专题02 一次函数及其应用（分层训练）-2025年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

专题02 一次函数及其应用（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．当时，下列函数随的增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 2．直线y＝﹣x+1与y＝2x+a的交点在第一象限，则a的取值不可能是（    ） A． B．﹣ C．﹣ D．﹣ 3．如图，函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组中的解是　　 A． B． C． D． 4．A，B两地相距20，甲乙两人沿同一条路线从 地到 地，如图反映的是二人行进路程 ()与行进时间()之间的关系，有下列说法：①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；②乙用了4个小时到达目的地；③乙比甲先出发1小时；④甲在出发4小时后被乙追上，在这些说法中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．正比例函数y=kx(k≠0)和一次函数y=kx−k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(  ) A．B． C． D． 6．一次函数和的图象的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图，正方形OABC中，点，点D为AB边上一个动点，连接CD，点P为CD的中点，绕点D将线段DP顺时针旋转90°得到线段DQ，连接BQ，当点Q在射线OB的延长线上时，点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 8．已知一次函数与图象的交点坐标是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 9．小亮和小明周六到距学校的滨湖湿地公园春游，小亮从学校出发，骑自行车去湿地公园，小明从学校出发，乘车沿相同路线去滨湖湿地公园，在同一直角坐标系中，小亮和小明的行进路程与时间t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到结论，其中错误的是（   ）    A．小亮骑自行车的平均速度是 B．小明比小亮提前小时到达滨湖湿地公园 C．小明在距学校处追上小亮 D．小明与小亮相距 10．若一次函数的图像经过第一、三、四象限，则的值可能为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 11．甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，两车离A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则两图象交点的纵坐标是（　　）    A．130 B．140 C．150 D．160 12．一次函数与的图象如图所示，下列结论中，正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象经过第一、二、四象限； ③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 13．如图，直线与x轴交于点A，直线m是过点A、的抛物线的对称轴，直线与直线m交于点C，已知点在直线上，作线段关于直线m对称的线段，若抛物线与折线有两个交点，则a的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 14．如图在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4，点在第二象限内，将沿射线平移，平移后点的横坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是（    ） A． B． C． D．随a，b的值变化 二、填空题 16．在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于M、N两点，过点O作，过作，得阴影；再过作，过作，得阴影；……如此进行下去，则得到的所有阴影三角形的面积之和为 ． 17．如图所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的函数．下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距厘米 20 21 22 23 身高厘米 160 169 178 187 某人身高为196厘米，一般情况下他的指距应是 厘米． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点，在直线上，点在x轴的正半轴上，若，依次均为等腰直角三角形，则点的坐标是 ．    19．若2x-y＝1．且0<y<1．则x的取值范围为 ． 20．已知正比例函数（为常数，且）的图象经过第二、四象限，点，都在一次函数的图象上，若，则的值可能是 （写出一个即可） 21．正比例函数，当时，函数y的最大值和最小值之差为4，则 ． 22．已知两直线的交点在第三象限，则m的取值范围为 ． 23．如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 24．甲、乙两名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下： 甲：函数的图象经过点； 乙：函数的图象不经过第三象限． 根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 ． 25．一次函数y＝kx+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是 ． 三、解答题 26．如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的路程是60km，请根据图象解决下列问题： (1)分别求出甲行驶的路程（km）、乙行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式； (2)若甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km，求x的值． 27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点，与轴和轴分别交于点和点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在线段上，过点作于点，作于点，若四边形为正方形，求点的坐标； (3)点在轴上，点在第一象限，若以，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标． 28．已知平面直角坐标系如图所示： (1)画出函数的图象； (2)写一条关于这个一次函数图象的性质：____________； (3)把直线向下平移一个单位，得到的函数表达式是____________； 29．某水果店进行了一次水果促销活动，在该店一次性购买A种水果的单价y（元）与购买量x（千克）的函数关系如图所示， （1）当时，单价y为______元；当单价y为8.8元时，购买量x（千克）的取值范围为______； （2）根据函数图象，当时，求出函数图象中单价y（元）与购买量x（千克）的函数关系式； （3）促销活动期间，张亮计划去该店购买A种水果10千克，那么张亮共需花费多少元？ 30．如图，已知直线l1：y1=-x+3与直线l2：y2=2x-4相交于点A，请回答题： （1）求出点A的坐标． （2）请直接写出y1＜y2时，x的取值范围是： ． （3）若将直线l1向左平移2个单位后得到直线l3：y3=kx+b，请直接写出不等式解集 ． 31．某商场计划采购，两种不同型号的电视机共50台，已知型电视机进价1500元，售价2000元；型电视机进价为2400元，售价3000元． （1）设该商场购进型电视机台，请写出全部售出后该商店获利与之间函数表达式． （2）若该商场采购两种电视机的总费用不超过108300元，全部售出所获利润不低于28500元，请设计出所有采购方案，并求出使商场获得最大利润的采购方案及最大利润． 32．甲、乙两人沿同一直道从A处跑步到B处，图①、②分别表示甲跑步的路程（单位：），甲乙两人之间的距离（单位：）与甲出发的时间（单位：）的函数关系，若乙先出发． (1)甲的跑步速度是______，乙的跑步速度是______； (2)求甲到达B处所用的时间； (3)直接写出甲、乙两人之间的距离不超过的总时间． 33．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点C． (1)求点A的坐标和m的值． (2)平移直线l到直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求的长． 34．年第届亚运会（），简称“杭州年亚运会”，将于年月日至月日在中国浙江杭州举行．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”．它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进、两种杭州亚运会吉祥物礼盒共个，共花去元，这两种吉祥物礼盒的进价、售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） 种礼盒 种礼盒      (1)求、两种吉祥物礼盒分别购进了多少个； (2)由于销售情况很好，第一次购进的个礼盒很快就销售完了，专卖店老板又计划用不超过元购进、两种礼盒共个，则应该如何进货，才能使得第二批礼盒全部售完后获得最大利润？最大利润为多少？ 35．“疫苗接种，利国利民”，甲、乙两地分别对本地各40万人进行新冠疫苗接种.甲地在前期完成5万人疫苗接种后，与乙地同时以相同速度进行疫苗接种，甲地经过a天后疫苗接种人数达到25万人，由于情况变化，疫苗接种速度放缓，结果用了100天完成疫苗接种任务；乙地用了80天完成疫苗接种任务.甲、乙两地的疫苗接种人数y（万人）与乙地疫苗接种所用时间x（天）之间的关系如图所示. (1)乙地每天疫苗接种的人数为____________万人；a的值为____________； (2)当甲地疫苗接种速度放缓后，求甲地疫苗接种人数y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在这段时间内，当两地疫苗接种人数的差不超过3万人时，直接写出疫苗接种所用时间x的取值范围. 【能力提升】 36．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点，点的横坐标为，在轴上有一点（>），过点作轴的垂线，分别交函数和的图像于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)若，求a的值； (3)在（2）的条件下，求四边形OMCP的面积． 37．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点，直线与轴、轴分别交于点． (1)求的值及直线的函数表达式． (2)若是轴上方且位于直线上的一点，且，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，若是直线上的一点，是轴上的一点，试探究能否成为以为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出所有符合要求的点的坐标；若不能，请说明理由． 38．如图，已知点、，点P是直线上任意一点． (1)当点P在什么位置时，的周长最小？求出点P的坐标及周长的最小值； (2)在（1）的条件下，求出的面积． 39．在平面直角坐标系中，点，点，其中． (1)如图1，若，求的值． (2)如图2，点P是x轴正半轴上一点，，交轴于点，于点，求的值．（用含的式子表示） 40．据悉，上海市发改委拟于今年月日举行居民用水价格调整听证会，届时将有两个方案提供听证．如图，射线、射线分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费元与每户每月的用水量立方米之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价每立方米多元；方案二如图表格所示，每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、三级的用水价格之比为：：精确到元． 级数 水量基数 调整后的价格（元/） 第一级 0~15（含15） 2.61 第二级 15~25（含25） 3.92 第三级 25以上                     图（2） (1)写出现行的用水价是每立方米多少元？ (2)求图中的值和射线所对应的函数解析式，并写出定义域； (3)若小明家某月的用水量是立方米，请分别写出三种情况下现行的、方案一和方案二该月的水费用的代数式表示； (4)小明家最近个月来的每月用水量的频数分布直方图如图所示，估计小明会赞同采用哪个方案请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一次函数及其应用（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．当时，下列函数随的增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、y=ax²+bx+c的图象与性质、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 一次函数当时，函数值总是随自变量增大而增大，反比例函数当时，在每一个象限内，随自变量增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性． 【详解】解：A．为一次函数，且时，函数值总是随自变量增大而减小，故不符合题意； B．为二次函数，对称轴为，开口向上，故当时，函数值随自变量增大而增大，当时，函数值随自变量增大先减小后增大，故不符合题意； C．为反比例函数，当或者时，函数值随自变量增大而增大，当时，就不能确定增减性了，故不符合题意； D．为二次函数，对称轴为，开口向上，∵当时，函数值随自变量增大而增大，故当时，函数值随自变量增大而增大，故符合题意； 故选：D． 2．直线y＝﹣x+1与y＝2x+a的交点在第一象限，则a的取值不可能是（    ） A． B．﹣ C．﹣ D．﹣ 【答案】D 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】联立两直线解析式，解关于x、y的二元一次方程组，然后根据交点在第一象限，横坐标是正数，纵坐标是正数，列出不等式组求解即可． 【详解】解：解方程组， 可得， ∵直线y＝﹣x+1与y＝2x+a的交点在第一象限， ∴，即， 解得﹣2＜a＜1， ∴a的取值不可能是， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数与二元一次方程的关系，第一象限内点的横坐标是正数，纵坐标是正数，以及一元一次不等式组的解法，把a看作常数表示出x、y是解题的关键． 3．如图，函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组中的解是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数与二元一次方程（组） 【分析】先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：当时，，解得，则点P的坐标为， 所以关于x，y的二元一次方程组中的解为． 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 4．A，B两地相距20，甲乙两人沿同一条路线从 地到 地，如图反映的是二人行进路程 ()与行进时间()之间的关系，有下列说法：①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；②乙用了4个小时到达目的地；③乙比甲先出发1小时；④甲在出发4小时后被乙追上，在这些说法中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】根据题意结合图象依次判断即可. 【详解】①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的，正确； ②乙用了4个小时到达目的地，错误； ③乙比甲先出发1小时，错误； ④甲在出发4小时后被乙追上，错误， 故选：A. 【点睛】此题考查一次函数图象，正确理解题意，会看函数图象，将两者结合是解题的关键. 5．正比例函数y=kx(k≠0)和一次函数y=kx−k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】分k>0与k<0两种情况分别讨论即可得答案. 【详解】若k>0，正比例函数y=kx(k≠0)的图象过一、三象限，一次函数y=kx−k(k≠0)的图象过一、三、四象限，观察各选项可知没有选项符合； 若k<0，正比例函数y=kx(k≠0)的图象过二、四象限，一次函数y=kx−k(k≠0)的图象过一、二、四象限，观察各选项可知A选项符合， 故选A. 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握是解题的关键.一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限． 6．一次函数和的图象的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数图像的交点坐标，联立两函数解析式，解方程组即可解题． 【详解】解：解方程组得， ∴一次函数和的图象的交点坐标为， 故选D． 7．如图，正方形OABC中，点，点D为AB边上一个动点，连接CD，点P为CD的中点，绕点D将线段DP顺时针旋转90°得到线段DQ，连接BQ，当点Q在射线OB的延长线上时，点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质求解、正方形性质理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、正比例函数的性质 【分析】如图，过作，交轴于点 过作轴于 过作平行于轴的直线交PN于M，交QE于F，交y轴于G，则DP=DQ，证明设再求解Q的坐标，再代入直线OB的解析式即可． 【详解】解：如图，过作，交轴于点 过作轴于 过作平行于轴的直线交PN于M，交QE于F，交y轴于G，则DP=DQ， 正方形OABC中，点， 设 而点P为CD的中点， 设OB的解析式为 而 解得： OB的解析式为： 解得： 故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正比例函数的性质，正方形的性质，求解是解本题的关键． 8．已知一次函数与图象的交点坐标是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两直线的交点横纵坐标即为联立两直线解析式得到的方程组的解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数与图象的交点坐标是， ∴方程组的解是， 故选：A． 9．小亮和小明周六到距学校的滨湖湿地公园春游，小亮从学校出发，骑自行车去湿地公园，小明从学校出发，乘车沿相同路线去滨湖湿地公园，在同一直角坐标系中，小亮和小明的行进路程与时间t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到结论，其中错误的是（   ）    A．小亮骑自行车的平均速度是 B．小明比小亮提前小时到达滨湖湿地公园 C．小明在距学校处追上小亮 D．小明与小亮相距 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用能力，读懂图象中特殊点坐标的实际意义是解题的关键． 根据函数图象可知小亮行驶全程所用时间、可得速度，即可判断A；根据图象可知两人到达终点时间，可判断B；当时两人相遇，结合小亮速度可知其路程，判断C；分别求出时小明与小亮的路程即可判断D． 【详解】解：A、根据函数图象小亮去滨湖湿地公园所用时间为小时，则小亮骑自行车的平均速度为：，故该选项正确； B、由图象可得，小明到滨湖湿地公园对应的时间，小亮到滨湖湿地公园对应的时间，则（小时），所以小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园，故B选项正确； C、由图象可知，当时，小明追上小亮，此时小亮离开学校的时间为小时，则小亮走的路程为：，所以小明在距学校处追上小亮，故C选项正确； D、由图象可知，当时，小明的路程为,小亮的路程为,此时小明与小亮相距,故D选项错误． 故选：D． 10．若一次函数的图像经过第一、三、四象限，则的值可能为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】利用一次函数图象与系数的关系可得出m-1＞0，解之即可得出m的取值范围，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y=（m-1）x-1的图象经过第一、三、四象限， ∴m-1＞0， ∴m＞1， ∴m的值可能为2． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系、解一元一次不等式，牢记“k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象经过一、三、四象限”是解题的关键． 11．甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，两车离A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则两图象交点的纵坐标是（　　）    A．130 B．140 C．150 D．160 【答案】C 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据图象分别求出两车的速度，再列方程解答即可． 【详解】解：由题意可知，两城相距千名，甲车比乙车先出发1小时，却晚1小时到城，甲车的平均速度为：（千米/时），乙车的平均速度为：（千米/时）， 设乙追上甲时，乙行驶的时间为小时，则： 解得 两图象交点的纵坐标是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，关键是正确从函数图象中得到正确的信息． 12．一次函数与的图象如图所示，下列结论中，正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象经过第一、二、四象限； ③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，对于函数来说，y随x的增大而增大；函数的图象经过第一、二、四象限，故①错误，②正确． 由图象可知，一次函数，的图象的交点横坐标为2． ∴， ∴，故③正确． 故答案：C． 13．如图，直线与x轴交于点A，直线m是过点A、的抛物线的对称轴，直线与直线m交于点C，已知点在直线上，作线段关于直线m对称的线段，若抛物线与折线有两个交点，则a的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】根据题意求得的坐标，由对称轴为，得出，由抛物线过点得出，即可得出抛物线为，然后分两种情况：（i）若，抛物线开口向上且经过，求得，由对称性可知：当时，抛物线与折线有两个交点；ii）若，抛物线开口向下且经过，求得；由对称性可知：当时，抛物线与折线有两个交点；据此即可得出结论． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，点在直线上， ∴，， ∴抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∵C、E关于直线对称， ∴， ∵， ∴， 把代入抛物线得， ∴抛物线的解析式为： （i）若，抛物线开口向上且经过，把代入求出：； 由对称性可知：当时，抛物线与折线有两个交点； （ii）若，抛物线开口向下且经过，把代入a求出：； 由对称性可知：当时，抛物线与折线有两个交点； 综上所述：当或时，抛物线与折线有两个交点； 故选：D． 【点睛】此题考查抛物线的图像性质、对称轴，解题的关键是熟悉抛物线图像性质． 14．如图在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4，点在第二象限内，将沿射线平移，平移后点的横坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平移综合题(几何变换)、一次函数与几何综合 【分析】先根据已知条件求出点A、B的坐标，再求出直线OA的解析式，继而得出点的纵坐标，找出点A平移至点的规律，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵三角形OAB是等边三角形，且边长为4， ∴A(−2，2)，B(0，4)， 设直线OA的解析式为y=kx，将点A坐标代入，解得：k=−， 即直线OA的解析式为：y=−x， 将点A′的横坐标为4代入解析式可得：y=−4， 即点A′的坐标为(4，−4) ， ∵点A向右平移6个单位，向下平移6个单位得到点A′， ∴B′的坐标为(0+6√，4−6)即(6，−2)． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是坐标与图形变化-平移，熟练掌握坐标平面图形平移的规律是解决本题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是（    ） A． B． C． D．随a，b的值变化 【答案】C 【知识点】坐标与图形、求一次函数自变量或函数值、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，一次函数性质，延长交于点C，过点B作于点D，根据轴，在第一象限，得出，，根据直线的解析式为，得出点C的坐标为，求出，证明是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出，求出三角形的面积即可． 【详解】解：延长交于点C，过点B作于点D，如图所示： ∵轴，在第一象限， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 16．在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于M、N两点，过点O作，过作，得阴影；再过作，过作，得阴影；……如此进行下去，则得到的所有阴影三角形的面积之和为 ． 【答案】 【知识点】求角的正弦值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么阴影部分面积与空白部分面积之比为16：25，那么所有的阴影部分面积之和可求了． 【详解】解：当x=0时，y=3， ∴ON=3； 当y=0时，，∴x=4， ∴OM=4， ∴MN=5， ∵∠NON1+∠ONN1=90°，∠NON1+∠M1ON1=90°， ∴∠ONN1=∠M1ON1， ∵∠ON1N=∠OM1N1=90°， ∴△ON1N∽△OM1N1， ∴相似比为ON1：ON=sin∠ONN1=4：5， ∴S△OM1N1：S△ON1N =16：25， 同理可得到其他三角形之间也是这个情况， ∴所有的阴影部分面积之和应等于=3×4÷2×． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点，勾股定理，锐角三角函数的知识，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答本题的关键． 17．如图所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的函数．下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距厘米 20 21 22 23 身高厘米 160 169 178 187 某人身高为196厘米，一般情况下他的指距应是 厘米． 【答案】24 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是首先根据表格数据得到d与h是一次函数关系，然后可设此函数解析式为，利用待定系数法即可求出此函数解析式． 【详解】解：由表格可知随着指距的增加，身高增加相同的长度， 故设此函数解析式为， 依题意有， 解得， 故h与d之间的关系式为：， 把代入可得：， 解得：， 故答案为：24． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点，在直线上，点在x轴的正半轴上，若，依次均为等腰直角三角形，则点的坐标是 ．    【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】根据点在直线上，可得出相对应的坐标，进而得到结果； 【详解】根据题意可得： 依次均为等腰直角三角形， ∴，， 由A在上可知，， ∴， 则的纵坐标为：，即， ∴， ∴， ∴， 则的纵坐标为：，即， ∴当n=1时，，，； 当n=2时，，，； 当n=3时，，，； 当n=n时，，，； 故点的点是． 【点睛】本题主要考查了规律型点的坐标，准确分析是解题的关键． 19．若2x-y＝1．且0<y<1．则x的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】根据可得y＝2x-1，k＝2>0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案． 【详解】解：根据可得y＝2x﹣1， ∴k＝2>0 ∵， ∴当y＝0时，x取得最小值，且最大值为， 当y＝1时，x取得最大值，且最小值为1， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 20．已知正比例函数（为常数，且）的图象经过第二、四象限，点，都在一次函数的图象上，若，则的值可能是 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】正比例函数的性质、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象与性质，对于一次函数，当时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，当时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而增减小，熟练知识点是解题的关键．根据正比例函数（为常数，且）的图象经过第二、四象限得到，继而，则能判断一次函数随着x的增大而增大，继而得到，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数（为常数，且）的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴一次函数，随着x的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 21．正比例函数，当时，函数y的最大值和最小值之差为4，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数、正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解题的关键．先根据判断出函数的增减性，再把与代入一次函数，由函数y的最大值和最小值之差为4求出k的值即可． 【详解】解：∵正比例函数， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，，当时，， ∵当时，函数y的最大值和最小值之差为4， ∴，解得． 故答案为：． 22．已知两直线的交点在第三象限，则m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、坐标与图形、求不等式组的解集 【分析】联立两个函数解析式，计算出、的值，进而得到交点坐标，然后再根据交点在第三象限，得到横纵坐标的取值范围，再解不等式组可得的取值范围． 【详解】解：由题意得，解得：， 因此交点坐标为， ∵交点在第三象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了两函数图象交点问题，求不等式组的解集，关键是掌握两函数图象的交点，就是联立两函数解析式，求出、的值． 23．如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】/ 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】根据图象可知两直线交点P的坐标，根据图象可以看出当时，直线y=kx+b在直线y=mx下方，即可得到答案． 【详解】解：由图象可知：P点的坐标是（-1，-2）， 当时，直线y=mx在直线y=kx+b上方， 即关于x的不等式kx+b≤mx的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与不等式的关系，从函数图象的交点处判断左右的大小关系即可． 24．甲、乙两名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下： 甲：函数的图象经过点； 乙：函数的图象不经过第三象限． 根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、求一次函数解析式 【分析】设一次函数解析式为y＝kx＋b，根据函数的性质得出b=1，k< 0，从而确定一次函数解析式，本题答案不唯一． 【详解】解：设一次函数解析式为y＝kx＋b， ∵函数的图象经过点， ∴b=1， ∵函数的图象不经过第三象限， ∴， 当取时，一次函数表达式为：， ∴满足上述性质的一个函数表达式为：（答案不唯一）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，数形结合是解题的关键，属于开放型的题型． 25．一次函数y＝kx+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k的取值范围，从而求解． 【详解】解：∵一次函数y=kx+3的图象不经过第四象限， ∴经过第一、二、三象限， ∴k>0， 故答案为：k＞0． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数系数与图象的关系是解题关键． 三、解答题 26．如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的路程是60km，请根据图象解决下列问题： (1)分别求出甲行驶的路程（km）、乙行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式； (2)若甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km，求x的值． 【答案】(1)； (2)3.6或4.4 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据函数图象上的数据，利用待定系数法求函数表达式即可； （2）观察图象可知，有两种情况下甲与乙相距的路程为12km，一种是甲与乙相遇前，一种是甲与乙相遇后，分情况列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设甲行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式为， 函数图像经过点， ， 解得， 甲行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式为； 设乙行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式为， 函数图像经过和， ， 解得，， ， 乙行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式为； （2）解：甲、乙都行驶且甲与乙相遇前相距的路程为12km时， ， 解得； 甲、乙都行驶且甲与乙相遇后前相距的路程为12km时， ， 解得； 甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km时，x的值为3.6或4.4． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，学会观察函数图象，利用数形结合思想是解答本题的关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点，与轴和轴分别交于点和点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在线段上，过点作于点，作于点，若四边形为正方形，求点的坐标； (3)点在轴上，点在第一象限，若以，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式，把，代入得方程组，解方程组即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到，设，得到，把代入解方程组即可得到结论； （3）按照以为菱形的对角线和菱形的边长分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点，把，代入得，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：四边形为正方形， ， 设， ， 把代入得，解得， 点的坐标为； （3）解：在中，令，则，令，则， ，， 由题意得点在轴上，点在坐标平面内，以，，，为顶点的四边形是菱形， 当为菱形的边长， ①当时，在左侧时坐标为；在右侧时坐标为，此时，， 当坐标为时，（舍去）；当坐标为时，； ②时，此时、都为等腰三角形，故，（舍去）； 当为菱形的对角线时，由题意可得，设坐标为，则，解得， 坐标为， ，且， ， 坐标为； 综上所述，，． 【点睛】本题一次函数与特殊平行四边形综合，难度较大，涉及一次函数的图象与性质、待定系数法确定函数解析式、正方形性质、解二元一次方程组求做标、勾股定理、菱形的性质、两点之间距离公式、等腰三角形的判定与性质等知识，解答该题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识点及正方形、菱形的性质． 28．已知平面直角坐标系如图所示： (1)画出函数的图象； (2)写一条关于这个一次函数图象的性质：____________； (3)把直线向下平移一个单位，得到的函数表达式是____________； 【答案】(1)见解析 (2)函数图像的增减性，随的增大而增大 (3) 【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象平移问题、画一次函数图象 【分析】本题考查了一次函数图像及性质， （1）根据一次函数特殊点法即可作出一次函数图像， （2）根据一次函数的性质即可求解， （3）根据一次函数的平移性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：函数图像的增减性，随的增大而增大， 故答案为：函数图像的增减性，y随x的增大而增大； （3）解：由一次函数的平移性质可知，把直线向下平移一个单位，得到，即， 故答案为：． 29．某水果店进行了一次水果促销活动，在该店一次性购买A种水果的单价y（元）与购买量x（千克）的函数关系如图所示， （1）当时，单价y为______元；当单价y为8.8元时，购买量x（千克）的取值范围为______； （2）根据函数图象，当时，求出函数图象中单价y（元）与购买量x（千克）的函数关系式； （3）促销活动期间，张亮计划去该店购买A种水果10千克，那么张亮共需花费多少元？ 【答案】（1）10；；（2）函数图象的解析式：；（3）促销活动期间，去该店购买A种水果10千克，那么共需花费9元． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据观察函数图象的横坐标，纵坐标，可得结果； （2）根据待定系数法，设函数图象的解析式 （k是常数，b是常数，），将，两个点代入求解即可得函数的解析式； （3）将代入（2）函数解析式即可． 【详解】解：（1）观察函数图象的横坐标，纵坐标，不超过5千克时，单价是10元，数量不少于11千克时，单价为8.8元． 故答案为：10；； （2）设函数图象的解析式 （k是常数，b是常数，）， 图象过点，， 可得：， 解得， 函数图象的解析式：； （3）当时， ， 答：促销活动期间，去该店购买A种水果10千克，那么共需花费9元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法确定函数解析式等，理解题意，根据函数图象得出信息是解题关键． 30．如图，已知直线l1：y1=-x+3与直线l2：y2=2x-4相交于点A，请回答题： （1）求出点A的坐标． （2）请直接写出y1＜y2时，x的取值范围是： ． （3）若将直线l1向左平移2个单位后得到直线l3：y3=kx+b，请直接写出不等式解集 ． 【答案】（1）()（2）（3）,x≥;,x＜ 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】(1)联立两直线解析式,解出A点坐标即可． (2)由函数图象判断即可． (3)先求出l3的解析式,再解出和的解集即可． 【详解】(1)令y1=y2,可得-x+3=2x-4,解得x=,y=． 故答案为:(,)． (2)由图象可得y1＜y2时,． 故答案为:． (3)由题意可得y3=-(x+2)+3=-x+1, ,2x-4≥-x+1,解得x≥, ,2x-4<-x+1,解得x＜, 故答案为: ,x≥;,x＜． 【点睛】本题考查一次函数和不等式的结合,关键在于牢记一次函数的图象性质,利用图象解决不等式的问题． 31．某商场计划采购，两种不同型号的电视机共50台，已知型电视机进价1500元，售价2000元；型电视机进价为2400元，售价3000元． （1）设该商场购进型电视机台，请写出全部售出后该商店获利与之间函数表达式． （2）若该商场采购两种电视机的总费用不超过108300元，全部售出所获利润不低于28500元，请设计出所有采购方案，并求出使商场获得最大利润的采购方案及最大利润． 【答案】（1）；（2）共有三种采购方案：①甲型13台，乙型37台，②甲型14台，乙型36台，③甲型15台，乙型35台，采购甲型电脑13台，乙型电脑37台时商店获得最大利润，最大利润是28700元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）由题意，获得总利润等于A、B两种型号利润之和即可列出函数解析式； （2）由采购两种电视机的总费用不超过108300元，全部售出所获利润不低于28500元列出不等式组，求出x的取值范围，再根据函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）（1）由题意得：y=（2000-1500）x+（3000-2400）×（50-x）=-100x+30000， ∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为：； （2）由题意得：且 解得， ∵为正整数，∴、14、15， 共有三种采购方案：①甲型13台，乙型37台，②甲型14台，乙型36台，③甲型15台，乙型35台， ∵，∴随的增大而减小，∴当取最小值时，有最大值， 即时，最大值， ∴采购甲型电脑13台，乙型电脑37台时商店获得最大利润，最大利润是28700元． 【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式组的应用，由题意正确列出函数关系式和不等式组是解题关键． 32．甲、乙两人沿同一直道从A处跑步到B处，图①、②分别表示甲跑步的路程（单位：），甲乙两人之间的距离（单位：）与甲出发的时间（单位：）的函数关系，若乙先出发． (1)甲的跑步速度是______，乙的跑步速度是______； (2)求甲到达B处所用的时间； (3)直接写出甲、乙两人之间的距离不超过的总时间． 【答案】(1)150，100 (2)甲从A处到达B处用了 (3)． 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据图①甲的跑步速度是，设乙的跑步速度是，根据图②得4秒时，两人间距离是0即甲追上了乙，由此得方程，解方程即可； （2）根据图②从第一次追上到目的地，乙行驶了，乙独立行驶全程共用时，计算全程长再除以甲的速度即可得解． （3）分乙出发甲没出发，都出发追上前与追上后，以及甲到乙没到这几种情况结合图形分别求解即可． 本题考查了函数图象信息题，待定系数法，熟练掌握图象信息的搜集与处理是解题的关键． 【详解】（1）根据图①甲的跑步速度是， 设乙的跑步速度是，根据图②得4秒时，两人间距离是0即甲追上了乙， 由此得， 解得， 故乙的跑步速度是， 故答案为：150，100． （2）根据图②从第一次追上到目的地，乙行驶了，乙独立行驶全程共用时， 故全程长， 甲行驶全程用时间为：． （3）乙先行，乙在甲前面， 根据图②得到，乙行驶了， 设解析式为，确定解析式为，得到，解得； 根据甲走完全程，得甲追上乙以后，再行驶两人距离最大，最大为， 设此段的解析式为，结合题意，得， 得， 故， 当， 解得； 此时，持续时间为 乙最后行驶，乙在甲后面， 故总时间为：． 33．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点C． (1)求点A的坐标和m的值． (2)平移直线l到直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求的长． 【答案】(1)， (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数，一次函数的平移等知识， （1）将代入，可得直线l的解析式为：，进而可得，再根据直线l经过双曲线的左端点C，可得，问题随之得解； （2）结合（1）的结果得反比例函数解析式为：，即可得，根据平移直线到直线，设直线的解析式为：，代入，可得设直线的解析式为：，即可得，问题随之得解． 【详解】（1）∵在直线的图象上， ∴，即， ∴直线l的解析式为：， 当时，， 解得：， ∴， ∵直线l经过双曲线的左端点C， ∴当时，， ∴， ∴，即； （2）∵， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴， ∵平移直线到直线， ∴设直线的解析式为：， ∵直线经过， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴． 34．年第届亚运会（），简称“杭州年亚运会”，将于年月日至月日在中国浙江杭州举行．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”．它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进、两种杭州亚运会吉祥物礼盒共个，共花去元，这两种吉祥物礼盒的进价、售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） 种礼盒 种礼盒      (1)求、两种吉祥物礼盒分别购进了多少个； (2)由于销售情况很好，第一次购进的个礼盒很快就销售完了，专卖店老板又计划用不超过元购进、两种礼盒共个，则应该如何进货，才能使得第二批礼盒全部售完后获得最大利润？最大利润为多少？ 【答案】(1)购进种吉祥物礼盒个，购进种吉祥物礼盒个； (2)购进种礼盒个，种礼盒个售完后获得最大利润，最大利润元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设购进种吉祥物礼盒个，则购进种吉祥物礼盒个，根据购进A，B两种杭州亚运会吉祥物礼盒共花去元列方程，解方程即可； （2）设购进种礼盒个，种礼盒个，获得利润为元，根据两种礼盒进价不超过元求出a的取值范围，再根据总利润两种礼盒利润之和列出函数解析式，由函数的性质即可求最值． 【详解】（1）解：设购进种吉祥物礼盒个，则购进种吉祥物礼盒个， 根据题意：， 解得：， ， 答：购进种吉祥物礼盒个，购进种吉祥物礼盒个； （2）解：设购进种礼盒个，种礼盒个，获得利润为元， 购买、两种礼盒的费用不超过元， ， 解得：， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， ， 答：购进种礼盒个，种礼盒个售完后获得最大利润，最大利润元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，根据题意正确列方程和解析式是解题关键． 35．“疫苗接种，利国利民”，甲、乙两地分别对本地各40万人进行新冠疫苗接种.甲地在前期完成5万人疫苗接种后，与乙地同时以相同速度进行疫苗接种，甲地经过a天后疫苗接种人数达到25万人，由于情况变化，疫苗接种速度放缓，结果用了100天完成疫苗接种任务；乙地用了80天完成疫苗接种任务.甲、乙两地的疫苗接种人数y（万人）与乙地疫苗接种所用时间x（天）之间的关系如图所示. (1)乙地每天疫苗接种的人数为____________万人；a的值为____________； (2)当甲地疫苗接种速度放缓后，求甲地疫苗接种人数y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在这段时间内，当两地疫苗接种人数的差不超过3万人时，直接写出疫苗接种所用时间x的取值范围. 【答案】(1)0.5；40 (2)（） (3) 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）由接种速度=接种人数÷接种天数求解 （2）利用待定系数法求解 （3）求出乙地y与x的函数解析式，求出甲乙两地接种疫苗刚好为3万人时对应天数，结合函数图像直接写出x范围 【详解】（1）解：乙地的接种速度为40÷80=0.5（万人/天） 0.5a=25-5 解得a=40 故答案为：0.5；40 （2）设，将，代入得： 解得，， ∴（）； （3）由（1）得乙地疫苗接种人数y与接种所用时间x之间的关系式为． 令，解得； 令，解得. 结合图像可得符合要求的x的取值范围是 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解． 【能力提升】 36．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点，点的横坐标为，在轴上有一点（>），过点作轴的垂线，分别交函数和的图像于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)若，求a的值； (3)在（2）的条件下，求四边形OMCP的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数的图像及性质，求函数值，熟练掌握一次函数的图像及性质是解题的关键． （1）点在直线的图象上，且点的横坐标为，得到点的坐标为，，再把代入即可求得的值，即可求得； （2）先确定点坐标为，则 再表示出点坐标为 点坐标为，所以 然后解方程即可； （3）根据四边形的面积等于 求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，可得， 所以的坐标为， 把代入，解得， 所以直线的函数表达式是． （2）解：把代入得， 所以点的坐标为， 因为， 所以， 因为轴， 所以点的坐标为，点的坐标为， 所以， 所以； （3）解：如图，过点作于点， 由（）知，点的坐标为，坐标为， 四边形的面积的面积的面积． 37．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点，直线与轴、轴分别交于点． (1)求的值及直线的函数表达式． (2)若是轴上方且位于直线上的一点，且，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，若是直线上的一点，是轴上的一点，试探究能否成为以为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出所有符合要求的点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点 (3)点的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形、等腰三角形的定义 【分析】（1）由点在直线上，可得，可求，即．将，，代入得，可求，进而可得直线的函数表达式． （2）当时，可求，．设，由题意知，，，由，可知在点右侧，如图1，由，，，可得，即，计算求解，进而可求． （3）如图2，过点作轴于点，过点作的延长线于点．设．证明，则，即，分当时，当时，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得， ∴． 将，，代入得，， 解得，， ∴直线的函数表达式为． （2）解：当时，， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴． 设， 由题意知，，， ∵， ∴在点右侧，如图1， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， ∴． （3）解：能 如图2，过点作轴于点，过点作的延长线于点． 设． ∵是以为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 当时，解得，此时点的坐标为； 当时，解得，此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 38．如图，已知点、，点P是直线上任意一点． (1)当点P在什么位置时，的周长最小？求出点P的坐标及周长的最小值； (2)在（1）的条件下，求出的面积． 【答案】(1)，的周长是 (2) 【知识点】一次函数与几何综合、根据成轴对称图形的特征进行求解、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先根据对称找出P点的位置，求出A的对称点C的坐标，求出直线解析式，求出两函数组成的方程组的解，即可求出P的坐标，即可求出答案； （2）设直线与x轴交于F点， 求出点F的坐标，根据代入求出即可． 【详解】（1）解：作出点A关于直线的对称点C，连结交直线于点P， ∴， ， 则， 由直线得与x轴上的交点D为，与y轴的交点为E为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标是， 设直线的解析式为， 则， 解得： 即直线的解析式为∶． 联立两直线解析式∶， 解得：， ∴， 由勾股定理得，· ∴的周长是； （2）设直线与x轴交于F点，如图2， 另，则，解得： ∴点F的坐标是， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了轴对称性的应用，勾股定理，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的几何问题等知识点的应用，利用轴对称的性质是解题的关键． 39．在平面直角坐标系中，点，点，其中． (1)如图1，若，求的值． (2)如图2，点P是x轴正半轴上一点，，交轴于点，于点，求的值．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，再根据角的直角三角形性质求解即可； （2）设，表示出，由，根据勾股定理得到p与m的关系式，化简得：，解得：故，求出直线的表达为为，得出，由两点坐标公式可求，以及，则得出的值． 【详解】（1）解：连接， 点，点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 解得：（舍负）； （2）解：设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 化简得：， 解得：或（舍）， ∴， 设，代入得， ， 解得：，， ， 当时，， ， ，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理，一次函数解析式的求解，一次函数与坐标轴的交点，已知两点求距离，角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 40．据悉，上海市发改委拟于今年月日举行居民用水价格调整听证会，届时将有两个方案提供听证．如图，射线、射线分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费元与每户每月的用水量立方米之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价每立方米多元；方案二如图表格所示，每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、三级的用水价格之比为：：精确到元． 级数 水量基数 调整后的价格（元/） 第一级 0~15（含15） 2.61 第二级 15~25（含25） 3.92 第三级 25以上                     图（2） (1)写出现行的用水价是每立方米多少元？ (2)求图中的值和射线所对应的函数解析式，并写出定义域； (3)若小明家某月的用水量是立方米，请分别写出三种情况下现行的、方案一和方案二该月的水费用的代数式表示； (4)小明家最近个月来的每月用水量的频数分布直方图如图所示，估计小明会赞同采用哪个方案请说明理由． 【答案】(1)每立方米元 (2)， (3)现行的：；方案一：；方案二：当，；当，；当时， (4)小明会赞同采用方案二，理由见解析 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】（1）用总价92元除以每月的用水量50立方米即可得出答案； （2）根据方案一的用水价比现行的用水价每立方米多元先得出现行的用水价，即可再求得m的值，设射线所对应的函数解析式为，代入即可求得； （3）分别根据每月的每立方米用水价格计算该月的水费b； （4）根据小明家的平均月用水量估计每月的用水费哪一种更合算即可． 【详解】（1）， 故现行的用水价是每立方米元； （2）， ， 设射线所对应的函数解析式为 ， 则， ， ； （3）现行的：； 方案一：； 方案二：第一、二、三级的用水价格之比为：：， ， 当，； 当，； 当时，； （4）小明会赞同采用方案二，理由如下： 小明家的月平均用水量： ， 当时，水价为元，此时方案一的水价为元， 所以他可能会赞同方案二． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图象找出自变量与因变量的关系式． 学科网（北京）股份有限公司 $$