精品解析：广东省清远市部分学校2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

广东省2025届高三“百日冲刺”联合学业质量监测 数 学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设有，讨论、，结合集合中元素的性质求参数值. 【详解】由题设，若，则，此时，集合A不满足元素互异性，排除； 若，可得或（舍）， 当时，，，满足题设， 所以. 故选：C 2. 若关于x的不等式的解集为空集，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】讨论、，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当时，，显然解集为空，满足题设； 当时，在上无解， 所以，可得； 综上，. 故选：C 3. 复数z的模为13，实部为5，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令且，结合模长得，再由复数乘法求. 【详解】由题设，令且，，可得， 所以. 故选：A 4. 若函数的最小正周期为1，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】应用二倍角正余弦公式及差角正切公式化简函数式，结合正切型函数的最小正周期求参数值. 【详解】由 ， 由题意有，则 故选：A 5. 已知函数，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式判断函数的对称性有，结合已知求函数值. 【详解】由，其定义域为R， 又， 所以，则. 故选：D 6. 正方体中，分别是、、的中点，则（ ） A. 直线与是平行直线 B. 过三点的平面与正方体的截面是六边形 C. 直线与平面所成角的正切值是 D. 若正方体的棱长为2，则点到平面的距离是 【答案】B 【解析】 【分析】作出截面即可求解B，根据与平面相交于点,而不经过点即可根据异面直线的性质求解A，根据为平面,所以是与平面所成的角，利用三角形的边角关系即可求解C，利用等体积法即可求解D. 【详解】 对于B, 如图，取各边的中点，根据正方体的结构特征及平面的基本性质知，过三点的截面为正六边形，正确； 对于A，由B知截面为六边形，平面，面， 而不经过点，故与是异面直线，错误， 对于C，因为平面,所以是与平面所成的角， 设正方体的棱长为2，所以， 所以，所直线与平面所成角的正切值是，错误， 对于D，因为正方体的棱长为2， 设到平面的的距离为，,, 故, 因此，错误， 故选：B 7. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对. 故选：D 8. 已知双曲线C：，直线l过点，以下错误的是（ ） A. 若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的条数是2 B. 若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的斜率是或 C. 若直线l与双曲线C有两个不同的公共点，则直线l的斜率范围是 D. 若直线l与双曲线C的渐近线相交于A、B两点，则线段AB中点的轨迹是直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，联立双曲线求相切时参数，注意直线与渐近线平行的情况，数形结合分析不同区间直线与双曲线的交点情况判断A、B、C；求出交点的坐标，进而确定其中点坐标得到轨迹方程判断D. 【详解】由双曲线方程知，渐近线为，显然时直线与双曲线只有一个交点， 若与双曲线相切时，联立双曲线有， 整理得，此时，可得， 综上，若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的斜率是或，A错，B对； 如下图示，当时，直线与双曲线的两支各有一个交点，共两个交点， 当时，直线与双曲线的一支有两个交点， 当时，直线与双曲线无交点， 综上，C错； 若直线l与双曲线C的渐近线相交于A、B两点，即， 联立，可得，同理，可得， 所以线段AB中点坐标为，易知中点轨迹方程为， 所以轨迹为双曲线，D错. 故选：ACD 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知在首项为1，公差为d的等差数列中，、、是等比数列的前三项，数列的前n项和为，则（ ） A. 或 B. C. 是等差数列 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由等比中项的性质及等差数列的通项公式可得或，分别写出不同公差对应的、，即可判断各项的正误. 【详解】由题意，则，整理得，可得或， 当时，，，则，即是等差数列，此时； 当时，，，则，即是等差数列， 此时，易知公比为4，故； 综上，A、C对，B、D错. 故选：AC 10. 过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，且，则（ ） A. B. 直线AB的斜率为 C. 以AB为直径的圆与直线相切，则或 D. 抛物线上A、B两点处的切线互相垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，联立抛物线并应用韦达定理有，，结合已知求得、，利用抛物线的定义、圆的性质判断A、B、C；应用导数的几何意义求抛物线上A、B两点处的切线的斜率判断D. 【详解】由题设，可设，联立抛物线得，显然， 所以，则，又，即， 所以，则，可得或（舍），故， 所以，A对， 又，可得，故直线的斜率为，B错； 所以的中点横坐标为，而以AB为直径的圆的半径， 所以以AB为直径的圆与直线相切，则或，C对； 如下图，当，则，故点处切线斜率为； 当，则，故点处切线斜率为； 显然它们斜率的乘积为，即抛物线上A、B两点处的切线互相垂直，D对. 故选：ACD 11. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线与有公共点 B. 曲线关于直线对称的曲线是 C. 曲线关于直线对称的曲线是 D. 直线与曲线、的交点分别是A、B，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，设，利用导数判断的零点是否存在；对于B，求函数的反函数即可判断；对于C，设曲线关于直线对称的曲线是，设是曲线上任意一点，则关于直线的对称点在曲线上，代入可求解析式；利用A选项的结论可得D选项的结果. 【详解】已知，， 对于A，设，函数定义域为，， 解得，解得， 则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为， 恒成立，无解， 所以曲线与没有公共点，A选项错误； 对于B，函数的反函数为， 所以关于直线对称的曲线是，B选项正确； 对于C，设曲线关于直线对称的曲线是， 设是曲线上任意一点，则关于直线的对称点为， 代入中，得，即， 所以曲线关于直线对称的曲线是，C选项正确； 对于D，由A选项可知，当时，的最小值为，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正六边形ABCDEF边长为1，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质及已知，利用向量数量积的几何意义及定义求值即可. 【详解】正六边形如下图所示，，，且， 所以， 则. 故答案为： 13. 在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是______. 【答案】或 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项. 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是或. 故答案为：或 14. 已知圆锥SO的底面半径为2，体积为，ABCDE是底面圆O的内接五边形，则五棱锥的外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的高为，由圆锥的体积得到的大小，再根据棱锥的外接球与圆锥SO的外接球相同，求出外接球半径，进而得到外接球的表面积. 【详解】设圆锥的高为，则由得， 棱锥的外接球与圆锥的外接球相同，设球半径为, 则有，得， 因此，棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且. （1）求角A； （2）点D在BC边上，且，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由余弦定理结合条件求解即可； （2）在和中，分别用余弦定理，整理可得，再结合余弦定理消元可得，，利用基本不等式求解即可; 【小问1详解】 中， 由余弦定理，，又， 故又 【小问2详解】 如图，由题， 记，则， 中，…..① 中，……② 由①得：……③， 由（1）知，代入③中整理得： ，当且仅当时取“=”， 解得， ， 故面积的最大值为. 16. 在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，，. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质即可求解， （2）根据面面垂直的性质，结合线面垂直可知为二面角的平面角,即可利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 由于平面平面，且两平面的交线为, ，.,故，因此, 平面，故平面， 平面，故， 【小问2详解】 取的中点为，过作于点，连接, 由于为等边三角形，故, 由于平面平面，且两平面的交线为,平面， 故平面， 平面，故， 又，平面， 故平面，平面，故,因此为二面角的平面角， , 故, 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）n为正整数，当时，曲线在点处的切线记为，直线与y轴交点的纵坐标记为，证明：. 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，讨论、研究函数对应的单调性； （2）对函数求导，应用导数几何意义得处的切线为，进而得到切线与y轴交点纵坐标为，利用导数证在上恒成立，最后应用放缩法、等差数列前n项和公式证明结论. 【小问1详解】 由题设且， 当时，，此时在上单调递减； 当时，时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由题设，则， 则，， 此时在处的切线方程为， 与y轴交点纵坐标为； 所以， 对于且，则，即在上单调递增， 所以，即， 所以，得证. 18. 椭圆C的中心在坐标原点、对称轴是坐标轴，点和点Q在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）A、B是椭圆C的左、右顶点，过点的直线l与椭圆C相交于M、N两点（不与A、B重合），直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在一条定直线上. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设椭圆方程为，将所过的点带入求参数，即可得方程； （2）设，且，联立椭圆并应用韦达定理得，，点斜式写出直线，的方程，并联立求其交点横坐标，即可证结论. 【小问1详解】 令椭圆方程为，则，可得， 所以椭圆方程为； 小问2详解】 由题意，设，且， 联立与椭圆，得， 所以，则，， 由，，联立可得， 所以，可得， 所以， 所以点G在一条定直线上，得证. 19. 为贯彻落实《全民健身条例》，进一步推动羽毛球运动发展，某市举办“北江杯”羽毛球团体赛，第一阶段是分组循环赛，每组前两名出线进行第二阶段的交叉淘汰赛.某小组有甲、乙、丙、丁四支队伍，每支队伍派出5对双打（三对男双、一对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场的队伍获胜并结束比赛（俗称“见三收”）.在甲、乙两支队伍的比赛中，甲队伍中混双M的胜率是，其余4对双打的胜率均是. （1）混双M在前4场中没有比赛的前提下，求甲队伍在前4场比赛结束就获胜的概率； （2）求甲队伍在前3场比赛结束就获胜的概率； （3）若甲队伍在前3场比赛结束就获胜，求混双M在前3场中有比赛的概率. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设分析知，甲队伍在前4场比赛，每场胜率均为，且甲前3场胜2场且第4场获胜，应用组合数及独立事件乘法公式求概率； （2）分前3场比赛中未出现和出现两种情况，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率； （3）设表示甲在前3场结束获胜，表示前3场比赛中出现，结合（2）知、，再应用条件概率公式求概率. 【小问1详解】 混双M在前4场中没有比赛的前提下，甲队伍在前4场比赛结束就获胜， 由题意，甲队伍在前4场比赛，每场胜率均为，且甲前3场胜2场且第4场获胜， 所以所求概率为； 【小问2详解】 甲在前3场比赛中，未出现概率为，3场比赛甲全胜概率为， 甲在前3场比赛中，出现的概率为，3场比赛甲全胜概率为， 所以甲在前3场比赛结束就获胜的概率. 【小问3详解】 设表示甲在前3场结束获胜，表示前3场比赛中出现， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省2025届高三“百日冲刺”联合学业质量监测 数 学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，若，则（ ） A B. 0 C. 2 D. 或2 2. 若关于x的不等式的解集为空集，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 复数z的模为13，实部为5，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的最小正周期为1，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知函数，若，则（ ） A 1 B. 3 C. 5 D. 7 6. 正方体中，分别是、、的中点，则（ ） A. 直线与是平行直线 B. 过三点的平面与正方体的截面是六边形 C. 直线与平面所成角的正切值是 D. 若正方体的棱长为2，则点到平面的距离是 7. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C：，直线l过点，以下错误的是（ ） A. 若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的条数是2 B. 若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的斜率是或 C. 若直线l与双曲线C有两个不同公共点，则直线l的斜率范围是 D. 若直线l与双曲线C的渐近线相交于A、B两点，则线段AB中点的轨迹是直线 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知在首项为1，公差为d的等差数列中，、、是等比数列的前三项，数列的前n项和为，则（ ） A. 或 B. C. 是等差数列 D. 10. 过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，且，则（ ） A. B. 直线AB斜率为 C. 以AB为直径的圆与直线相切，则或 D. 抛物线上A、B两点处的切线互相垂直 11. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线与有公共点 B. 曲线关于直线对称的曲线是 C. 曲线关于直线对称的曲线是 D. 直线与曲线、的交点分别是A、B，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正六边形ABCDEF的边长为1，则______. 13. 在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是______. 14. 已知圆锥SO的底面半径为2，体积为，ABCDE是底面圆O的内接五边形，则五棱锥的外接球的表面积为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且. （1）求角A； （2）点D在BC边上，且，，求面积的最大值. 16. 在三棱锥中，平面平面，是边长为2正三角形，，. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）n为正整数，当时，曲线在点处的切线记为，直线与y轴交点的纵坐标记为，证明：. 18. 椭圆C的中心在坐标原点、对称轴是坐标轴，点和点Q在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）A、B是椭圆C的左、右顶点，过点的直线l与椭圆C相交于M、N两点（不与A、B重合），直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在一条定直线上. 19. 为贯彻落实《全民健身条例》，进一步推动羽毛球运动发展，某市举办“北江杯”羽毛球团体赛，第一阶段是分组循环赛，每组前两名出线进行第二阶段的交叉淘汰赛.某小组有甲、乙、丙、丁四支队伍，每支队伍派出5对双打（三对男双、一对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场的队伍获胜并结束比赛（俗称“见三收”）.在甲、乙两支队伍的比赛中，甲队伍中混双M的胜率是，其余4对双打的胜率均是. （1）混双M在前4场中没有比赛的前提下，求甲队伍在前4场比赛结束就获胜的概率； （2）求甲队伍在前3场比赛结束就获胜的概率； （3）若甲队伍在前3场比赛结束就获胜，求混双M在前3场中有比赛的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$