精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三下学期2月开学考试数学试题

新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三下学期2月份开学考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一件艺术品由外层一个大正四面体，内层一个小正方体构成，外层正四面体的棱长为2，在该大正四面体内放置一个棱长为的小正方体，并且小正方体在大正四面体内可以任意转动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（ ）. A. B. C. D. 2 8. 是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的导函数为，的导函数为，若，，则称是“T函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 是T函数 B. 若是定义域为的T函数，则 C. 若对任意成递增等差数列的4个数，，，，都有,则是T函数 D. 若是定义域为的T函数，且当时，则在上单调递增 10. 如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若，则存在，使 D. 若，则存在，使平面 11. 下列说法正确的是（ ） A. 有一组数1，2，3，5，这组数的第75百分位数是3 B. 在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05 C. 随机变量，若，则 D. 用拟合一组数据时，经代换后得到的回归直线方程为，则， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定义在上的函数的导函数为，且，，若，则______． 13. 甲、乙、丙3人做传球游戏，游戏规则为：一人随机将球传到另外两人中的一人手里，接到球的一人再将球随机传到另外两人中的一人手里，如此循环传递下去，如果由甲先传球，则连续传球五次后，球在甲手里的概率为______. 14. 已知焦点在轴上的椭圆的左焦点为，为坐标原点，三点均在上（，位于同一象限），在线段上，在线段上，且，则的离心率为：__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. △ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且. （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的周长的值. 16. 如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点. （1）①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明； （2）设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：. 18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 19. 若无穷数列满足：对于，，其中A为常数，则称数列为“A数列”． （1）若等比数列为“A数列”，求的公比q； （2）若数列为“A数列”，且，． ①求证：； ②若，且是正项数列，，求满足不等式的的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三下学期2月份开学考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式和一元二次不等式求出集合和，再由交集定义求解即得. 【详解】因， 则 故. 故选：C． 2. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算，得到，再利用共轭复数的定义、复数的运算及复数模长的计算，即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 故选：C. 3. 已知均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可根据基本不等式求解. 【详解】由可得， 故， 由于故，当且仅当，即时取等号， 故，故的最小值为3， 故选：C 4. 公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用排列、组合及古典概率公式，求出，，再利用条件概率公式，即可求解. 【详解】由题知，， 所以， 故选：C. 5. 已知实数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，将其看作直线，由题知直线和圆有公共点，则利用圆心到直线的距离小于或等于圆的半径，即可求出结果. 【详解】设，将其看作直线， 由直线与圆有公共点， 得圆心到直线的距离小于或等于圆的半径， 即，解得， 所以的最大值为， 即的最大值为 故选：D 6. 已知一件艺术品由外层一个大正四面体，内层一个小正方体构成，外层正四面体的棱长为2，在该大正四面体内放置一个棱长为的小正方体，并且小正方体在大正四面体内可以任意转动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用当这个小正方体可以在大正四面体内部任意转动且小正方体的棱长最大时，小正方体的外接球的半径等于该大正四面体的内切球的半径.先求出正四面体的内切球的 半径，再利用正方体的外接球的半径即可求得结果. 【详解】如图，正四面体底面的中心记为点，连接，. 由正四面体的性质可得：面.因为正四面体棱长为2， 所以底面三角形的高为，则， 所以正四面体的高. 设正四面体内切球的半径为，球心为. 由等体积法可得：， 即，解得：， 所以正四面体的内切球的半径， 因为正方体的棱长为， 所以正方体的外接球的半径，因此. 故选：C 7. 已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（ ）. A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】建立坐标系，写出点的坐标，设，，得到，求出最大值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 8. 是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明得到是以为周期的函数，排除C、D.再研究的函数性质，借助导数即可. 【详解】，， 可以得到是以为周期的函数，所以的轨迹在四个象限内应相似，故排除C、D. 由于A、B项均关于对称，所以仅研究，此时，令 ，，令， 则， 解得(负数根舍去)，则 在单调递减，单调递增，即在单调递增，在有且仅有一个极值点，所以不会一直增大，B正确. （注：本题在A、B当中选择亦可使用特殊值法，，选B） 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的导函数为，的导函数为，若，，则称是“T函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 是T函数 B. 若是定义域为的T函数，则 C. 若对任意成递增等差数列的4个数，，，，都有,则是T函数 D. 若是定义域为的T函数，且当时，则在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A验证即可判断，对于B设，因为是T函数，得单调递增，即即可判断，对于C因为，，，成递增的等差数列，故可设：，，，，，考虑函数，验证是否是“T函数”即可判断，对于D任意选取，构造，由是T函数，得在上单调递增，利用导数研究的单调性即可判断. 【详解】对于A，由题意得，，所以是T函数，故A正确； 对于B，设，则， 因为是T函数，所以在上单调递增， 所以，所以单调递增，所以， 即，所以，故B正确； 对于C，因为，，，成递增的等差数列， 故可设：，，，，， 考虑函数，因为 ， 所以，但，， 所以不是T函数，故C错误； 对于D，因为是T函数，所以在上单调递增，任意选取， 设函数，则， 当时，， 当时，， 所以，即， 当时，因为，所以， 左边是关于x的一次函数，根据直线的性质知， 这里的是任意选取的，所以，，所以在上单调递增，故D正确． 故选：ABD. 10. 如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若，则存在，使 D. 若，则存在，使平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项，统一变量，结合向量的线性运算关系判断动点的位置可得出结果；C选项可做反解验证，以垂直为条件运算；D选项为探究，可假设存在，以线面垂直为条件求解验证判别. 【详解】 对于A，若，则，则点在线段上，如上图. 因平面平面，且平面平面，平面平面， 故因平面，平面，故平面，同理可证平面， 因平面，平面，且，故有平面平面， 又因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，若，则（为的中点）如上图. 又因为，所以.故点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，若，则，所以. ，所以点在线段上（如上图）.假设，则， 即，化简得， 该方程无解，所以不存在，故C错误； 对于D，如上图，设为的中点， 当时，则，即， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则， . 所以. 假设平面，则， 即，解得.故D正确. 故选： . 11. 下列说法正确的是（ ） A. 有一组数1，2，3，5，这组数的第75百分位数是3 B. 在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05 C. 随机变量，若，则 D. 用拟合一组数据时，经代换后得到的回归直线方程为，则， 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：利用百分位数求解，对于B：用独立性检验知识求解；对于C：利用二项分布求解；对于D：拟合回归方程来计算 【详解】对于选项A：因为，故第75百分位数是，故A错误； 对于选项B：在的独立性检验中，若不小于对应的临界值， 可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05，故B正确； 对于选项C：随机变量，若， 则，解得，故C错误； 对于选项D：用拟合一组数据时，经代换后得，因为代换后得到的回归直线方程为，所以，，故D正确； 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定义在上的函数的导函数为，且，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知条件构造出一个新的函数，利用导数的运算法则找到新函数的导数形式，再结合已知条件求出新函数的表达式，进而得到原函数的表达式，最后根据给定的函数值求出对应的自变量的值. 【详解】可化为． 设，则， 所以（为常数）， 则， 所以，则． 由，知， 因为，所以在上单调递增， 因为，所以． 故答案为：. 13. 甲、乙、丙3人做传球游戏，游戏规则为：一人随机将球传到另外两人中的一人手里，接到球的一人再将球随机传到另外两人中的一人手里，如此循环传递下去，如果由甲先传球，则连续传球五次后，球在甲手里的概率为______. 【答案】##0.3125 【解析】 【分析】求出五次传球总的传球结果数，然后分析如何传球才能使得满足题意，分别求出其可能的结果数，然后求和.最后利用古典概型求出概率即可. 【详解】每次传球都有两种选择，所以5次传球共有种传球结果. 因为从甲开始，最后回到甲手上，所以第一次传球后不可能是甲接到球，第四次传球后不可能是甲接到球. 如果第二次传球是甲接到球，则第三次传球后不是甲接到球，所以共有种传球结果； 如果第二次传球不是甲接到球，第三次传球后也不是甲接到球，则有种传球结果； 如果第二次传球不是甲接到球，第三次传球后是甲接到球，则有种传球结果； 所以甲先传球，则连续传球五次后，球在甲手里共有种传球的结果， 所以甲先传球，则连续传球五次后，球在甲手里得概率为. 故答案为： 14. 已知焦点在轴上的椭圆的左焦点为，为坐标原点，三点均在上（，位于同一象限），在线段上，在线段上，且，则的离心率为：__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，可设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理，表示出，进而得到，再根据直线的斜率列式，可得的关系，进而可求椭圆的离心率. 【详解】如图：不妨设点在轴上方. 因为，在线段上，所以直线的方程为：. 由得：. 设，，则，所以. 根据椭圆的对称性，可得. 由，所以直线的倾斜角为，所以. 即， 所以. 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题意可得、两点关于原点对称，再根据直线的倾斜角可得直线的倾斜角，由斜率列式可求的关系. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. △ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且. （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的周长的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边及余弦定理即可求解； （2）由数量积可求出，结合（1）可求出，进而可知△ABC的周长. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 所以， 因为，所以 【小问2详解】 因为，所以，即，所以， 由（1）知，所以 又，所以，解得， 所以△ABC的周长为， 所以△ABC的周长为. 16. 如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点. （1）①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明； （2）设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）选条件②，证明见解析； （2）存在，或. 【解析】 【分析】（1）取AB中点O，连接，先假设，则有，进而得到条件②能使，从而选条件②，再由先出垂直判定定理结合线面垂直定义即可得证； （2）以O为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面和平面的一个法向量，利用求出参数y即可得解. 【小问1详解】 取AB中点O，连接，因为为棱的中点， 所以，又，则， 若，又，，、平面， 则平面，又平面， 所以有，又①②③④四个条件中， 条件②能使，故选条件②： 证明：，O为中点，所以有， 又，，、平面， 所以平面，又平面， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，即为正三角形， 取AB中点O，则有，则由（1）可知平面， 所以是二面角的平面角，故， 设，则， 则点P到底面的距离为，点P在底面的投影落在直线上且与距离为， 以O为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 所以， 分别设平面和平面的一个法向量为， 则，， 取，， 则， 则. 解得或，满足题意， 所以存在点E使得二面角的余弦值等于，当时，；当时，. 【点睛】关键点睛：解决第（2）问的关键是正确建立适当的空间直角坐标系，正确表示点P的坐标. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明如下： 法一：要证，即证， 即证， 由（1）知，时在上单调递增，在上单调递减， 所以， 取得，即， 令，则， 当时，；当时，， 所以当时，取得极小值， 所以，即， 所以， 所以. 法二：要证，即证， 令，则， 易知在区间上单调递减，又， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即， 所以得证. 【解析】 【分析】（1）求导，再分和，由，求解即可； （2）法一：转化为，根据（1）得到，取得到，再由证明；法二：转化为，令利用导数法证明则即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 苦，则在上单调递增， 若，由，得， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：证明不等式，一般转化为，令，由证明. 18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 【答案】（1） （2）（i）由题：若，则，， 又， 所以（或）， 由切比雪夫不等式可知，， 所以， （ii）不可信． 【解析】 【分析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，然后求出，，由条件概率求得； （2）（i）由二项分布期望和方差公式求得，，由二项分布随机变量的概率的性质得到，然后由切比雪夫不等式得到结果； （ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取100件产品中合格品的件数为，则，再由期望和方差公式求得，，由由切比雪夫不等式求出，然后由小概率原理做出判断. 【小问1详解】 记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品， ，， ； 【小问2详解】 （i）略 （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，所以，， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知， 一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信． 19. 若无穷数列满足：对于，，其中A为常数，则称数列为“A数列”． （1）若等比数列为“A数列”，求的公比q； （2）若数列为“A数列”，且，． ①求证：； ②若，且是正项数列，，求满足不等式的的最小值． 【答案】（1） （2）①证明见详解；②1 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合等比数列通项公式分析求解； （2）根据题意结合等差数列通项公式可得.①可得，根据分析证明即可；②可得，赋值求的值或范围，根据，分析求解. 【小问1详解】 因为等比数列为“A数列”，则， 即，可得， 若上述方程对任意恒成立，则，且为定值， 所以的公比. 【小问2详解】 由题意可知：，且， 则数列是以首项为，公差为1的等差数列， 可得，即. ①因为， 若，则； 若，则； 若，则， 可得； 综上所述：； ②因为，且是正项数列，则，即， 可得， 若对任意恒成立，即， 令，可得，可得， 且，则， 若，可得， 又因为， 可得， 所以符合题意； 若对任意恒成立，即， 令，可得，可得， 若，可得， 又因为， 可得，， 可得，所以符合题意； 综上所述：的最小值1. 【点睛】方法点睛：数列与函数、不等式的综合问题的常见题型 1.数列与函数的综合问题主要有以下两类： ①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形． 2.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $