精品解析：湖南省名校联盟2024-2025学年高一下学期开学质量检测数学试题

名校联盟2025年上学期高一开学质量检测 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的运算可求得结果. 【详解】由题意知，又， 所以． 故选：D． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数和充分必要条件定义即可判断. 【详解】由于当时，有，但，故条件不是必要的； 当时，有，故条件时充分的. 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 3. 已知函数的零点在区间内，且，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再由零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数定义域为，与均在上单调递增， 所以在上单调递增，又，即， 由零点存在性定理可得，的零点所在区间为，所以． 故选：B． 4. 把函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变），再将函数图象向左平移个单位长度后，所得的图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换法则可求得结果. 【详解】将函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍后，得到， 再将函数图象向左平移个单位长度后，得到． 故选：A． 5. 生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：kg）的次方成反比．若为两个睡眠中的恒温动物，的体重为2kg，脉搏率为210次．若的脉搏率是140次，则的体重为（ ） A. 6kg B. C. 8kg D. 9kg 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到关系式，将已知数据代入得到的值，即可求出结果. 【详解】根据题意设， 当，则， 当时，则，所以， 故选：B． 6. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因为，即， 又，， 又，所以，所以，所以. 故选：D． 7. 已知函数，若对任意的，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性定义并结合二次函数和对数型函数的性质即可得到不等式组，解出即可. 【详解】若对任意的，都有， 所以在上单调递增， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：C. 8. 已知均为锐角，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将等式展开并化为有关正切的关系式，再根据同角三角函数之间的关系以及基本不等式得到结果. 【详解】由题可得， 两边同时除以得， 所以， 因为均为锐角，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的恒等变换及最值问题，关键点如下： （1）根据两角和的正弦公式展开关系式； （2）同角三角函数之间的关系看似简单，但用的时候容易想不到，尤其是将“1”转化为平方和的形式； （3）运用基本不等式时，一定要注意“一正二定三相等”. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据函数的定义域得到的取值，再根据得到的取值，最后依据零点判断的值，即可求得结果. 【详解】函数的定义域为，由图可知，所以，选项D正确； 由图可知，所以，选项C错误； 由，即，解得， 由图可知，所以，所以，选项A正确，选项B错误； 故选：AD． 10. 已知幂函数的图象关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 函数的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用幂函数的定义以及函数奇偶性的定义可求出的值，可判断A选项；利用求出、的值，可判断B选项；利用作差法可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为为幂函数，有，解得或． 当时，，函数为奇函数，不符合题意； 当时，，函数为偶函数，函数图象关于轴对称． 由上知，，故A正确； 对于B选项，由，故B错误； 对于C选项，因为， 由，有，故C正确； 对于D选项，由（当且仅当或时取等号）， 可得函数的最小值为，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期为，则 B. 若的图象关于点中心对称，则 C. 若在上单调递增，则取值范围是 D. 若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】将点的坐标代入解析式，求得的值，根据周期公式可判断选项A，根据已知点可求得的值，可判断B，根据的取值范围得到的取值范围，再依据单调递增区间可判断选项C，根据零点个数以及整体代入法可求得选项D. 【详解】因为函数的图象经过点， 所以，而，所以，即， 选项A，的最小正周期是，则，A正确； 选项B，的图象关于点中心对称， 则（因为），B错误； 选项C，时，， 则，，解得，C正确； 选项D，时，， 方程在上恰有两个不同的实数解， 即方程在上恰有两个不同的实数解， 则，解得，D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据解析求出定点，再将点的坐标代入到幂函数中去可求得结果. 详解】令，解得，此时， 所以函数（，且）的图象恒过定点， 设幂函数，则，解得， 所以． 故答案为：. 13. 已知函数，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】直接计算后可得． 【详解】∵，， 所以. 故答案为：． 14. 已知，且，则的最大值为______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据间的关系得到，再根据等式可求得，将分式中的用表示，最后依据基本不等式即可求得结果. 【详解】， 又， ， ，或（舍）， ， 当且仅当即时，等号成立，此时的最大值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）计算； （2）计算． 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的的运算性质及换底公式计算可得. 【详解】（1） ； （2） ． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程恰有两个实数根，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义求分段函数的解析式即可. （2）由函数的图象可得且，进而可得. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，； 当时，，所以， 综上，； 【小问2详解】 函数的图象如图所示： 所以且，解得或， 故的取值范围是． 17. （1）已知，且，求的最小值； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将分式化简，得到，再根据基本不等式中“1”的妙用可求得结果； （2）分情况讨论可求得不等式的解集. 【详解】（1）因，所以得，即， 所以． 因为，所以． 当且仅当，即时，即时，等号成立； 此时； （2）当时，，解集为， 当时，， ①当时，，解集为； ②当时，，解集为； ③当时，解集为； ④当时，，解集为． 综上所述：时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为． 18. 已知函数是奇函数，且． （1）求的值； （2）判断的单调性，并证明； （3）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数的特性可求得结果，注意最后验证是否满足题意； （2）根据定义法可判断函数的单调性； （3）根据函数的单调性以及奇偶性，可得到不等式恒成立问题，再根据分离参数法可求得结果. 【小问1详解】 因为函数是一个奇函数， 所以，即， 可得，即， 所以，解得或． 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，满足题意， 综上，； 【小问2详解】 在上单调递增， 不妨设， 所以， 又，所以，所以， 所以，所以，即， 所以在上单调递增， 又是奇函数且定义域为，所以在上单调递增； 【小问3详解】 若对任意实数，不等式恒成立， 即， 又是奇函数，所以， 又在上单调递增．所以对任意实数恒成立， 又， 所以当时，取得最大值，所以， 解得，即的取值范围是. 19. 已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的最大值； （3）记函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，求函数在区间上的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得到周期，即可求得的值，再根据函数值可求得的值，最后根据辅助角公式可求得结果； （2）根据三角形变换得到变换后的解析式，再根据最值得到的值，即可求得结果； （3）根据取值范围，分情况得到的取值范围，整体法求得最值，得到的表达式，即可求得结果. 【小问1详解】 由题意可知，函数的最小正周期为，所以， 所以，所以， 故， 解得， 所以； 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度， 可得的图象， 再向上平移1个单位长度，得到的图象， 所以， 又，所以当时，， 又，所以， 要使最大，则最大，最小． 所以当最大，最小时， 即取得最大值， 最大值为； 【小问3详解】 因为，所以， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 此时； 又，所以，所以， 所以的取值范围为； 当时，在上单调递减， 所以，， 此时； 又，所以，所以， 所以的取值范围为， 综上，函数的值域为． 【点睛】本题考查了三角函数的图形变化以及最值，关键点有； （1）根据对称中心以及对称轴得到周期，根据周期公式得到参数； （2）辅助角公式是将含有多个三角函数名称的解析式转化为只含有一个三角函数名称的解析式； （3）对于三角函数的题，最常用的方法就是整体代入讨论法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 名校联盟2025年上学期高一开学质量检测 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的零点在区间内，且，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 把函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变），再将函数图象向左平移个单位长度后，所得的图象对应的函数为（ ） A B. C. D. 5. 生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：kg）的次方成反比．若为两个睡眠中的恒温动物，的体重为2kg，脉搏率为210次．若的脉搏率是140次，则的体重为（ ） A. 6kg B. C. 8kg D. 9kg 6. 若，则的大小关系为（ ） A B. C. D. 7. 已知函数，若对任意的，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知均为锐角，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知幂函数的图象关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 函数的最小值为 11. 已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期为，则 B. 若的图象关于点中心对称，则 C. 若在上单调递增，则的取值范围是 D. 若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______． 13. 已知函数，，则______. 14. 已知，且，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）计算； （2）计算． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程恰有两个实数根，求的取值范围． 17. （1）已知，且，求的最小值； （2）解关于的不等式． 18. 已知函数是奇函数，且． （1）求的值； （2）判断的单调性，并证明； （3）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的最大值； （3）记函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，求函数在区间上的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$