精品解析：陕西省西安市秦汉中学2024-2025学年八年级下学期开学考试数学试题

初二第二学期开学素质调研 数学 考试时间：120分钟 满分120分 说明：请将所有答案填写在答题纸上． 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的平方根是（ ） A. 16 B. 2 C. D. 2. 若一列数据，，，…，，的平均数是，方差是，则数据，，…，的平均数与方差分别是（ ） A. 8，7 B. 5，5 C. 3，2 D. 8，2 3. 如图，是四根长度相同的小木棒，A、C、E三点共线，于点C，若，则一根小木棒的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 某校运动员分组训练，若每组8人，余5人；若每组9人，则缺4人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 5. 某电脑公司销售部为了制订下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的中位数、众数分别是（　　） A. 17，14 B. 20，8 C. 20，20 D. 25，20 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 8. 下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为，，则关于与的关系，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在和中，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为64，．则的长是（　　） A. 8 B. C. D. 6 10. 如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 已知点与点关于x轴对称，则的值为______． 12. 如果，那么以a、b为边长的等腰三角形的周长为_____ 13. 已知关于x，y的方程组，若方程组的解x与y满足条件，则m的值是__________． 14. 已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是_____（填“”，“”“”） 15. 如图，有一个长方形纸片，，点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边三角形ABP，点B在y轴上运动时，连接OP，OP的最小值为 _____． 三、解答题（共10小题，满分72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解二元一次方程组： （1） （2） 19. 如图，在中，，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 已知：如图，，．求证：． 21. 已知，算术平方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 22. 某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． （1）求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 23. 为了解我校学生阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周阅读的时间进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了________名学生； （2）请根据以上信息，直接在答题卡中补全扇形统计图和条形统计图； （3）请直接写出本次调查获取的学生~周阅读的总时间数据的众数为________h，中位数为________h，平均数为________h； （4）若该校有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生一周阅读的时间小于6小时． 24. 一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线以80千米/小时的速度匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时15分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）两地之间的距离是________千米，________； （2）求货车返回时的速度； （3）在整个运输途中，巡逻车与货车何时相遇？ 25. 如图，在等边三角形中，D是上的一点，E是延长线上一点，连接、，已知． （1）求证：是等腰三角形． （2）当，时，求的面积． 26. 我们引入准外心的定义，到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心，请回答下面的三个问题． 如图1，若，则点为的准外心，此时，点在线段的 上． 如图2，已知为直角三角形，斜边，准外心在边上，试探究的长． 如图3，点既是又是的准外心，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二第二学期开学素质调研 数学 考试时间：120分钟 满分120分 说明：请将所有答案填写在答题纸上． 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的平方根是（ ） A. 16 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题应先计算出的值，再根据平方根的定义即可求得平方根． 【详解】解：∵，4的平方根为±2， ∴的平方根是， 故选C． 【点睛】本题考查了立方根和平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2. 若一列数据，，，…，，的平均数是，方差是，则数据，，…，的平均数与方差分别是（ ） A. 8，7 B. 5，5 C. 3，2 D. 8，2 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的变化规律可得出数据x1+5，x2+5，x3+5，…，xn+5的平均数是8；根据数据x1，x2，x3，…，xn的方差为2，即可求出x1+5，x2+5，x3+5，…，xn+5的方差是2． 【详解】∵x1，x2，x3，…，xn的平均数是3， ∴x1+5，x2+5，x3+5，…，xn+5的平均数是3+5=8； ∵x1，x2，x3，…，xn的方差是2， ∴x1+5，x2+5，x3+5，…，xn+5的方差是2； 故选D． 【点睛】考查方差与平均数：若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变． 3. 如图，是四根长度相同的小木棒，A、C、E三点共线，于点C，若，则一根小木棒的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作，垂足分别为G、H，证明，得，再利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：作，垂足分别为G、H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， 在中，由勾股定理得， 故选：A． 4. 某校运动员分组训练，若每组8人，余5人；若每组9人，则缺4人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据关键语句“若每组8人，余5人”可得方程；“若每组9人，则缺4人”可得方程，联立两个方程可得方程组． 【详解】解：设运动员人数为x人，组数为y组， 根据题意得，， 故选：C． 5. 某电脑公司销售部为了制订下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的中位数、众数分别是（　　） A. 17，14 B. 20，8 C. 20，20 D. 25，20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，众数，扇形统计图．根据扇形统计图可得销售量为20台的人数最多，从而得到众数为20；再分别求出销售量为12，14，20，30的人数，然后根据中位数的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴销售量为20台的人数最多， ∴众数为20， 销售量为12台的人数为， 销售量为14台的人数为， 销售量为20台的人数为， 销售量为30台的人数为， ∴位于第10位，11位均为20， ∴中位数为． 故选：C 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，再由三角形的面积即可计算出答案． 【详解】解：， ， 在边上的高为， 故选B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，两直线的交点坐标就是两函数解析式组成方程组的解． 先将代入求出的值，再根据题意作答即可． 【详解】将代入得，即 ∵直线与直线交于点， ∴关于的方程组的解为， 即关于的方程组的解为， 故选：B 8. 下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为，，则关于与的关系，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握正比例函数的图像与性质．根据函数图像的增减性，判断选项A、B；利用两个函数图像的位置关系，取横坐标相同的点和，利用纵坐标的大小列出不等式，即可判断选项C、D． 【详解】解：由图像可知，随的增大而减小，随的增大而减小， 所以，故选项A、B错误，不符合题意； 如下图，在两个图像上分别取横坐标为的两个点和（）， 则，， ∵，即 ∴， 又∵， ∴，，故选项C错误，不符合题意，而选项D正确，符合题意． 故选：D 9. 如图，在和中，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为64，．则的长是（　　） A. 8 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形．添加辅助线，构造全等三角形，熟知全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形面积公式，是解题的关键． 延长到点H，使，连接，证明，得，得，得，得，得，根据，，得，即得． 【详解】解：延长到点H，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】解题时，首先针对每个结论，结合已知条件逐步分析： ①利用“是高”得直角三角形两锐角互余，再结合角平分线定义，求出的度数，最后根据三角形内角和定理算出，判断结论①错误． ②根据现有条件，没有足够依据证明三边相等，所以判定不是等边三角形． ③延长构造全等三角形和，得出，将转化为，再利用三角形外角性质和“大角对大边”，得出，从而判断结论③错误． ④证明，得到面积相等关系，再结合和是角平分线的性质，对三角形面积进行转化，得出，判定结论④正确．通过这样逐一分析每个结论，最终确定正确结论的个数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④，共个， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定（、）及性质，三角形外角性质，“大角对大边”定理，三角形面积的计算与转化．解题思想方法有转化思想（将角的关系、面积的关系进行转化），数形结合思想（结合图形分析角和线段的关系）．解题关键为熟练运用全等三角形的判定与性质，结合角平分线、高的性质，对三角形的角、边、面积进行分析转化．易错点是在分析角的关系时，容易忽略三角形外角性质或“大角对大边”的应用条件；证明三角形全等时，易找错对应角或对应边． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 已知点与点关于x轴对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两点关于x轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标不变，列式计算即可． 本题考查了点的对称，根据对称点的坐标特点，规范计算即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， 解得， 故， 故答案为：． 12. 如果，那么以a、b为边长的等腰三角形的周长为_____ 【答案】11或13 【解析】 【分析】先根据求出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】∵两个非负数相加等于0， ∴a=5,b=3， ①当a=5为腰时，三边为5，5，3成立，则周长为13； ②当b=3为腰时，三边为3，3，5成立，则周长为11； 故答案为11或13． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，熟练掌握二次根式和绝对值的非负性性，等腰三角形知识是解决本题的关键． 13. 已知关于x，y的方程组，若方程组的解x与y满足条件，则m的值是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解，把两个方程相加可得，再将代入，即可求解． 【详解】解： 由①②得：， 把代入， 可得出：， 解得：， 故答案为：8． 14. 已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是_____（填“”，“”“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数解析式得出，得出随着的增大而减小，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 15. 如图，有一个长方形纸片，，点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理． 根据折叠的性质可得，然后在中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在利用勾股定理进行计算即可求的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 根据折叠的性质，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 在中， ， ∴， 解得． 故答案是： 16. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边三角形ABP，点B在y轴上运动时，连接OP，OP的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F，根据等边三角形的性质证明△AEP≌△ADB(SAS)，得到∠OEF=60°，求出OF=3，∠OFE=30°，确定点P在直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP最小，由此求出OP长． 【详解】解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F，则∠AED=60°， ∴ ∴． ∵△ADE和△ABP都是等边三角形， ∴AB=AP，∠BAD=∠PAE，AD=AE， ∴△AEP≌△ADB(SAS)， ∴∠AEP=∠ADB=120°， ∴∠OEF=60°． ∴OF=3，∠OFE=30°， ∴点P在直线EF上运动， 当OP⊥EF时，OP最小， ∴, 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形30度角的性质，动点问题，正确掌握等边三角形的性质构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（共10小题，满分72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用负整数指数幂公式，绝对值的化简，二次根式的乘法解答即可． （2）利用二次根式的混合运算解答即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂公式，绝对值的化简，二次根式的乘法，分母有理化，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 18. 解二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用代入消元法解答即可； （2）利用加减消元法解答即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解： 把代入得， 解得； 把代入①解得，， 故方程组的解为． 【小问2详解】 解：， 整理，得 得， 解得， 把代入①解得，， 故方程组的解为． 19. 如图，在中，，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图所示，点P即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，等边对等角，三角形内角和定理．作出的垂直平分线交于点P即为所求，根据三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质结合等边对等角发即可得到． 【详解】略 20. 已知：如图，，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等，由对顶角相等结合题意得出，推出，由平行线的性质得出，结合题意得出，从而推出，即可得证． 【详解】略 21. 已知，算术平方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】4 【解析】 【分析】根据得，解得；算术平方根是2得，得到根据得，确定，继而确定，计算即可． 本题考查了算术平方根，无理数的估算，熟练掌握算术平方根，无理数估算取整是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得； ∵算术平方根是2。 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． （1）求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】（1），两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元 （2）该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及二元一次方程是解此题的关键． （1）设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元，根据“1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆，根据“该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车”列出二元一次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元， 由题意得：， 解得：， ∴，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元； 【小问2详解】 解：设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆， 由题意得：， 整理得：， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆． 23. 为了解我校学生阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周阅读的时间进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了________名学生； （2）请根据以上信息，直接在答题卡中补全扇形统计图和条形统计图； （3）请直接写出本次调查获取的学生~周阅读的总时间数据的众数为________h，中位数为________h，平均数为________h； （4）若该校有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生一周阅读的时间小于6小时． 【答案】（1）50 （2） 补全图形如下： （3）6，6，6 （4）300 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由阅读时间为的人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得a的值． （2）总人数乘以阅读时间为的人数对应的百分比可得答案． （3）依据众数、中位数和方差的定义求解即可． （4）总人数乘以样本中一周阅读的时间小于人数所占比例即可 【小问1详解】 解：本次调查的总人数为（名）， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：， 对应人数为（名）， 补全图形略 【小问3详解】 解：学生一周阅读的总时间数据中出现次数最多，所以众数为； 中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为、，所以这组数据的中位数为； 这组数据的平均数为， 故答案为：6，6，6； 【小问4详解】 解：估计该校一周阅读的时间小于的人数为（名） 24. 一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线以80千米/小时的速度匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时15分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）两地之间的距离是________千米，________； （2）求货车返回时的速度； （3）在整个运输途中，巡逻车与货车何时相遇？ 【答案】（1）60，1； （2）； （3）小时或小时． 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值； （2）利用路程除以时间即可求解； （3）分两车从A前往B途中和货车从B往A途中，两种情况建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B地填装货物耗时15分钟， ∴， 故答案为：60，1； 【小问2详解】 解：， 答：货车返回时的速度为； 【小问3详解】 解：由题意得，巡逻车的速度为：， 则点，点， 设巡逻车对应的函数表达式为：， ∴， 解得， ∴巡逻车对应的函数表达式为：； 点，点，点， 同理求得线段所在直线的函数解析式为， 货车对应的函数表达式为：， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述：巡逻车与货车相遇时间为小时或小时． 25. 如图，在等边三角形中，D是上的一点，E是延长线上一点，连接、，已知． （1）求证：是等腰三角形． （2）当，时，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质． （1）根据等边三角形的性质，即可证明结论； （2）设，则，得，根据三角形内角和定理可得，过D作于H，根据等腰直角三角形的性质即可得的长，进而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过D作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 26. 我们引入准外心的定义，到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心，请回答下面的三个问题． 如图1，若，则点为的准外心，此时，点在线段的 上． 如图2，已知为直角三角形，斜边，准外心在边上，试探究的长． 如图3，点既是又是的准外心，，求的值． 【答案】垂直平分线；或2；． 【解析】 【分析】根据准外心的定义即可得出结论； 连接BP，由勾股定理得出AC=4，分情况讨论，由直角三角形的性质即可得出答案； 由BD=BA=BC，得∠BAC=∠BCA，∠BDC=∠BCD，作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，由等腰三角形的性质得DE=CE= ， 证△BDF≌△CBE（ASA），得DF=BE，设DF=BE=x，则AD=2x，BD=2AD=4x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】因为，所以点在线段的垂直平分线上． 连接，如图2所示 为直角三角形，斜边 准外心在边上 ①当时 设， 则 在中中， 由勾股定理得： 解得： ②当时， ③当时 是直角三角形，此情况不存在． 综上所述，准外心在边上，的长为或 作于，于 则 在和中， 设， 则 在中，由勾股定理得： 解得： 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了新定义“准外心”、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握新定义和等腰三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $