热点6-1 空间几何位置关系的证明（6题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考通用）

热点6-1 空间几何位置关系的证明 三年考情分析 2025考向预测 近三年高考中，空间几何位置关系的判断与证明出现频率较高，选择题考查基本概念和简单的位置关系判断，填空题要求考生进行简单的计算或推导，解答题综合考查空间几何证明．题目难度逐年增加，综合性增强，考查形式更加灵活多样． 预计2025年高考数学中基础题仍会占据一定比例，但综合题和创新题的难度可能进一步提升．一方面本节内容可能会结合空间向量、立体几何等知识，另一方面命题可能融入实际生活或工程问题，如建筑结构、空间设计等，考查考生的数学建模能力． 题型1 空间点、线、面位置关系判断 1、判断与空间位置关系有关的命题的方法 （1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断； （2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定． 2、两点注意 （1）平面几何的结论不能完全引用到立体几何中； （2）当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与提升或公认结论相矛盾的命题，进而作出判断． 1．（23-24高三下·江苏宿迁·模拟预测）（多选）设直线m与平面相交但不垂直，则下列命题为真命题的有（    ） A．平面内有无数条直线与直线m垂直 B．过直线m有无数个平面与垂直 C．与直线m垂直的直线可能与平面平行 D．与直线m平行的平面可能与平面垂直 【答案】ACD 【解析】对于A，如图， 在平面内存在无数条直线与直线m垂直，A正确； 对于B，在直线m上取一点， 过该点作平面的垂线，两条直线确定一个平面，该平面与平面垂直， 过直线m有且只有一个平面与平面垂直，B错误； 对于C，类似于选项A，在平面外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面， C正确; 对于D，如图， ，，可作的平行平面， 则且，D正确.故选： 2．（24-25高三上·山西·期末）（多选）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BCD 【解析】，时，或，A错误； 若，，则，B正确； 若，，由线面垂直性质定理知，C正确； ，，，如图， 过m作平面交于直线l，由得， 同理过m作平面与交于直线p，得，所以，而，所以， 又，，则，所以，D正确.故选：BCD. 3．（24-25高三上·福建漳州·模拟预测）（多选）已知a，b，c是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】对于A，因，设， 在平面内取点A，过A分别作，则， 因为，所以，因，故，则A正确； 对于B，如图，长方体中，取平面依次为平面， 取为直线，为直线，显然满足，，但，故B不正确； 对于C，若，直线c与直线可能异面， 可能平行也可能相交，故C不正确； 对于D，由可得，又，则， 同理可得，故可得，即D正确.故选：BC． 4．（24-25高三上·湖南益阳·期末）（多选）已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 【答案】BCD 【解析】A：若，有可能，故A错误； B：若，则，这是线面垂直的判定定理，故B正确； C：若，则，这是线面平行的性质定理，故C正确； D：若，则，这是面面垂直的性质定理，故D正确.故选：BCD 题型2 共点、共线、共面的证明 1、证明三线共点问题的步骤 第一步：先证其中两条直线交于一点； 第二步：再证交点在第三条直线上． 证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线。 2、证明点共线问题的两种方法 （1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； （2）直接证明这些点都在一条特定直线上． 3、证明点线共面问题的两种方法 （1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内； （2）辅助平面法：先证有关点、线共平面，再证其他点、线共平面,最后证平面,重合． 1．（24-25高二上·湖北随州·月考）（多选）在长方体中，直线与平面的交点为M，O为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．三点共线 B．M，O，，A四点共面 C．B，，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 【答案】ABD 【解析】因为，则四点共面.因为，则平面， 又平面，则点在平面与平面的交线上， 同理，也在平面与平面的交线上， 所以三点共线，M，O，，A四点共面，故选项A、B正确； 三点均在平面内，而点A不在平面内， 所以直线AO与平面相交且点O是交点，所以点M不在平面内， 即四点不共面，故选项C错误； 点M在直线上，点O在直线上，所以A，O，C，M四点都在平面， 所以A，O，C，M四点共面，故选项D正确.故选：ABD 2．（23-24高三下·四川南充·三模）如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 【答案】C 【解析】如图， 连接，由分别为中点，可得， 由可知，侧面为菱形， 所以，所以，故A正确； 连接，因为E、F、G、H分别为、、、的中点， 所以，，所以，所以E、F、G、H四点共面，故B正确； 延长交的延长线于点，连接，交于点，连接，， 设确定平面为，则，所以，所以， 则易知三棱柱的截面四边形为， 在中，， 在中，，而中，， 而，所以截面的周长大于，故C错误； 由B知，且，所以梯形的两腰、所在直线必相交于一点， 因为平面，平面， 又平面平面，所以，所以与重合， 即、、三线共点于，故D正确.故选：C 3．（24-25高三上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．证明：//平面，且，，，四点共面； 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为F，G分别为的中点，所以， 又平面CFG，平面，所以平面． 连接HE，在中，， 所以，且， 因为，，所以，且， 所以四边形为平行四边形．所以， 又，所以，故C，E，F，G四点共面． 4．（24-25高三上·全国·专题练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析 【解析】（1）因为、分别是、的中点，所以， 又因为、分别在、上，且． 所以，于是有， 所以、、、四点共面； （2）∵EG与HF交于点P， ∴P在面ABC内， 同理P在面DAC内. 又∵面面， ∴P在直线AC上，∴P、A、C三点共线． 题型3 线线、线面、面面平行证明 1、线线平行的证明方法 （1）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； （2）利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质； （3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 2、线面平行的判定方法 （1）利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点； （2）利用线面平行的判定定理：如果平面外有一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（简记为“线线平行线面平行”） （3）利用面面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么在一个平面内所有直线都平行于另一个平面。（简记为“面面平行线面平行”）． 3、面面平行的判定方法 （1）面面平行的定义：两个平面没有公共点，常与反证法结合（不常用）； （2）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（主要方法）； （3）垂直于通一条直线的两个平面平行（客观题可用）； （4）平行于同一个平面的两个平面平行（客观题可用）． 1．（24-25高三上·全国·专题练习）如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且，求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】连接交于，连接， 四边形是矩形,是的中点， 是线段的中点， 是的中位线，， 又平面，平面，平面. 2．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点，为的中点，为的中点，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接、、. 因为、分别为、的中点，所以，，， 因为，，所以，，， 所以，四边形是平行四边形，所以，， 因为平面，平面，则平面， 又因为、分别为、的中点，则， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，故平面. （2）设，因为，则，则， 所以，，所以，. 由（1）知，平面，所以， 因为为的中点，则，则， 因为平面，平面，所以，， 因为，，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 即为三棱锥的高. 所以，， 故. 3．（23-24高三下·上海嘉定·一模）如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，点分别为梭和的中点. (1)若底面为边长为2的正三角形，且，侧棱与底面所成的角为，求三棱柱的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1)3；(2)证明见解析. 【解析】（1）在三棱柱中，平面平面， 由平面平面，得点在平面上的射影在直线上， 点与其在平面上的射影的距离为点到平面的距离， 直线与直线的夹角即为侧棱与底面所成的角为， 因此，而正的面积， 所以三棱柱的体积. （2）在三棱柱中，取的中点，连接，， 在中，由是的中点，得，且， 而且，又为棱的中点，则，且， 则四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面. 4．（242-5高三行·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是棱上的一个动点，为的中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)若，求证：平面； (3)若，为的重心，证明平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）由已知四边形为菱形，又为的中点，所以为的中点， 又为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面. （2）过作交于，连接，. 因为，平面，平面，所以平面， 因为底面是菱形，是的中点，又因为为的中点，所以为的中点， 因为，，所以为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. （3）连接，并延长，交于点，连接， 因为为的重心，所以为中点，且. 又，所以.所以，所以， 又平面，平面，所以平面. 题型4 线线、线面、面面垂直证明 直线与平面垂直的判定方法 1、利用定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面； 2、利用线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直； 3、可作定理用的正确命题：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面； 4、面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面； 5、面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条直线也垂直于另一个平面； 6、面面垂直的性质：若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面. 1．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）如图，在直四棱柱中，，，，．点在棱上，平面与棱交于点． (1)求证：； (2)若与平面所成角的正弦值是，求三角形的面积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）在直四棱柱中中，平面， 平面，，连接， ，， ，又， ，， ，平面，，平面， 平面，． （2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，设，， 平面的法向量为，， 则，解得， 则，，， 设，，因为四点共面， 则， ，解得，，， ，为棱的中点． 所以，，， ， 所以， 所以三角形的面积． 2．（24-25高三上·山东菏泽·月考）如图，在棱长为1的正方体中，是正方形的中心. (1)求绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为正方体的棱长为1， 所以，，是直角三角形， 所以绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体是底面半径为， 高为1的圆锥，其体积为； （2）方法一：连接，如图. 在正方体中，易知， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. 又平面，所以， 同理可证平面，所以. 因为，平面，所以平面. 方法二：以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 则， ， 所以，， 又，，平面，所以平面. 3．（24-25高三上·河南许昌·期中）如图，棱长1的正方体． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由正方体的棱长为1，可得 的面积为 ， 所以； （2）连接，如图所示：   ， 由平面 ，又平面，∴， 又正方形中，， 且， 且平面，平面，∴平面， 又平面，所以，平面平面. 4．（24-25高三上·江苏南通·月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为长方形，，，E，M，Q，N分别为线段AB，CD，BC，PD的中点，平面底面ABCD.求证： (1)平面AMN； (2)平面平面AMN. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明：连接DE，交AM于点H，连接NH. 因为底面ABCD为长方形，所以，， 因为E，M分别为线段AB，CD的中点， 所以，，所以四边形AEMD为平行四边形． 因为AM，DE为平行四边形的对角线，所以H为DE的中点． 因为N为PD的中点，所以. 因为平面AMN，平面AMN， 所以平面AMN. （2）证明：在中，因为，E为AB的中点， 所以. 又平面底面ABCD，平面底面，平面PAB， 所以底面ABCD. 因为平面ABCD，所以，所以. 在长方形ABCD中，因为， ， 所以，， 所以. 因为，平面AMN， 所以平面AMN， 因为平面QMN，所以平面平面AMN. 题型5 平行关系中的动点探究问题 1、探索性问题的一般解题思路：先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在． 2、探索性问题的答题步骤：第一步对“是否存在”给出作答，写出探求的最后结论；第二步探求结论的正确性。 1．（24-25高三上·广东茂名·一模）如图，中，分别为的中点，将沿着翻折到某个位置得到. (1)线段上是否存在点，使得平面，并说明理由； (2)当时，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)存在，且为中点，证明见解析；(2) 【解析】（1）存在，且为中点，证明如下： 取中点，连接， 因为为中点，所以，， 又平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）连接，则，又， 所以，即， 又因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以两两垂直， 以为原点，分别为轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，不妨令，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，不妨令，则，所以， 设平面与平面所成角大小为，则 ， 所以，平面与平面所成角的余弦值为. 2．（24-25高三上·全国·专题练习）如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【解析】（1）如图，在梯形ABCD中，连接DE，而E是BC的中点，所以， 又，所以， 又，所以四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是菱形，从而， 沿着AE翻折成后，有， 又平面，所以平面， 由题意，易知， 所以四边形是平行四边形，故，所以平面. （2）假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，则四点共面， 又平面，面面，所以， 所以四边形为平行四边形，故，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 3．（24-25高三上·湖北十堰·期末）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱，点、分别在侧棱、上，且. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)已知为底面的中心，在上是否存在点，使得平面？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，且 【解析】（1）解法一：因为在直四棱柱中，底面是边长为的正方形， 以点为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，. 设平面的法向量为，则， 令，则， 易知是平面的一个法向量， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 解法二：延长、，设，连接， 过在平面内作的垂线，垂足为，连接. 因为平面，平面，则， 又因为，、平面，， 所以，平面， 因为平面，所以，， 所以为平面与平面的夹角. 因为，所以，则，则为的中点， 所以，， 在中，， 因为， 所以， 因为平面，平面，则， 则， 所以，， 即平面与平面夹角的余弦值为. （2）解法一：由（1）可得、，， 假设存在满足条件的点，设，所以， 因为平面，所以，解得. 故当时，平面. 解法二：当时，平面. 证明过程如下：连接，取为的中点，连接、. 因为为的中点，所以为梯形的中位线， 即，且， 因为，且，所以，， 所以为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 4．（24-25高三上·广东·开学考试）如图1，直角梯形中，，将直角梯形绕旋转一周得到如图2的圆台，为圆台的母线，且是的中点． (1)在线段上是否存在一点，使平面？说明理由； (2)若为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)存在，理由见解析；(2)． 【解析】（1）线段上存在一点，使平面．理由如下： 过作，垂足为为中点，又， 所以，过作一条平行的直线交于点，此时． 易知平面平面，所以平面AEFD．    同理平面，又，平面， 所以平面平面，平面， 所以平面， 故线段上存在一点，使平面，且； （2）作交下底圆于，因为， 如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系， 则，，   ， 设平面的法向量， 由得，令，则； 设平面的法向量， 由，得，令，则． 设平面与平面的夹角为， 则． 故平面与平面夹角的余弦值为． 题型6 垂直关系中的动点探究问题 1．（24-25高三上·天津·期中）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点． (1)求证：平面； (2)若，求平面ADF与平面BDF夹角余弦值； (3)若线段上总存在一点，使得，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)． 【解析】（1）设，连结，， 矩形中是线段的中点，是线段的中点， 所以，，所以为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面； （2）由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直， 面面，，面，所以面， 以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为，，是线段的中点， 则，，，， 从而，， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 易知平面的一个法向量是，, 所以平面ADF与平面BDF夹角余弦值是； （3）在（2）的坐标坐标系中，，，，在上，设，， 从而， 因为，所以， ，又，则，即， 所以的最大值是． 2．（24-25高三上·广东东莞·月考）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）因为平面平面ABC，平面，，平面平面ABC， 所以平面ABC，平面ABC，所以， 又，，所以, 又，所以， 所以，又，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以平面平面PAB （2） 存在，当时，平面BMN， 过点M作垂足为F， 由（1）知平面ABC，平面ABC，所以， 又点M为AC的中点，， 所以，，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以，，是平面BMN内的两条相交直线， 所以平面BMN， 由已知得， 又，即， 又，所以，所以， 故当时，平面BMN， 3．（24-25高三上·重庆·月考）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【解析】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 4．（24-25高三上·全国·专题练习）如图，正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面平面 (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）在正三棱柱中，因为点为的中点，则， 又平面，平面，则有， 而，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， （2）在平面内过点作交于点， 因为平面平面，平面， 所以平面，则点即为所要找的点， 如下图所示，因为，，所以与相似， 因此， 即有，于是，，所以. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·云南·模拟预测）设是两条不同的直线，为平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，若，则或或与相交，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则或与相交或与异面，故D错误.故选：C. 2．（24-25高三下·湖北随州·月考）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（    ） A．， B．，且 C．，，， D．，， 【答案】D 【解析】选项A中，，，则可能平行也可能相交，故A不正确； 选项B中，，，则可能且，也可能在平面或平面内，故B不正确； 选项C中，，，，，若直线 与直线平行， 则平面可能平行也可能相交，故C不正确； 选项D为面面平行性质定理的符号语言，D正确；故选：D. 3．（24-25高三上·辽宁·模拟预测）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A．∥平面 B．平面 C．存在过的平面，使得 D．存在过的平面，使得 【答案】D 【解析】对于A，因为，平面，平面， 所以平面，故A项正确； 对于B，易证平面，又平面，所以， 同理可得，又，平面，， 所以平面，故B项正确； 对于C，由，平面，平面，得平面， 所以平面即为平面，故C项正确； 对于D，假设，因为，所以， 又，，平面，， 所以平面，这明显错误，所以假设不成立，故D项错误. 故选：D. 4．（24-25高三下·江西九江·月考）如图，在矩形中，，在上且，将沿折起到，使得平面，点在线段上，若平面，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作交于，连接． 则四边形是平行四边形，， 由，在平面外，可得平面． 又平面，，平面， 所以平面平面． 又平面平面，平面平面，所以， 因此．故选：C 二、多选题 5．（24-25高三上·全国·专题练习）如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于，故四点共面； 对于B,,故四点共面； 对于C,,故四点共面； 对于D,因为平面,平面,不过,所以与异面， 所以四点不共面.故选：ABC. 6．（24-25高三上·河南周口·期末）如图，正方体的棱长为2，P，E，F分别为棱，，的中点，Q为线段上的动点，则（    ） A．平面 B． C．平面 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】如下图示，面，且，， 面，面，则面，同理面， 由都在面内，故面面，而面， 所以平面，A对； 根据正方体的结构特征易知面，面，则，B对； 若平面，而平面，则， 显然Q在线段上运动过程中不可能恒有，C错； 由正方体性质关于面对称，易知， 要使最小，只需与垂直，此时， 则，可得， 所以的最小值为，D对. 故选：ABD 7．（24-25高三上·河南周口·期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面与平面不垂直 【答案】ABC 【解析】因为是正方体，所以平面平面， 平面，所以平面，A选项正确； 因为平面，平面，所以，B选项正确； 因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， ，所以平面即为平面， 平面，所以平面，C选项正确； 因为平面，平面，所以平面平面，D选项错误.故选：ABC. 8．（24-25高三上·广东肇庆·二模）如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则平面 B．若，则点的轨迹长度为 C．若，则存在，使 D．若，则存在，使平面 【答案】ABD 【解析】 对于A，若，则，则点在线段上，如上图. 因平面平面,且平面平面,平面平面, 故因平面，平面,故平面，同理可证平面， 因平面，平面,且,故有平面平面， 又因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，若，则（为的中点）如上图. 又因为，所以.故点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，若，则，所以 ，所以点在线段上（如上图）.假设，则， 即，化简得， 该方程无解，所以不存在，故C错误； 对于D，如上图，设为的中点， 当时，则，即， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则, . 所以. 假设平面，则 即解得.故D正确.故选: . 三、填空题 9．（24-25高三下·湖南·月考）如图，在正方体中，延长至使得，点在平面上，过点作于点，满足，则 . 【答案】 【解析】在平面中，以为圆心，为半径作圆，则点在该圆上.设正方体的边长为， 根据割线定理知（或根据三角形相似），则. 连结，与平面相交于点， 因为，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 同理可得，又，平面， 所以平面，又，所以为正的重心， 由，所以， 解得，所以， 由平面，所以. 在中，， 在中，，则. 10．（24-25高三上·河北承德·月考）如图，在棱长均相等的正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论： ①PC∥平面OMN； ②平面PCD∥平面OMN； ③OM⊥PA； ④直线PD与直线MN所成角的大小为90°. 其中正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【解析】连接AC，如图 ∵O为底面正方形的中心，∴是的中点， 又M为侧棱PA的中点，∴PC∥OM， 又PC⊄平面OMN，OM⊂平面OMN，所以PC∥平面OMN， 故结论①正确； 同理PD∥平面OMN，又PCPD＝P，PC，PD平面PCD， 所以平面PCD∥平面OMN，故结论②正确； 由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以. 又∥，所以，故结论③正确； 由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB. 又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以MN∥CD， 所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即∠PDC. 又△PDC为等边三角形，所以，故④错误. 故答案为：①②③. 四、解答题 11．（24-25高三上·山东济南·期末）如图，在四棱柱中，底面ABCD是矩形平面平面ABCD，点E，F分别为棱的中点. (1)证明：B，EF四点共面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）取中点G，连接AG，EG，则有 所以四边形CDGE为平行四边形，所以 又因为所以 所以四边形ABEG为平行四边形，所以 又因为所以四边形为平行四边形， 所以所以所以B，EF四点共面. （2）取DC中点O，AB中点M，连接 因为 所以侧面是菱形，所以 因为平面平面ABCD，平面平面平面 所以平面ABCD，进而有 因为底面ABCD是矩形，所以所以OM，OC两两互相垂直. 如图所示建系， 由知平面ABCD，所以是平面的一个法向量. 设则因此 设平面的法向量，则 所以所以 取则于是是平面的一个法向量. 设平面与平面夹角为 即平面与平面夹角的余弦值为 12．（24-25高三上·新疆·模拟预测）如图，在等腰梯形中，，点为中点，点分别为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面. (1)求证：平面； (2)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求平面与平面夹角的余弦值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1），且， 故四边形是平行四边形，， 又四边形为等腰梯形，， ，可得是等边三角形， 故四边形为菱形，是等边三角形， 为中点，，同理， 又平面， 平面. （2）存在点，使得平面; 设平面与平面夹角为. 平面平面，平面平面平面， 平面， 又，建立以为原点， 所在的直线为轴的空间直角坐标系，如图所示， ， 则， 设，则， 设平面的一个法向量，则，即， 令，则， 要使平面，则， 即，解得，故在侧棱上存在点，使得平面， 此时，， 设平面的一个法向量， 则，即， 令，则，即， 易得平面的一个法向量， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 13．（24-25高三下·广东深圳·月考）如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）正三棱柱的侧面积为：，底面积为. 所以正三棱柱的表面积为：. （2）如图： 因为为等边三角形，为的中点，故， 又三棱柱为直三棱柱，故平面平面， 因为平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （3）连接，交与点，连接. 因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以，又平面,平面， 所以平面. 14．（24-25高三上·广东湛江·期末）如图所示，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，点F是PC的中点，AC交BD于点O，PA底面ABCD，EDPA，且. (1)证明：OF平面PAB ； (2)证明：BD平面PAC ； (3)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【解析】（1）底面ABCD是边长为2的菱形， 点O是BD的中点，又点F是PC的中点， OF是的中位线，则， 又平面PAB，平面PAB， 则平面PAB. （2）由PA底面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以PABD， 底面ABCD是边长为2的菱形，则ACBD， 又且都在平面PAC内，则平面PAC. （3）底面ABCD是边长为2的菱形，， ∴△ABC是等边三角形，， 由PA底面ABCD，又平面ABCD，则PAAC， 所以， 由（1）得且， 又EDPA，，即， 且，则四边形OFED为平行四边形， 且，即， 又平面PAC，所以EF平面PAC，则EF是三棱锥的高. 所以三棱锥的体积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点6-1 空间几何位置关系的证明 三年考情分析 2025考向预测 近三年高考中，空间几何位置关系的判断与证明出现频率较高，选择题考查基本概念和简单的位置关系判断，填空题要求考生进行简单的计算或推导，解答题综合考查空间几何证明．题目难度逐年增加，综合性增强，考查形式更加灵活多样． 预计2025年高考数学中基础题仍会占据一定比例，但综合题和创新题的难度可能进一步提升．一方面本节内容可能会结合空间向量、立体几何等知识，另一方面命题可能融入实际生活或工程问题，如建筑结构、空间设计等，考查考生的数学建模能力． 题型1 空间点、线、面位置关系判断 1、判断与空间位置关系有关的命题的方法 （1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断； （2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定． 2、两点注意 （1）平面几何的结论不能完全引用到立体几何中； （2）当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与提升或公认结论相矛盾的命题，进而作出判断． 1．（23-24高三下·江苏宿迁·模拟预测）（多选）设直线m与平面相交但不垂直，则下列命题为真命题的有（    ） A．平面内有无数条直线与直线m垂直 B．过直线m有无数个平面与垂直 C．与直线m垂直的直线可能与平面平行 D．与直线m平行的平面可能与平面垂直 2．（24-25高三上·山西·期末）（多选）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3．（24-25高三上·福建漳州·模拟预测）（多选）已知a，b，c是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高三上·湖南益阳·期末）（多选）已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 题型2 共点、共线、共面的证明 1、证明三线共点问题的步骤 第一步：先证其中两条直线交于一点； 第二步：再证交点在第三条直线上． 证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线。 2、证明点共线问题的两种方法 （1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； （2）直接证明这些点都在一条特定直线上． 3、证明点线共面问题的两种方法 （1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内； （2）辅助平面法：先证有关点、线共平面，再证其他点、线共平面,最后证平面,重合． 1．（24-25高二上·湖北随州·月考）（多选）在长方体中，直线与平面的交点为M，O为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．三点共线 B．M，O，，A四点共面 C．B，，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 2．（23-24高三下·四川南充·三模）如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 3．（24-25高三上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．证明：//平面，且，，，四点共面； 4．（24-25高三上·全国·专题练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 题型3 线线、线面、面面平行证明 1、线线平行的证明方法 （1）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； （2）利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质； （3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 2、线面平行的判定方法 （1）利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点； （2）利用线面平行的判定定理：如果平面外有一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（简记为“线线平行线面平行”） （3）利用面面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么在一个平面内所有直线都平行于另一个平面。（简记为“面面平行线面平行”）． 3、面面平行的判定方法 （1）面面平行的定义：两个平面没有公共点，常与反证法结合（不常用）； （2）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（主要方法）； （3）垂直于通一条直线的两个平面平行（客观题可用）； （4）平行于同一个平面的两个平面平行（客观题可用）． 1．（24-25高三上·全国·专题练习）如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且，求证：平面. 2．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点，为的中点，为的中点，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 3．（23-24高三下·上海嘉定·一模）如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，点分别为梭和的中点. (1)若底面为边长为2的正三角形，且，侧棱与底面所成的角为，求三棱柱的体积； (2)求证：平面. 4．（242-5高三行·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是棱上的一个动点，为的中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)若，求证：平面； (3)若，为的重心，证明平面. 题型4 线线、线面、面面垂直证明 直线与平面垂直的判定方法 1、利用定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面； 2、利用线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直； 3、可作定理用的正确命题：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面； 4、面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面； 5、面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条直线也垂直于另一个平面； 6、面面垂直的性质：若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面. 1．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）如图，在直四棱柱中，，，，．点在棱上，平面与棱交于点． (1)求证：； (2)若与平面所成角的正弦值是，求三角形的面积． 2．（24-25高三上·山东菏泽·月考）如图，在棱长为1的正方体中，是正方形的中心. (1)求绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积； (2)求证：平面. 3．（24-25高三上·河南许昌·期中）如图，棱长1的正方体． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面平面． 4．（24-25高三上·江苏南通·月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为长方形，，，E，M，Q，N分别为线段AB，CD，BC，PD的中点，平面底面ABCD.求证： (1)平面AMN； (2)平面平面AMN. 题型5 平行关系中的动点探究问题 1、探索性问题的一般解题思路：先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在． 2、探索性问题的答题步骤：第一步对“是否存在”给出作答，写出探求的最后结论；第二步探求结论的正确性。 1．（24-25高三上·广东茂名·一模）如图，中，分别为的中点，将沿着翻折到某个位置得到. (1)线段上是否存在点，使得平面，并说明理由； (2)当时，求平面与平面所成角的余弦值. 2．（24-25高三上·全国·专题练习）如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 3．（24-25高三上·湖北十堰·期末）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱，点、分别在侧棱、上，且. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)已知为底面的中心，在上是否存在点，使得平面？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 4．（24-25高三上·广东·开学考试）如图1，直角梯形中，，将直角梯形绕旋转一周得到如图2的圆台，为圆台的母线，且是的中点． (1)在线段上是否存在一点，使平面？说明理由； (2)若为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 题型6 垂直关系中的动点探究问题 1．（24-25高三上·天津·期中）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点． (1)求证：平面； (2)若，求平面ADF与平面BDF夹角余弦值； (3)若线段上总存在一点，使得，求的最大值． 2．（24-25高三上·广东东莞·月考）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25高三上·重庆·月考）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 4．（24-25高三上·全国·专题练习）如图，正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面平面 (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·云南·模拟预测）设是两条不同的直线，为平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高三下·湖北随州·月考）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（    ） A．， B．，且 C．，，， D．，， 3．（24-25高三上·辽宁·模拟预测）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A．∥平面 B．平面 C．存在过的平面，使得 D．存在过的平面，使得 4．（24-25高三下·江西九江·月考）如图，在矩形中，，在上且，将沿折起到，使得平面，点在线段上，若平面，则的值等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高三上·全国·专题练习）如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·河南周口·期末）如图，正方体的棱长为2，P，E，F分别为棱，，的中点，Q为线段上的动点，则（    ） A．平面 B． C．平面 D．的最小值为 7．（24-25高三上·河南周口·期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面与平面不垂直 8．（24-25高三上·广东肇庆·二模）如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则平面 B．若，则点的轨迹长度为 C．若，则存在，使 D．若，则存在，使平面 三、填空题 9．（24-25高三下·湖南·月考）如图，在正方体中，延长至使得，点在平面上，过点作于点，满足，则 . 10．（24-25高三上·河北承德·月考）如图，在棱长均相等的正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论： ①PC∥平面OMN； ②平面PCD∥平面OMN； ③OM⊥PA； ④直线PD与直线MN所成角的大小为90°. 其中正确结论的序号是 . 四、解答题 11．（24-25高三上·山东济南·期末）如图，在四棱柱中，底面ABCD是矩形平面平面ABCD，点E，F分别为棱的中点. (1)证明：B，EF四点共面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 12．（24-25高三上·新疆·模拟预测）如图，在等腰梯形中，，点为中点，点分别为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面. (1)求证：平面； (2)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求平面与平面夹角的余弦值，若不存在，请说明理由. 13．（24-25高三下·广东深圳·月考）如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 14．（24-25高三上·广东湛江·期末）如图所示，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，点F是PC的中点，AC交BD于点O，PA底面ABCD，EDPA，且. (1)证明：OF平面PAB ； (2)证明：BD平面PAC ； (3)若，求三棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$