精品解析：河南省部分学校2024-2025学年高三阶段性测试（五）数学试卷

2024-2025学年高中毕业班阶段性测试（五） 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 采用随机抽样抽到一个容量为100 的样本，由样本数据得到如下的频数分布表： 分组 频数 10 15 x 25 20 10 若用每组的中点值来代表该组数据，则估计总体的平均数为（ ） A. 42 B. 44 C. 46 D. 48 4. 以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的高为4，侧面积是底面积的3倍，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为常数，点P在线段上（端点除外），过点P且垂直于的平面截正方体所得截面的周长为y，若，则y关于x的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆C：的左焦点为F，经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若向量，，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 10. 记等比数列的公比为，前项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. ，，成等比数列 B. 若，则数列的前项和为 C. 若，则存在正整数，使得当时， D. 若，则 11. 已知函数的导函数为，的导函数为，若，，则称是“T函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 是T函数 B. 若是定义域为的T函数，则 C. 若对任意成递增等差数列的4个数，，，，都有,则是T函数 D. 若是定义域为的T函数，且当时，则在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，则______． 13. 五人计划假期去旅游，有甲、乙、丙、丁四个景点供选择，若每人随机选一个景点，则仅有两个景点被选到的概率为_____. 14. 设表示不大于x的最大整数，如，，若正数a满足，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若D为AC的中点，且，求． 16. 如图，在三棱台中，平面ABC，，，，，M为的中点． （1）证明：平面AMC； （2）求平面和平面AMC夹角的余弦值． 17. 在一次军事演习中，某炮兵部队有甲、乙、丙三门火炮对敌方目标M进行射击，现设计了以下规则：每次让一门火炮对M射击一次，如果没有击中M就换另一门火炮进行射击，如果击中M或甲、乙、丙都射击过一次就停止射击．已知甲、乙、丙每次射击击中M的概率分别为，，，且每次射击相互独立． （1）若按甲、乙、丙的顺序进行射击，且，，，求M被击中的概率； （2）若安排乙第二个射击，且，要使射击总次数的数学期望较小，应该安排哪一门火炮第一个射击？ 18. 已知，函数在处取得极值． （1）求a； （2）证明：对任意的m，，都有； （3）若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 19. 已知双曲线C：的离心率为，且C经过点． （1）求C的方程； （2）作C在点P处的切线l，设l与C的两条渐近线分别交于点Q，R，求； （3）将横、纵坐标均为正整数的点称为“格点”，记C上的所有格点为，，，…，，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高中毕业班阶段性测试（五） 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的四则运算化简复数，结合复数的几何意义即可得解. 【详解】，复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以复平面内z对应的点位于第二象限. 故选：B. 2. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别讨论和的情况，结合并集结果可确定结果. 【详解】若，则，此时，，则，不合题意； 若，则或， 当时，，，则，不合题意； 当时，，，则，符合题意； 根据集合元素间的互异性可知， 综上所述：. 故选：A. 3. 采用随机抽样抽到一个容量为100 的样本，由样本数据得到如下的频数分布表： 分组 频数 10 15 x 25 20 10 若用每组的中点值来代表该组数据，则估计总体的平均数为（ ） A. 42 B. 44 C. 46 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】先求出值，再根据均值定义计算． 【详解】由已知得， 估计总体的平均数为． 故选：C． 4. 以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该抛物线向右平移1个单位长度得标准抛物线，即可得其标准方程，再利用平移即可得解. 【详解】将该抛物线向右平移1个单位长度， 所得的抛物线以点为焦点，直线为准线， 故抛物线的方程为，再将其向左平移1个单位长度， 得原抛物线的方程为. 故选：B. 5. 已知圆锥的高为4，侧面积是底面积的3倍，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积和底面积以及体积公式来求得正确答案. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h， 由题意知，所以，又， 所以，所以圆锥的体积． 故选：D 6. 已知函数，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数周期及，可得，然后分别验证 和可得答案. 【详解】由已知得的最小正周期：，因为，， 而，所以的图象关于坐标原点对称，所以， 所以．不妨令， 若，则，符合题意， 若，则，不符合题意， 故． 故选：C 7. 已知正方体的棱长为常数，点P在线段上（端点除外），过点P且垂直于的平面截正方体所得截面的周长为y，若，则y关于x的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分点P在线段AQ和线段上以及在线段QR上，结合图形讨论即可. 【详解】如图所示，设平面和平面分别与交于点Q，R，当点P在线段AQ和线段上时，截面是正三角形，当点P越靠近点A或越靠近点时，截面周长越小，且变化是线性的． 当点P在线段QR上（不含点Q，R）时，截面是六边形EFGHMN，且，，，， 所以，所以，所以六边形EFGHMN的周长与的周长相等．综上可知y关于x的函数图象大致为D． 故选：D 8. 已知椭圆C：的左焦点为F，经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线方程联立椭圆方程，写出韦达定理，根据题目中的等式，可得齐次方程，可得答案. 【详解】设，，则l的方程为， 由，得， 设，，则，①． 因为，所以②． 由①②可得，再结合，，得，解得． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若向量，，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 【答案】CD 【解析】 【分析】利用向量模长公式判断A；根据向量平行的性质判断B；根据向量垂直数量积为零判断C；利用投影向量的定义判断D. 【详解】因为向量，，， 对于A，，故 A 错误； 对于B，，与不平行，故B错误； 对于C，因为，则，，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D正确． 故选：CD. 10. 记等比数列的公比为，前项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. ，，成等比数列 B. 若，则数列的前项和为 C. 若，则存在正整数，使得当时， D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题可先根据等差数列的性质求出公比，再根据等比数列的性质、通项公式、前n项和公式，结合指数性质等逐一分析选项. 【详解】因为，且，，成等差数列，所以，所以，解得或. 对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，，则，所以， 所以的前项和为，故B正确； 对于C，当时，，，由于呈指数增长， 而呈线性增长，因此当足够大时，必有，故C正确； 对于D，当时，，则，当且仅当时取等号， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数的导函数为，的导函数为，若，，则称是“T函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 是T函数 B. 若是定义域为的T函数，则 C. 若对任意成递增等差数列的4个数，，，，都有,则是T函数 D. 若是定义域为的T函数，且当时，则在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A验证即可判断，对于B设，因为是T函数，得单调递增，即即可判断，对于C因为，，，成递增的等差数列，故可设：，，，，，考虑函数，验证是否是“T函数”即可判断，对于D任意选取，构造，由是T函数，得在上单调递增，利用导数研究的单调性即可判断. 【详解】对于A，由题意得，，所以是T函数，故A正确； 对于B，设，则， 因为是T函数，所以在上单调递增， 所以，所以单调递增，所以， 即，所以，故B正确； 对于C，因为，，，成递增的等差数列， 故可设：，，，，， 考虑函数，因为 ， 所以，但，， 所以不是T函数，故C错误； 对于D，因为是T函数，所以在上单调递增，任意选取， 设函数，则， 当时，， 当时，， 所以，即， 当时，因为，所以， 左边是关于x的一次函数，根据直线的性质知， 这里的是任意选取的，所以，，所以在上单调递增，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系与二倍角公式结合题意可得答案. 【详解】因，则，， 又，则，又， 则. 故答案为： 13. 五人计划假期去旅游，有甲、乙、丙、丁四个景点供选择，若每人随机选一个景点，则仅有两个景点被选到的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分别求解五个人任意选择景点和仅有两个景点被选到的方案数，由古典概型概率公式可求得结果. 【详解】五个人任意选择景点，不同的选择方案有：种； 若仅有两个景点被选到，则不同的选择方案有：种， 仅有两个景点被选到的概率. 故答案为：. 14. 设表示不大于x的最大整数，如，，若正数a满足，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据的定义进行分析，由此列不等式来求得的取值范围，进而求得正确答案. 【详解】因为， 所以该式的前项都为，后项都为， 所以，， 所以且，得， 因为，，所以， 所以，故． 故答案为： 【点睛】 思路点睛： 遇到此类取整函数和式的问题，首先根据和式的结果分析每一项的取值情况，列出关于变量的不等式.然后解不等式得到变量的取值范围，若取值范围涉及到指数形式，通过计算近似值进一步精确范围.最后根据变量的取值范围求出所求式子的值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若D为AC的中点，且，求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边角转化，再结合三角恒等变换运算求解； （2）利用向量整理可得，利用余弦定理可得，结合题意运算求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 又因为， 化简得， 因为，则，可得， 且，所以． 【小问2详解】 因为D为AC的中点，则， 可得， 所以． 由余弦定理可得， 因为，则， 整理得，即，解得或． 16. 如图，在三棱台中，平面ABC，，，，，M为的中点． （1）证明：平面AMC； （2）求平面和平面AMC夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图，连接，由题意知平面， 所以，又，， 所以，因为M是的中点，所以． 因为平面ABC，所以， 又，，所以平面，所以． 因为，所以平面AMC． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，可证，由平面ABC，得，利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，由（1）知平面AMC的一个法向量为，利用夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为坐标原点，以直线AB，AC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，，， 所以，． 设平面的法向量为， 则，取， 由（1）知平面AMC的一个法向量为， 因为， 所以平面和平面AMC夹角的余弦值为． 17. 在一次军事演习中，某炮兵部队有甲、乙、丙三门火炮对敌方目标M进行射击，现设计了以下规则：每次让一门火炮对M射击一次，如果没有击中M就换另一门火炮进行射击，如果击中M或甲、乙、丙都射击过一次就停止射击．已知甲、乙、丙每次射击击中M的概率分别为，，，且每次射击相互独立． （1）若按甲、乙、丙的顺序进行射击，且，，，求M被击中的概率； （2）若安排乙第二个射击，且，要使射击总次数的数学期望较小，应该安排哪一门火炮第一个射击？ 【答案】（1） （2）甲先射击． 【解析】 【分析】（1）事件A表示“M被击中”，即计算即可； （2）按甲、乙、丙的顺序射击和按丙、乙、甲的顺序射击分别计算射击总次数的数学期望，比较数学期望的大小即可. 【小问1详解】 设事件A表示“M被击中”， 则． 【小问2详解】 设射击的总次数为X，则X的所有可能取值为1，2，3． 若按甲、乙、丙的顺序射击， 则，，， 所以． 若按丙、乙、甲的顺序射击， 同理得． 因为 ， 又因为，，所以， 所以要使射击总次数的数学期望较小，应该让甲先射击． 18. 已知，函数在处取得极值． （1）求a； （2）证明：对任意的m，，都有； （3）若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 【答案】（1） （2） 对任意的m，，设，则， 由（1）知，则在上单调递增， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 因为，所以，即， 故． （3）5． 【解析】 【分析】（1）先求导，由在处取得极值，得解出验证即可； （2）设，验证的单调递增，即有，即可得证； （3）存在实数，使得成立，即成立．构造函数，即求即可. 【小问1详解】 ， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得． 经验证当时，在处取得极小值，符合题意， 故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在实数，使得成立，即成立． 令，，则，， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增． 又，， 故存在唯一的，使得，即． 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得， 故k的最小整数值为5． 19. 已知双曲线C：的离心率为，且C经过点． （1）求C的方程； （2）作C在点P处的切线l，设l与C的两条渐近线分别交于点Q，R，求； （3）将横、纵坐标均为正整数的点称为“格点”，记C上的所有格点为，，，…，，证明：为定值． 【答案】（1） （2） （3）在方程中，令得，令得，则． 因为， 所以，得是C上的一个格点， ，得是C上的一个格点． 按这种构造方式，由可以得到一系列格点． 下面证明C上的任意一个格点都满足该式： 任取两个由上述方式得到的相邻格点和， 假设在点和之间存在另外的格点， 即存在，，满足． 因为是C上的格点，所以， 所以， 得， 设，，则． 由点，在C上，可得，，且， 所以，，再由、、、，得、， 故也是C上的格点．另一方面，因为，， 所以，即， 所以． 而，即． 显然，C上不存在格点满足该式，矛盾，假设不成立， 故C上的所有格点都满足． 由，得． 所以 所以，为定值． 【解析】 【分析】（1）由题意，根据离心率以及标准方程建立方程组，可得答案； （2）利用导数求得切线方程，由双曲线的标准方程可得渐近线方程，联立求得交点，根据两点距离公式，可得答案； （3）利用列举法观察规律，根据反证法可得“格点”所满足的等式，可得答案. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以C的方程为． 【小问2详解】 当时，由得，所以， 所以l的斜率为，l的方程为，即， 由得C的渐近线方程为， 联立与，解得， 所以． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：第三问利用列举法求得符合题意的“格点”，猜想“格点”坐标满足的等式，再利用反证法，验证所有“格点”的坐标都满足这一等式，即可表现出“格点”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $