第6章 实数 单元测试-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

1 第 6 章 实数 单元测试 总分：120 分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第6章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。 1．下列各数中无理数为（ ） A． π 2 B． 3 8 C．0 D． 23 6 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. π 2 是无理数，故该选项符合题意； B. 3 8 2   ，是有理数，故该选项不符合题意； C.0 是有理数，故该选项不符合题意； D. 23 6 是有理数，故该选项不符合题意； 故选：A ． 2． 9 的绝对值是（ ） A． 1 9  B． 1 9 C． 3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，算术平方根．先求算术平方根，再根据绝对值的意义直接求解即可． 【详解】解： 9 3 3    ， 2 故选：D． 3．下列等式中，错误的是（ ） A． 64 8   B． 3 0.001 0.1 C． 3 216 6   D． 25 5  【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根以及立方根的定义，一个正数有两个平方根，这两个平 方根互为相反数．依据平方根、算术平方根以及立方根的定义，即可得出结论． 【详解】解：A． 64 8   ，等式成立，故本选项计算正确，不符合题意； B. 3 0.001 0.1 ，等式成立，故本选项计算正确，不符合题意； C. 3 216 6   ，等式成立，故本选项计算正确，不符合题意； D. 25 5 ，故本选项计算错误，符合题意； 故选：D． 4．如图，数轴上点 P表示的无理数可能是（ ） A． 3 B． 5 C．  D． 7 3  【答案】B 【分析】本题考查了用数轴表示无理数，无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数的定义和数轴上点 P的位置，逐项判断即可． 【详解】解：设点 P表示的无理数为 a， 由数轴可知 3 2a    A. 2 3 1     ，故该选项不符合题意； B. 3 5 2     ，故该选项符合题意； C. 4 3     ，故该选项不符合题意； D. 7 3  不是无理数，故该选项不符合题意； 故选：B ． 5．下列说法正确的是（ ） A．负数没有立方根 B． a 一定没有平方根 C．有理数与数轴上的点是一一对应的 3 D．两个无理数的和可能是有理数 【答案】D 【分析】本题考查立方根、平方根、数轴、无理数等知识，熟练掌握相关概念，逐项判定即可得到答 案． 【详解】解：A、负数有立方根，选项说法错误，不符合题意； B、 a 不一定是负数，当 0a  ， 0a  ，此时 a 有平方根，选项说法错误，不符合题意； C、实数与数轴上的点是一一对应的，选项说法错误，不符合题意； D、比如 2 2 0   ，则两个无理数的和可能是有理数，说法正确，符合题意； 故选：D． 6．魔方可以看作是一个正方体，现有一个体积为 3125cm 的魔方，则这个魔方的棱长为（ ） A．5cm B． 4cm C．3cm D． 5cm 【答案】A 【分析】本题主要考查求一个数的立方根，掌握立方根的概念和求一个数的立方根是解题的关键．正 方体的体积是棱长的三次幂，已知体积求棱长，则是求体积的三次方根，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，设正方体的棱长为 x， ∴ 3 125x  ，则 5x  ， ∴正方体的棱长为5cm， 故选：A． 7．定义新运算“☆”： 2 2a b a b ☆ ，则  3 4 12☆ ☆ （ ） A．13 B． 13 C．12 D．144 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据新定义运算计算即可． 【详解】解： 2 2a b a b  ☆   2 2 2 212 3 4 12 3 4 12 5 12 5 13      ☆ ☆ ☆ ☆ ， 故选：A ． 8．估计 8 1 的值在（ ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】此题主要考查了估算无理数大小，先估算 8的大小，再估计 8 1 的值． 4 【详解】解：∵ 2 8 3  ， ∴3 8 1 4   ， ∴ 8 1 在3和4之间． 故选：C． 9．按一定规律排列的代数式： x， 22x ， 33x ， 42x ， 55x ， 66x ，，第 n个代数式是 （ ） A． nx B． 1 nn x C． nnx D． nnx 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化类，算术平方根，准确找出代数式的排列规律是解题的关键． 根据代数式的系数、字母的指数的规律即可得出第 n个代数式． 【详解】解：∵ 11x x ， 22x ， 33x ， 4 42 4x x ， 55x ， 66x ，， ∴第 n个代数式是 nnx ， 故选：D． 10．已知 1a 为实数，规定运算： 2 1 11a a   ， 3 2 11a a   ， 4 3 11a a   ， 5 4 11a a   ，L ， 1 11n n a a    ， 按上述方法，当 1 3a  时， 3 20252a 的值等于（ ） A． 2 3 B． 1 2  C． 1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律题，求一个数的立方根，当 1 3a  时，则 2 1 1 1 21 1 3 3 a a      ， 3 1 11 2 2 3 a     ， 4 11 31 2 a     ， 5 1 21 3 3 a    ，L ，则有 na 以三个数为一组，不断循环，从而有 2025 3 1 2 a a   ，然后代入求出立方根即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当 1 3a  时， ∴ 2 1 1 1 21 1 3 3 a a      ， 3 1 11 2 2 3 a     ， 5 4 11 31 2 a     ， 5 1 21 3 3 a    ， L ， ∴ na 以三个数为一组循环， ∴2025 3 675  ， ∴ 2025 3 1 2 a a   ， ∴ 33 32025 12 2 1 1 2 a            ， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 11．计算： 25  . 【答案】5 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据 25 5 即可求解． 【详解】解： 25 5 ， 故答案为：5． 12．若 2a  和2 11a 都是同一个正数的平方根，则这个正数是 ． 【答案】25或225/225或25 【分析】本题考查平方根，分类讨论，根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出a值， 再求出一个平方根，平方就可以得到这个正数；或者这个两个数是同一个数求解． 【详解】解：由题可知， ① 1 02 2 1aa    ， 解得 3a  ， 这个正数为  23 2 25  ； ② 2 2 11a a   ， 解得： 13a  ， 所以这个正数为：  213 2 225  ， 6 故答案为：25或225． 13．已知 2 1.414 ， 20 4.472 ，那么 200  . 【答案】14.14 【分析】本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方 数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位．被开 方数 200是把2的小数点向右移动2位后得到的，则 200 的值是把1.414的小数点向右运动1位． 【详解】解∶ ∵ 2 1.414 ， 200 2 100  ， ∴ 200 14.14 ， 故答案为∶14.14． 14．若自然数m是13的倍数，则称m为“祥和数”．判断数m是否为“祥和数”，可用m的末三位数 减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为  G m ，若  G m 是“祥和数”，则m就是“祥和 数”．比如：数12831，它的末三位是831，末三位以前是12，则  12831 831 12 819G    ，因为 819 13 63  ，所以  12831G 是“祥和数”，即12831是“祥和数”．若整数 7 4m n  （其中 n为自然 数）是“祥和数”，则m的最小值为 ．设整数 2024 110a m  ， 4050 105b n p   （0 8m  ， 1 6n  ，0 3p  ，且m， n， p均为整数），若 a，b都是“祥和数”，则  G a b 的最大值 为 ． 【答案】 39 936 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，列代数式，代数式求值等知识点，正确理解新定义， 求出 a、b的值是解题的关键． 由“祥和数”的定义可求出 n的取值，进而求出m的最小值；由“祥和数”的定义可求出 a、b的值， 进而可得出  G a b 的最大值． 【详解】解：由题意可得： 当 0n  时， 4m  ，不是“祥和数”， 当 1n  时， 11m  ，不是“祥和数”， 当 2n  时， 18m  ，不是“祥和数”， 当 3n  时， 25m  ，不是“祥和数”， 当 4n  时， 32m  ，不是“祥和数”， 当 5n  时， 39m  ，是“祥和数”， m 的最小值为39； 整数 2024 110a m  （0 8m  ，且m为整数）是“祥和数”， 7   24 110 2 110 22 13 8 6 22mG ma m m          ， 6 22m  是13的倍数， 5m  ， 2574a  ， 4050 105b n p   （1 6n  ，0 3p  ，且 n， p均为整数）是“祥和数”，   50 105 4 105 46 13 8 13 4 6n p n p n n pG b               ， 6n p   是13的倍数， 当 3n  时， 3p  ，此时 4368b  ， 当 4n  时， 2p  ，此时 4472b  ， 当 5n  时， 1p  ，此时 4576b  ， 当 6n  时， 0p  ，此时 4680b  ， 6942a b   或7046或7150或 7254，   936G a b  或39或143或247，  G a b  的最大值为936； 故答案为：39，936． 三、解答题：本题共 9 小题，共 64 分． 15．求下列各式的值： (1) 0.49； (2) 16 49  ； (3) 3 125 64 ； (4) 3 0.729． 【答案】(1)0.7 (2) 4 7  (3) 5 4 (4)0.9 【分析】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根； 8 （1）由 20.7 0.49 ，结合算术平方根的含义可得答案； （2）由 24 16 7 49       ，结合平方根的含义可得答案； （3）由 35 125 4 64       ，结合立方根的含义可得答案； （4）由 30.9 0.729 ，结合立方根的含义可得答案； 【详解】（1）解： 0.49 0.7 ； （2）解： 16 4 49 7    ； （3）解： 3 125 5 64 4  ； （4）解： 3 0.729 0.9 ； 16．化简： (1) 1 2 2 3 3 2     (2)  23 38 125 2     【答案】(1)1 (2)9 【分析】本题考查了求立方根，算术平方根，化简绝对值，解题的关键是掌握相应的运算法则； （1）去绝对值符号后，再算加减运算； （2）先算立方根，算术平方根，再算加法． 【详解】（1）解： 1 2 2 3 3 2     2 1 3 2 2 3      1 ； （2）解：  23 38 125 2     2 5 2   9 ． 17．解下列方程． (1)   23 2 16x   ； (2)  31 2 1 4 2 x    9 【答案】(1) 2 3 x  或 2x   (2) 1 2 x   【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题 的关键． （1）利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： 2(3 2) 16x   ， 3 2 4x    ， 2 3 x  或 2x   ； （2）∵  31 2 1 4 2 x    ， ∴  32 1 8x    ， ∴2 1 2x    ， ∴ 1 2 x   ． 18．已知 2 1a  的算术平方根是3，b是8的立方根． (1)求a，b的值； (2)求 2 3a b 的平方根． 【答案】(1) 5, 2a b  (2) 2 【分析】本题考查实数的应用，准确地理解算术平方根，立方根和平方根的定义是解决问题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义进行求解； （2）由（1）将a，b的值代入求解即可． 【详解】（1）解： 2 1a  的算术平方根是3，b是8的立方根，  2 1 9a   ， 2b  ， 5, 2a b   ； （2）解：由（1）知 5, 2a b  ， 2 3 2 5 3 2 4a b       ， 2 3a b  的平方根是 2 ． 19．为了促进全民健身活动的开展，改善居民的生活质量，某居民小区决定在一块面积为 2905m 的正 10 方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积是 2420m ，长是宽的 28 15 ，篮球场的四周必须留出不少于 1m宽的空地．能否按规定在这块空地上建一个篮球场？请说明理由． 【答案】能，见解析 【分析】此题主要考查了算术平方根的应用．直接用同一未知数表示出篮球场的宽，进而利用 x的值 得出答案． 【详解】解：设篮球场的宽为 mx ，那么长为 28 m 15 x ， 根据题意，得 28 420 15 x x  ， 所以 2 225x  ， 因为 x为正数，所以： 15x  ， 又因为   2 2 228 282 15 2 900 m 15 15 x               ， 900 905 ， 所以能按规定在这块空地上建一个篮球场． 20．阅读理解：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道 智力题，求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道他是怎样迅速准 确地计算出结果的吗？请按照下面的分析试一试： ①由 3 310 1000,100 1000000  可知， 3 59319是两位数； ② 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1, 2 8,3 27, 4 64,5 125,6 216,7 343,8 512,9 729         ， ∴由59319的个位数字是9可知， 3 59319的个位数字是9； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而 3 33 27,4 64  ，由此确定 3 59319的十位数字是3．综上所 述， 3 59319 39 ． 已知175616，753571都是整数的立方，请应用上述方法求 3 3175616, 753571 的值． 【答案】 3 3175616 56, 753571 91  【分析】本题主要考查了一个数的立方根，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的 个位数是解题的关键，有一定难度．分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位 数，然后根据第②和第③步求出个位数和十位数即可． 【详解】解：∵1000 175616 753571 1000000   ， ∴ 3 175616和 3 753571的立方根都是两位数， 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1, 2 8,3 27, 4 64,5 125,6 216,7 343,8 512,9 729         ， 11 ∴ 3 175616和 3 753571的个位数分别为6和1， ∵ 175616去掉后3位得到175，753571去掉后3为得到753， 又∵ 3 35 175 6  ， 3 39 753 10  ， ∴ 3 175616和 3 753571的十位数分别为：5和9， ∴ 3 175616=56， 3 753571=91． 21．由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数， x为无理数，且 0mx n  ， 则 0m  ， 0n  ． (1)如果  4 2 9 0a b    ，其中a，b为有理数，求 ab的平方根； (2)如果    2 2 1 2 5a b    ，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 【答案】(1) 6 (2) 25 9 【分析】（1）根据已知可得 4 0a   ， 9 0b  ，从而可得 4a  ， 9b  ，然后代入式子中进行计算即 可解答； （2）根据已知易得 (2 5) ( ) 2 0a b a b     ，从而可得 2 5 0 0 a b a b       ，进而可得 5 3 5 3 a b        ，然后利用平 方根的意义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ( 4) 2 9 0a b    ，其中 a，b为有理数， 4 0a   ， 9 0b  ， 4a  ， 9b  ， 4 9 36ab    ， ab 的平方根是 6 ； （2） (2 2) (1 2) 5a b    ， 2 2 2 5 0a a b b      ， (2 5) ( ) 2 0a b a b      ， a ，b为有理数，  2 5 0 0 a b a b       ， 12 解得： 5 3 5 3 a b        ， a ，b为有理数且是 p的平方根， 25 25( ) 3 9 p    ， p 的值为 25 9 ． 【点睛】本题考查了实数的运算，平方根，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 22．【阅读与思考】我们知道 6 是无理数，无理数是无限不循环小数，因此 6 的小数部分我们不可 能全部地写出来，而因为 4 6 9  ，即 2 6 3  ，于是 6 的整数部分是2．将一个数减去其整数 部分，差就是它的小数部分，故可用 6 2 来表示 6 的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： (1) 13的整数部分是 ；3 2 的小数部分是 ； (2)如果 7 的小数部分为a， 18的整数部分为b，求 7a b  的值． 【答案】(1)3，2 2 (2)2 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． （1）先估算 13的大小，从而求出整数部分，再估算 2的大小，利用不等式的基本性质估算3 2 的大小，从而求出答案即可； （2）先估算 7 的大小，求出其小数部分a的值，再估算 18的大小，求出其整数部分b的值，最后代 入 7a b  计算即可． 【详解】（1）解：∵3 13 4  ， ∴ 13的整数部分是3， ∵1 2 2  ， ∴ 2 2 1     ， ∴3 2 3 2 3 1     ，即1 3 2 2   ， ∴3 2 的整数部分是1，小数部分是3 2 1 2 2    ， 故答案为：3， 2 2 ； （2）解：∵ 72＜ ＜3， ∴ 7 的整数部分是2，小数部分是 7 2 ， 13 ∴ 7 2a   ， ∵4 18 5  ， ∴ 18的整数部分 4b  ， ∴ 7 7 2 4 7 2a b       ． 23．阅读下面的文字，解答问题： 如图1，把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以 得到一个面积为 22dm 的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为 22dm 的大正方形的边长就是原来边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得 小正方形的对角线长为_____dm；如图2，数轴上点A表示的数是__________； (2)观察图3，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分（正方形）的边长是__________； (3)如图4，利用圆规在数轴上作出图3中正方形边长的对应点 P（保留作图痕迹）； (4)如图4，在数轴上，表示1的点记为M ，点 N也在这条数轴上且MN MP ，直接写出点 N表示的数． 14 【答案】(1) 2，1 2 (2) 17 (3)见解析 (4) 17 或 2 17 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的实际应用． （1）大正方形的面积求出边长即可即可； （2）利用割补法求出正方形的面积即可； （3）以原点为圆心， 17 为半径画弧，交正半轴于点P，点P即为所求； （4）分两种情形画出图形，求出 17 1MP   ，可得结论． 【详解】（1）解：∵面积为 22dm 的大正方形的边长 2，面积为 22dm 的大正方形的边长就是原来边 长为1dm的小正方形的对角线长， ∴小正方形的对角线 2， ∴点A表示的数为1 2 ， 故答案为： 2，1 2 ； （2）解：图3中，正方形的面积为 2 15 4 1 4 17 2      ， ∴正方形的边长 17， 故答案为： 17； （3）解：如图，点P即为所求； （4）解：∵ 17OP  ， 1OM  ， ∴ 17 1MP   ， ∵MN MP ， 当点N在点M的右侧时，N表示的数为 17 ， 当点N在点M的左侧时， N 表示的数为 2 17 ． 综上所述，点N表示的数为 17 或 2 17 ． 15 1 第 6 章 实数 单元测试 总分：120 分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第6章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。 1．下列各数中无理数为（ ） A． π 2 B． 3 8 C．0 D． 23 6 2． 9 的绝对值是（ ） A． 1 9  B． 1 9 C． 3 D．3 3．下列等式中，错误的是（ ） A． 64 8   B． 3 0.001 0.1 C． 3 216 6   D． 25 5  4．如图，数轴上点 P表示的无理数可能是（ ） A． 3 B． 5 C．  D． 7 3  2 5．下列说法正确的是（ ） A．负数没有立方根 B． a 一定没有平方根 C．有理数与数轴上的点是一一对应的 D．两个无理数的和可能是有理数 6．魔方可以看作是一个正方体，现有一个体积为 3125cm 的魔方，则这个魔方的棱长为（ ） A．5cm B． 4cm C．3cm D． 5cm 7．定义新运算“☆”： 2 2a b a b ☆ ，则  3 4 12☆ ☆ （ ） A．13 B． 13 C．12 D．144 8．估计 8 1 的值在（ ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 9．按一定规律排列的代数式： x， 22x ， 33x ， 42x ， 55x ， 66x ，，第 n个代数式是 （ ） A． nx B． 1 nn x C． nnx D． nnx 10．已知 1a 为实数，规定运算： 2 1 11a a   ， 3 2 11a a   ， 4 3 11a a   ， 5 4 11a a   ，L ， 1 11n n a a    ， 按上述方法，当 1 3a  时， 3 20252a 的值等于（ ） A． 2 3 B． 1 2  C． 1 D．0 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 11．计算： 25  . 12．若 2a  和2 11a 都是同一个正数的平方根，则这个正数是 ． 13．已知 2 1.414 ， 20 4.472 ，那么 200  . 3 14．若自然数m是13的倍数，则称m为“祥和数”．判断数m是否为“祥和数”，可用m的末三位数 减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为  G m ，若  G m 是“祥和数”，则m就是“祥和 数”．比如：数12831，它的末三位是831，末三位以前是12，则  12831 831 12 819G    ，因为 819 13 63  ，所以  12831G 是“祥和数”，即12831是“祥和数”．若整数 7 4m n  （其中 n为自然 数）是“祥和数”，则m的最小值为 ．设整数 2024 110a m  ， 4050 105b n p   （0 8m  ， 1 6n  ，0 3p  ，且m， n， p均为整数），若 a，b都是“祥和数”，则  G a b 的最大值 为 ． 三、解答题：本题共 9 小题，共 64 分． 15．求下列各式的值： (1) 0.49； (2) 16 49  ； (3) 3 125 64 ； (4) 3 0.729． 16．化简： (1) 1 2 2 3 3 2     (2)  23 38 125 2     17．解下列方程． (1)   23 2 16x   ； (2)  31 2 1 4 2 x    4 18．已知 2 1a  的算术平方根是3，b是8的立方根． (1)求a，b的值； (2)求 2 3a b 的平方根． 19．为了促进全民健身活动的开展，改善居民的生活质量，某居民小区决定在一块面积为 2905m 的正 方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积是 2420m ，长是宽的 28 15 ，篮球场的四周必须留出不少于 1m宽的空地．能否按规定在这块空地上建一个篮球场？请说明理由． 20．阅读理解：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道 智力题，求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道他是怎样迅速准 确地计算出结果的吗？请按照下面的分析试一试： ①由 3 310 1000,100 1000000  可知， 3 59319是两位数； ② 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1, 2 8,3 27, 4 64,5 125,6 216,7 343,8 512,9 729         ， ∴由59319的个位数字是9可知， 3 59319的个位数字是9； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而 3 33 27,4 64  ，由此确定 3 59319的十位数字是3．综上所 述， 3 59319 39 ． 已知175616，753571都是整数的立方，请应用上述方法求 3 3175616, 753571 的值． 5 21．由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数， x为无理数，且 0mx n  ， 则 0m  ， 0n  ． (1)如果  4 2 9 0a b    ，其中a，b为有理数，求 ab的平方根； (2)如果    2 2 1 2 5a b    ，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 22．【阅读与思考】我们知道 6 是无理数，无理数是无限不循环小数，因此 6 的小数部分我们不可 能全部地写出来，而因为 4 6 9  ，即 2 6 3  ，于是 6 的整数部分是2．将一个数减去其整数 部分，差就是它的小数部分，故可用 6 2 来表示 6 的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： (1) 13的整数部分是 ；3 2 的小数部分是 ； (2)如果 7 的小数部分为a， 18的整数部分为b，求 7a b  的值． 6 23．阅读下面的文字，解答问题： 如图1，把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以 得到一个面积为 22dm 的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为 22dm 的大正方形的边长就是原来边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得 小正方形的对角线长为_____dm；如图2，数轴上点A表示的数是__________； (2)观察图3，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分（正方形）的边长是__________； (3)如图4，利用圆规在数轴上作出图3中正方形边长的对应点 P（保留作图痕迹）； (4)如图4，在数轴上，表示1的点记为M ，点 N也在这条数轴上且MN MP ，直接写出点 N表示的数． 第6章 实数 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第6章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列各数中无理数为（   ） A． B． C． D． 2．的绝对值是（   ） A． B． C． D．3 3．下列等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上点表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．一定没有平方根 C．有理数与数轴上的点是一一对应的 D．两个无理数的和可能是有理数 6．魔方可以看作是一个正方体，现有一个体积为的魔方，则这个魔方的棱长为（    ） A． B． C． D． 7．定义新运算“☆”：，则（　　） A． B． C． D． 8．估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 9．按一定规律排列的代数式：，，，，，，，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 10．已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．计算： . 12．若和都是同一个正数的平方根，则这个正数是 ． 13．已知，，那么 . 14．若自然数是13的倍数，则称为“祥和数”．判断数是否为“祥和数”，可用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，若是“祥和数”，则就是“祥和数”．比如：数12831，它的末三位是831，末三位以前是12，则，因为，所以是“祥和数”，即12831是“祥和数”．若整数（其中为自然数）是“祥和数”，则的最小值为 ．设整数，（，，，且，，均为整数），若，都是“祥和数”，则的最大值为 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．化简： (1) (2) 17．解下列方程． (1)； (2) 18．已知的算术平方根是3，b是8的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 19．为了促进全民健身活动的开展，改善居民的生活质量，某居民小区决定在一块面积为的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积是，长是宽的，篮球场的四周必须留出不少于1m宽的空地．能否按规定在这块空地上建一个篮球场？请说明理由． 20．阅读理解：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的分析试一试： ①由可知，是两位数； ②， ∴由59319的个位数字是9可知，的个位数字是9； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，由此确定的十位数字是3．综上所述，． 已知175616，753571都是整数的立方，请应用上述方法求的值． 21．由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，． (1)如果，其中a，b为有理数，求的平方根； (2)如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 22．【阅读与思考】我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而因为，即，于是的整数部分是2．将一个数减去其整数部分，差就是它的小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ；的小数部分是 ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 23．阅读下面的文字，解答问题： 如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原来边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为_____；如图2，数轴上点表示的数是__________； (2)观察图3，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分（正方形）的边长是__________； (3)如图4，利用圆规在数轴上作出图3中正方形边长的对应点（保留作图痕迹）； (4)如图4，在数轴上，表示1的点记为，点也在这条数轴上且，直接写出点表示的数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 实数 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第6章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列各数中无理数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 是无理数，故该选项符合题意； B. ，是有理数，故该选项不符合题意； C. 是有理数，故该选项不符合题意； D. 是有理数，故该选项不符合题意； 故选：A ． 2．的绝对值是（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，算术平方根．先求算术平方根，再根据绝对值的意义直接求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 3．下列等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根以及立方根的定义，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．依据平方根、算术平方根以及立方根的定义，即可得出结论． 【详解】解：A．，等式成立，故本选项计算正确，不符合题意； B. ，等式成立，故本选项计算正确，不符合题意； C. ，等式成立，故本选项计算正确，不符合题意； D. ，故本选项计算错误，符合题意； 故选：D． 4．如图，数轴上点表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴表示无理数，无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数的定义和数轴上点的位置，逐项判断即可． 【详解】解：设点表示的无理数为， 由数轴可知 A. ，故该选项不符合题意； B. ，故该选项符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. 不是无理数，故该选项不符合题意； 故选：B ． 5．下列说法正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．一定没有平方根 C．有理数与数轴上的点是一一对应的 D．两个无理数的和可能是有理数 【答案】D 【分析】本题考查立方根、平方根、数轴、无理数等知识，熟练掌握相关概念，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、负数有立方根，选项说法错误，不符合题意； B、不一定是负数，当，，此时有平方根，选项说法错误，不符合题意； C、实数与数轴上的点是一一对应的，选项说法错误，不符合题意； D、比如，则两个无理数的和可能是有理数，说法正确，符合题意； 故选：D． 6．魔方可以看作是一个正方体，现有一个体积为的魔方，则这个魔方的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查求一个数的立方根，掌握立方根的概念和求一个数的立方根是解题的关键．正方体的体积是棱长的三次幂，已知体积求棱长，则是求体积的三次方根，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，设正方体的棱长为， ∴，则， ∴正方体的棱长为， 故选：A． 7．定义新运算“☆”：，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据新定义运算计算即可． 【详解】解： ， 故选：A ． 8．估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】此题主要考查了估算无理数大小，先估算的大小，再估计的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴在3和4之间． 故选：C． 9．按一定规律排列的代数式：，，，，，，，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化类，算术平方根，准确找出代数式的排列规律是解题的关键． 根据代数式的系数、字母的指数的规律即可得出第个代数式． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个代数式是， 故选：． 10．已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律题，求一个数的立方根，当时，则，，，，，则有以三个数为一组，不断循环，从而有，然后代入求出立方根即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当时， ∴， ， ， ， ， ∴以三个数为一组循环， ∴， ∴， ∴， 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．计算： . 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12．若和都是同一个正数的平方根，则这个正数是 ． 【答案】25或225/225或25 【分析】本题考查平方根，分类讨论，根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出a值，再求出一个平方根，平方就可以得到这个正数；或者这个两个数是同一个数求解． 【详解】解：由题可知， ①， 解得， 这个正数为； ②， 解得：， 所以这个正数为：， 故答案为：25或225． 13．已知，，那么 . 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位．被开方数是把2的小数点向右移动2位后得到的，则的值是把的小数点向右运动1位． 【详解】解∶ ∵，， ∴， 故答案为∶． 14．若自然数是13的倍数，则称为“祥和数”．判断数是否为“祥和数”，可用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，若是“祥和数”，则就是“祥和数”．比如：数12831，它的末三位是831，末三位以前是12，则，因为，所以是“祥和数”，即12831是“祥和数”．若整数（其中为自然数）是“祥和数”，则的最小值为 ．设整数，（，，，且，，均为整数），若，都是“祥和数”，则的最大值为 ． 【答案】 39 936 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，列代数式，代数式求值等知识点，正确理解新定义，求出、的值是解题的关键． 由“祥和数”的定义可求出的取值，进而求出的最小值；由“祥和数”的定义可求出、的值，进而可得出的最大值． 【详解】解：由题意可得： 当时，，不是“祥和数”， 当时，，不是“祥和数”， 当时，，不是“祥和数”， 当时，，不是“祥和数”， 当时，，不是“祥和数”， 当时，，是“祥和数”， 的最小值为； 整数（，且为整数）是“祥和数”， ， 是的倍数， ， ， （，，且，均为整数）是“祥和数”， ， 是的倍数， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 或或或， 或或或， 的最大值为； 故答案为：，． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根； （1）由，结合算术平方根的含义可得答案； （2）由，结合平方根的含义可得答案； （3）由，结合立方根的含义可得答案； （4）由，结合立方根的含义可得答案； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； 16．化简： (1) (2) 【答案】(1)1 (2)9 【分析】本题考查了求立方根，算术平方根，化简绝对值，解题的关键是掌握相应的运算法则； （1）去绝对值符号后，再算加减运算； （2）先算立方根，算术平方根，再算加法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．解下列方程． (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键． （1）利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 18．已知的算术平方根是3，b是8的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的应用，准确地理解算术平方根，立方根和平方根的定义是解决问题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义进行求解； （2）由（1）将a，b的值代入求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3，b是8的立方根， ，， ； （2）解：由（1）知， ， 的平方根是． 19．为了促进全民健身活动的开展，改善居民的生活质量，某居民小区决定在一块面积为的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积是，长是宽的，篮球场的四周必须留出不少于1m宽的空地．能否按规定在这块空地上建一个篮球场？请说明理由． 【答案】能，见解析 【分析】此题主要考查了算术平方根的应用．直接用同一未知数表示出篮球场的宽，进而利用的值得出答案． 【详解】解：设篮球场的宽为，那么长为， 根据题意，得， 所以， 因为为正数，所以：， 又因为， ， 所以能按规定在这块空地上建一个篮球场． 20．阅读理解：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的分析试一试： ①由可知，是两位数； ②， ∴由59319的个位数字是9可知，的个位数字是9； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，由此确定的十位数字是3．综上所述，． 已知175616，753571都是整数的立方，请应用上述方法求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一个数的立方根，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第②和第③步求出个位数和十位数即可． 【详解】解：∵， ∴和的立方根都是两位数， ， ∴和的个位数分别为6和1， ∵ 175616去掉后3位得到175，753571去掉后3为得到753， 又∵，， ∴和的十位数分别为：5和9， ∴，． 21．由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，． (1)如果，其中a，b为有理数，求的平方根； (2)如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知可得，，从而可得，，然后代入式子中进行计算即可解答； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得，然后利用平方根的意义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，其中，为有理数， ，， ，， ， 的平方根是； （2）， ， ， ，为有理数， ， 解得：， ，为有理数且是的平方根， ， 的值为． 【点睛】本题考查了实数的运算，平方根，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 22．【阅读与思考】我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而因为，即，于是的整数部分是2．将一个数减去其整数部分，差就是它的小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ；的小数部分是 ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1)3， (2)2 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． （1）先估算的大小，从而求出整数部分，再估算的大小，利用不等式的基本性质估算的大小，从而求出答案即可； （2）先估算的大小，求出其小数部分a的值，再估算的大小，求出其整数部分b的值，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是3， ∵， ∴， ∴，即， ∴的整数部分是1，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴的整数部分是2，小数部分是， ∴， ∵， ∴的整数部分， ∴． 23．阅读下面的文字，解答问题： 如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原来边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为_____；如图2，数轴上点表示的数是__________； (2)观察图3，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分（正方形）的边长是__________； (3)如图4，利用圆规在数轴上作出图3中正方形边长的对应点（保留作图痕迹）； (4)如图4，在数轴上，表示1的点记为，点也在这条数轴上且，直接写出点表示的数． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 (4)或 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的实际应用． （1）大正方形的面积求出边长即可即可； （2）利用割补法求出正方形的面积即可； （3）以原点为圆心，为半径画弧，交正半轴于点P，点P即为所求； （4）分两种情形画出图形，求出，可得结论． 【详解】（1）解：∵面积为的大正方形的边长，面积为的大正方形的边长就是原来边长为的小正方形的对角线长， ∴小正方形的对角线， ∴点A表示的数为， 故答案为：，； （2）解：图3中，正方形的面积为， ∴正方形的边长， 故答案为：； （3）解：如图，点P即为所求； （4）解：∵，， ∴， ∵， 当点N在点M的右侧时，N表示的数为， 当点N在点M的左侧时，表示的数为． 综上所述，点N表示的数为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$