， ∵， ∴∠ADE+∠DAC=90°， ∴， ∴． 22．解：设，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，，，∴，解得，∴． 23．过点D作，交于F， ， 在与中 ． ． 24．解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴为等腰三角形； （2）∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴． 25．（1）证明：如图，∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∵，CD∥AB， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：由（1）得 ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 26．（1）证明：（1）在和中， ， ∴． ∴AE=CD； （2）是等腰直角三角形，理由如下： 连接MN，如图所示： ∵在（1）中已得，， ∴，，AE=DC， ∵M、N分别是AE、CD的中点， ∴，， ∴DN=AM， 又∵，， ∴， ∴BN=BM，，   ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 27．（1）解：当PNBC时，∠α＝∠NPM＝30°， 又∵∠ACB＝120°， ∴∠ACP＝120°﹣30°＝90°， 故答案为：90； （2）解：当AP＝4时，△ADP≌△BPC， 理由为：∵∠ACB＝120°，CA＝CB， ∴∠A＝∠B＝30°， 又∵∠APC是△BPC的一个外角， ∴∠APC＝∠B+∠α＝30°+∠α， ∵∠APC＝∠DPC+∠APD＝30°+∠APD， ∴∠α＝∠APD， 又∵AP＝BC＝4， ∴△ADP≌△BPC； （3）解：的形状可以是等腰三角形． 由题意得，， ①当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴． ②当时，是等腰三角形， ∴， 即， ∴． ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点P与点B重合，点D和点A重合． 综上所述，当或90°或0°时，是等腰三角形． 28．（1）证明：，， ， ， ， ， 在与中， ， ； （2）①证明：由（1）知，为等腰直角三角形， ， ， ，即， ，， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ； ②，证明如下： 在上，取，连接，过点作交于点， 在与中， ， ，，， ，，三点共线， ， ， 为等腰直角三角形，即有， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$