专题04 一元一次不等式（组）及其应用（分层训练）-2025年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

专题04 一元一次不等式（组）及应用（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为4m/s，则导火线的长应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】根据题目要求列出不等式即可． 【详解】解：∵人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行计算即可求解． 【详解】解： 去分母得， 移项合并同类项得， 化系数为1得，， 故选：C． 3．解不等式时，去分母后结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集 【解析】略 4．已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一次函数自变量或函数值 【解析】略 5．若不等式组有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】先确定不等式的解集，进而得出关于a的不等式，求出解集即可． 【详解】根据题意，得， 可知， 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式组的解，理解不等式组有解的含义是解题的关键． 6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解不等式2x-1≤3，得：x≤2， ∴不等式组的解集为-1＜x≤2， 故选A． 【点睛】考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7．小强同学从，，，，，这六个数中任选一个数，满足不等式的概率是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据概率公式计算概率 【分析】首先解不等式得x＜1，可知六个数中只有2个满足不等式，故通过概率公式可求得概率. 【详解】解：x+1＜2 解得：x＜1 ∴六个数中满足条件的有2个，故概率是. 故选C 【点睛】本题考查了解不等式，随机事件概率，解本题的关键是通过解不等式来求满足条件的随机事件概率. 8．把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式9x+7＜11x，则横线上的信息可以是 A．每人分7本，则可多分9个人 B．每人分7本，则剩余9本 C．每人分9本，则剩余7本 D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式 【分析】根据不等式表示的意义解答即可． 【详解】由不等式9x+7＜11x，可得：把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人分11本，则不够； 故选C． 【点睛】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 9．将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 10．若关于x的不等式组的解集为x＞3，则a的取值范围是（    ） A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3 【答案】D 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【详解】 解不等式①,得x>3, 解不等式②,得x>a. ∵不等式组的解集是x>3,∴a≤3. 11．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集 【分析】求出每个不等式的解集，两个不等式解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集是． 故选：B 【点睛】此题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 12．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】移项，合并同类项，根据不等式性质即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的求解，求出不等式的解集是解题的关键． 13．如果点在平面直角坐标系的第一象限，那么的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了点坐标特点、一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点．根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项． 【详解】解：∵在平面直角坐标系的第一象限内， ∴， 解得：， 在数轴上表示为：    故选：D． 14．已知关于x的分式方程有整数解，且关于y的不等式组的解集为y＞1，求满足条件的所有整数a的和为（　　） A．﹣10 B．﹣5 C．﹣1 D．1 【答案】C 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】由关于y的不等式组的解集为y＞1，可得a≥﹣2；关于x的分式方程的解为，因为分式方程有可能产生增根2，所以，a≠﹣1；又因为a为整数，关于x的分式方程有整数解，可得a＝﹣2或1，即可求得． 【详解】解：解不等式组得：． ∵关于y的不等式组的解集为：y＞1， ∴a≥﹣2． ∵关于x的分式方程的解为x=， 又∵分式方程有可能产生增根2， ∴． ∴a≠﹣1． ∵关于x的分式方程有整数解，a为整数， ∴a＝﹣2或1． ∴满足条件的所有整数a的和为﹣2+1＝﹣1． 故选：C． 【点睛】此题考查了分式方程和不等式组含参数问题，考虑分式方程可能产生增根是解题的关键． 15．若一组数据，，，，的众数是，其中又是不等式组的整数解，则这组数据的中位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求众数、求中位数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出不等式组的整数解，再根据众数的定义可求x的值，再根据中位数是排序后位于中间位置或中间两数的平均数求解． 【详解】解：， 解不等式①得：x＞3， 解不等式②得：x＜5， ∴不等式组的解集为：3＜x＜5， ∴不等式组的整数解为：4， 即x=4，∵这组数据，，，，4的众数是4， 这组数据从小到大排列为：2，4，4，6，8， 则这组数据的中位数是4. 故选B. 【点睛】本题综合考查了一元一次不等式组的整数解，众数及中位数的定义，解题的关键是仔细观察，在确定中位数时首先要排序． 二、填空题 16．某水果批发商决定在今年5月份进购一批水果：苹果、菠萝、哈密瓜和葡萄．已知每件苹果的价格是每件菠萝价格的4倍，每件葡萄的价格是每件哈密瓜价格的倍．另外，购进哈密瓜的件数是苹果件数的2倍，购进菠萝的件数是葡萄件数的3倍，且哈密瓜件数的2倍和菠萝件数的总和不超过600件．已知一件哈密瓜和一件菠萝的价格之和为40元，最后，购进四种水果的总费用为13200元，则今年5月份用于购进哈密瓜和葡萄的总费用的最大值为 元． 【答案】10800 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设每件菠萝价格为元，则每件哈密瓜价格为元，每件苹果价格为元，每件葡萄价格为元，设购进苹果件数为件，购进葡萄件数为件，购进菠萝件，购进哈密瓜件，根据题意列出不等式组，再整理并利用不等式的性质可得答案． 【详解】解：设每件菠萝价格为元，则每件哈密瓜价格为元，每件苹果价格为元，每件葡萄价格为元， 设购进苹果件数为件，购进葡萄件数为件，购进菠萝件，购进哈密瓜件， 由题意得，， 整理得，， ∴， 解得， ∴，， 购进哈密瓜和葡萄的总费用为， ∵， ∴最大费用为10800元． 故答案为：10800． 【点睛】本题考查不等式与方程的应用，根据题意设出恰当的未知数是解题关键． 17．若关于x的不等式组至少有2个偶数解，关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，熟练掌握各种的解法是解本题的关键；不等式组整理后，表示出解集，由不等式组至少有2个偶数解确定出的范围，再由分式方程有整数解，确定出满足题意整数的值，求和即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， ∵至少有2个偶数解，， 解得：， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程有整数解， 解得：且， ∴或2或3或或或11或或6（舍去）， ∵ ∴的值为2，3，11， 则所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：． 18．不等式的解集为 ． 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】根据不等式的性质求出解集即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，正确掌握不等式的性质是解题的关键． 19．已知关于的不等式组恰好有四个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【详解】解：解不等式组得，则， ∵该不等式组的解集恰好有四个整数解， ∴四个整数解为4、5、6、7， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解不等式组及不等组的整数解，难度中等，正确解出不等式组的解集，确定a的范围是解决本题的关键． 20．关于的不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，利用不等式的整数解得出关于a的不等式是解题关键． 先求出不等式组的解集并写出整数解，再根据不等式组的整数解建立a的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴不等式组的3个整数解是：， ∴， 解得：． 故答案为：． 21．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 22．若关于x的不等式组无解，那么a的取值范围是 ． 【答案】a≤3 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】求出不等式的解集，根据大大小小无解找，确定a的范围． 【详解】∵2-3x＜-7的解集是x＞3，不等式组无解， ∴a≤3， 故答案为：a≤3． 【点睛】本题考查了不等式组的无解，熟练掌握大大小小无解找是解题的关键． 23．已知关于的不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的的和为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了一元一次不等式组与分式方程的解，分别求出不等式组的解与分式方程的解，根据解的情况求出的取值范围即可求解，求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：， 解得，， 解得，， ∴， ∵不等式组至少有三个整数解， ∴， ∴， 解分式方程得，， ∵分式方程有非负整数解， ∴且， 即且， 解得且， ∴且， ∴所有满足条件的的和为， 故答案为：． 24．高斯函数，也称为取整函数，即示不超过的最大整数．例如：；．则下列论：①，②，③若，则的取值范围是，④当时，的值为0、1、2．其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号） 【答案】① 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了新定义以及解一元一次不等式组，解决本题的关键是明确表示不超过x的最大整数．根据表示不超过x的最大整数，即可解答． 【详解】解：①．由题意可知，故①正确； ②．当x取小数时，显然不成立，例如x取2.6，，故②错误； ③．若，则要满足，且，解得，且，即，故③错误； ④．当时，， ∴或1，或1或2， 当时，或2；当时，或0； 所以的值为1、2，故④错误． 所以正确的结论是①． 故答案为：①． 25．不等式组的解集为，则 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、加减消元法 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，二元一次方程组的解法．根据题意，先把看成常数解出不等式组，再依题得出关于二元一次方程组即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式的解集为 不等式解集为 解得 ． 故答案为：． 三、解答题 26．小明同学学习了有理数后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“”，规则如下：对于两个有理数a，b，. (1)计算：______，______； (2)设，试比较的大小，并说明理由； (3)已知，且，请直接写出满足条件的x的最小值. 【答案】(1)2，2 (2)，理由见解析 (3) 【知识点】求不等式组的解集、整式的加减运算、有理数的加减混合运算、绝对值的意义 【分析】（1）根据新运算“”规则直接计算即可； （2）根据新运算“”规则表示出，即可比较大小； （3）根据新运算“”规则可得，令，分和两种情况，利用绝对值的几何意义求出t的取值范围，进而求出x的取值范围，即可求解 【详解】（1）解：， ， 故答案为：2，2； （2）解：，理由如下： ， ， ； （3）解： ，且， ， ， 令， 当时，， ， ，即， 解得， 当时，， ， ，即， 解得， 综上可知，x的取值范围为：， 满足条件的x的最小值为． 【点睛】本题考查新定义运算，绝对值的意义，有理数的加减混合运算，整式的运算，第3问有一定难度，通过分类讨论去绝对值，再结合绝对值的几何意义求解是解题的关键． 27．2022年中国航天在诸多领域实现重大突破，在全国掀起航天知识学习的浪潮．某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分、、三个场馆，且购买2张场馆门票和1张场馆门票共需要140元，购买3张场馆门票和2张场馆门票共需要230元．由于场地和疫情原因，要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观． (1)求场馆和场馆门票的单价． (2)已知场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动；每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票． ①若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． ②若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1200 元，求所有满足条件的购买方案． 【答案】(1)场馆门票的单价为50元，场馆门票的单价为40元 (2)①1210元；②所有满足条件的购买方案为：方案一，购买场馆门票5张，购买场馆门票20张，购买场馆门票10张；方案二，购买场馆门票10张，购买场馆门票16张，购买场馆门票4张 【知识点】一次不定方程、其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设场馆和场馆门票的单价分别为元、元，根据题意得：①2张场馆门票的费用＋1张场馆门票的费用＝140元，②3张场馆门票的费用＋2张场馆门票的费用＝230元，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可； （2）①若购买场馆门票赠送的场馆门]票刚好够参观场馆的同学使用，设购买场馆门票张，此次门票所需总金额为元，则参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，，又根据题意要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观，所以，再结合是正整数，利用一次函数的性质可求解； ②若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门]票外，还需另外购买部分门票，且总共三种门票共花费了1200元，设购买场馆门票张，购买场馆门]票张，则参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，由题意得：，整理得：，再结合、都是正整数，可求解． 【详解】（1）解：设场馆和场馆门票的单价分别为元、元，根据题意，得： ， 解方程组，得：． 答：场馆门票的单价为50元，场馆门]票的单价为40元． （2）已知场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动：每购买1张场馆门票赠送1张场馆门票， ①若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，设购买场馆门票张，此次门票所需总金额为元，则参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， 而要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观， ∴， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴当时，取得最小值， 最小值为：， 即此次门票所需总金额的最小值为1210元； ②若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且总共三种门票共花费了1200元， 设购买场馆门票张，购买场馆门票张，则参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，由题意得： ， 整理得： ， ∵、都是正整数， ∴是5的倍数， 满足条件的、有、， 若、，则，； 若、，则，，． 所有满足条件的购买方案为：方案一，购买场馆门票5张，购买场馆门票20张，购买场馆门票10张；方案二，．购买场馆门票10张，购买场馆门票16张，购买场馆门票4张． 【点睛】本题主要考查二元一次方程（组）的应用，不定方程等知识，涉及一元一次不等式的应用，一次函数的性质等知识．第（2）问中②小题中，得到不定方程，并根据题干中的信息确定、都是正整数是解题关键． 28．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】（1），在数轴上表示见解析；（2），所有整数解为1，2，3． 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】难题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，求不等式组的整数解．掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组的步骤是解题关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤即可求解，再在数轴上表示即可； （2）分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定其解集，最后找出其中的整数即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 在数轴上表示解集如下． （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为， ∴它的所有整数解为1，2，3． 29．（1）解不等式组： 请结合题意填空，完成本题的解答 （I）解不等式①，得______________________； （Ⅱ）解不等式②，得______________________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为______________． （2）解方程：． 【答案】（1）（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示见解析；（Ⅳ）原不等式组的解集为；（2）原分式方程的解是. 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、解分式方程 【分析】（1）关于（I）（Ⅱ）直接解一元一次不等式即可；（Ⅲ）通过数形结合在数轴上表示出解集；（Ⅳ）取数轴上的公共部分； （2）根据解分式方程的基本步骤直接求解即可． 【详解】解：（1）（Ⅰ）解，解得； （Ⅱ）解，解得； （Ⅲ）在数轴上表示结果如下： （Ⅳ）在数轴上取公共部分，原不等式组的解集为. （2） 解： 检验：当时，，所以原分式方程的解是. 【点睛】本题考查了求解一元一次不等式组、求解分式方程，解题的关键是：掌握解一元一次不等式组、求解分式方程的基本步骤及方法，注分式方程需要对根进行检验． 30．已知关于x的不等式． (1)当a＝2022时，求此不等式解集． (2)a为何值，该不等式有解，并求出其解集． 【答案】(1) (2)当时，原不等式有解，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】（1）根据解不等式的方法解不等式即可； （2）同（1）将原不等式化为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得原不等式可以化成， ∴当，即时，原不等式有解， 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． 31．解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析． 【知识点】求不等式组的解集 【分析】先解不等式①，再解不等式②，求交集即可得到不等式组的解，根据解集画图即可． 【详解】解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题考查不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法． 32．先化简，再求值：，其中为整数且满足 【答案】，-3 【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 整数或0或1或2． 原式． 33．我们规定，若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“关联方程”． 问题解决： (1)方程是不等式组的“关联方程”吗？请说明理由． (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围． (3)若关于x的不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数、一元一次方程解的综合应用 【详解】3．解：（1）不是．理由如下： 解，得．解 得．因为不在的范围内，所以不是“关联方程”． （2）解，得．解得．由“关联方程”的定义，得，解得． （3）由得． 因为不等式组的所有“关联方程”只有3个不同的整数解，即在范围内只有3个整数解，所以，即，解得．所以．当时，必须满足，m无解；当时，必须满足，解得．综上所述． 34．XH中学为奖励在趣味运动会上取得好成绩的学生，计划购买甲、乙两种奖品，若购买甲种奖品5件，乙种奖品15件，需花费650元，若购买甲种奖品4件，乙种奖品5件，需花费310元． (1)求甲、乙两种奖品每件多少元？ (2)如果购买甲、乙两种奖品共20件，总花费不超过700元，求XH中学最多购买甲种奖品多少件？ 【答案】(1)甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元 (2)最多购买甲种奖品10件 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则根据题意：购买甲种奖品5件，乙种奖品15件，需花费650元，购买甲种奖品4件，乙种奖品5件，需花费310元，列方程组解应用题； （2）设购买甲种奖品件，列出不等式解题即可． 【详解】（1）设甲种奖品每件元，乙种奖品每件元 ，解得 答：甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元． （2）设购买甲种奖品件， ，解得 答：最多购买甲种奖品10件． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，找出等量关系列出方程是解题的关键． 35．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么　　； ②如果，那么　　； ③如果，那么　　． (2)如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①若，比较，的大小； ②比较与的大小． 【答案】(1)①；②；③ (2)①；② 【知识点】因式分解的应用、不等式的性质 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出题目中的不等关系． （1）①根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； ②根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； ③根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； （2）①根据，移项并作差，然后即可得到和的关系； ②将两个多项式作差，然后与0比较大小，即可得到与的大小． 【详解】（1）解：①， ， ， 故答案为：； ②， ， ， 故答案为：； ③， ， ， 故答案为：； （2）解：①， ， ， ， ， ； ② ， ． 【能力提升】 36．已知关于、的方程组 (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值． (2)若方程组的解为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）求出、满足方程组的解，再代入即可求出的值； （2）先求出的解，根据方程的解满足的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出的范围； （3）由题意可得，再由，求出的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：关于、的方程组的解也是方程的解， 、满足方程组， 解得， 把代入得， ， 解得； （2）， ①②得， 所以，， ①②得， 所以，， 故方程组的解为， ， ， 解得； （3），， ， ， ， ． 37． 关于x的方程的方程 的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解等知识点， （1）先解方程可得：，然后把x的值代入中进行计算，即可解答； （2）根据不等式的性质可得：，从而可得，然后利用（1）的结论可得：，从而可得：，即可解答； 准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； （2）， ， ∵不等式的解为， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∵a是整数， ∴． 38．已知一次函数． (1)若随增大而减小，求的取值范围； (2)若其图象与直线的交点在轴上，求的值； (3)若其图象不经过第二象限，且为整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】根据一次函数增减性求参数、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围、求不等式组的解集 【分析】本题考查了一次函数图象与性质． （1）由一次函数随增大而减小，可知，解不等式即可得出结论； （2）先求出直线与x轴的交点，可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论； （3）由函数图象不经过第二象限，即函数图象经过第一、三、四象限或函数图象经过第一、三，当函数图象经过第一、三、四象限时可得出，解之即可得出结论，当函数图象经过第一、三时可得出，解之即可得出结论．综上即可得出结论． 【详解】（1）解：∵随增大而减小， ∴， 解得：； （2）解：∵时，， ∴直线与x轴的交点， 又∵一次函数与直线的交点在轴上， ∴一次函数过点， ∴， 解得：； （3）解：分两种情况考虑： 当函数图象经过第一、三、四象限时，， 解得：； 当函数图象经过第一、三象限时，， 解得：． 综上所述：的取值范围为， ∵为整数， ∴或． 39．某汽车租赁公司有甲、乙两种型号的客车共20辆，它们的载客量、每天的租金如表所示，已知在这20辆客车都坐满的情况下，一共可以载客920人， 甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 40 50 日租金(元/辆) 500 600 (1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ (2)某中学计划向此汽车租赁公司租用甲、乙两种型号的客车共10辆，接送七年级师生参加社会实践活动，已知该中学预算租车的总费用不超过5500元，那么租车的方案共有多少种？ 【答案】(1)甲型客车8辆，乙型客车12辆 (2)4种 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程和不等式组的应用，根据题意找出等量关系或不等量关系并正确列方程和不等式是解题的关键． （1）设甲种型号客车辆，则乙种型号客车辆，根据“一共可以载客920人”列出方程求解即可； （2）设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆，根据“该中学预算租车的总费用不超过5500元”列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲种型号客车辆，则乙种型号客车辆， 解得： 所以 答：甲型客车8辆，乙型客车12辆； （2）解：设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆， ，为整数， ∴或6或7或8， 租车方案有4种． 40．对m、n定义一种新运算“”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a、b的值． ②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围． (2)若运算“”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“”都成立，试探究a、b应满足的关系． 【答案】(1)①，② (2) 【知识点】新定义下的实数运算、加减消元法、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，理解题意，正确得出方程组和不等式组是解此题的关键． （1）①根据已知新运算得出方程组，解方程组即可得出答案；②根据新运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于的不等式组，求解即可； （2）根据新运算得出等式，整理即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得， 解得； ②由题意得， 化简得 则整数解为1，2，故， 解得； （2）解：由得， 化简得， ∵m、n为任意数， ∴不一定等于， ∴， 故a、b应满足的关系为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元一次不等式（组）及应用（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为4m/s，则导火线的长应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．解不等式时，去分母后结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．若不等式组有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是(   ) A． B． C． D． 7．小强同学从，，，，，这六个数中任选一个数，满足不等式的概率是（） A． B． C． D． 8．把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式9x+7＜11x，则横线上的信息可以是 A．每人分7本，则可多分9个人 B．每人分7本，则剩余9本 C．每人分9本，则剩余7本 D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本 9．将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   10．若关于x的不等式组的解集为x＞3，则a的取值范围是（    ） A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3 11．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 12．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   13．如果点在平面直角坐标系的第一象限，那么的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 14．已知关于x的分式方程有整数解，且关于y的不等式组的解集为y＞1，求满足条件的所有整数a的和为（　　） A．﹣10 B．﹣5 C．﹣1 D．1 15．若一组数据，，，，的众数是，其中又是不等式组的整数解，则这组数据的中位数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 16．某水果批发商决定在今年5月份进购一批水果：苹果、菠萝、哈密瓜和葡萄．已知每件苹果的价格是每件菠萝价格的4倍，每件葡萄的价格是每件哈密瓜价格的倍．另外，购进哈密瓜的件数是苹果件数的2倍，购进菠萝的件数是葡萄件数的3倍，且哈密瓜件数的2倍和菠萝件数的总和不超过600件．已知一件哈密瓜和一件菠萝的价格之和为40元，最后，购进四种水果的总费用为13200元，则今年5月份用于购进哈密瓜和葡萄的总费用的最大值为 元． 17．若关于x的不等式组至少有2个偶数解，关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 18．不等式的解集为 ． 19．已知关于的不等式组恰好有四个整数解，则实数的取值范围是 ． 20．关于的不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是 ． 21．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 22．若关于x的不等式组无解，那么a的取值范围是 ． 23．已知关于的不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的的和为 ． 24．高斯函数，也称为取整函数，即示不超过的最大整数．例如：；．则下列论：①，②，③若，则的取值范围是，④当时，的值为0、1、2．其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号） 25．不等式组的解集为，则 ． 三、解答题 26．小明同学学习了有理数后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“”，规则如下：对于两个有理数a，b，. (1)计算：______，______； (2)设，试比较的大小，并说明理由； (3)已知，且，请直接写出满足条件的x的最小值. 27．2022年中国航天在诸多领域实现重大突破，在全国掀起航天知识学习的浪潮．某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分、、三个场馆，且购买2张场馆门票和1张场馆门票共需要140元，购买3张场馆门票和2张场馆门票共需要230元．由于场地和疫情原因，要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观． (1)求场馆和场馆门票的单价． (2)已知场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动；每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票． ①若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． ②若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1200 元，求所有满足条件的购买方案． 28．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 29．（1）解不等式组： 请结合题意填空，完成本题的解答 （I）解不等式①，得______________________； （Ⅱ）解不等式②，得______________________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为______________． （2）解方程：． 30．已知关于x的不等式． (1)当a＝2022时，求此不等式解集． (2)a为何值，该不等式有解，并求出其解集． 31．解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来． 32．先化简，再求值：，其中为整数且满足 33．我们规定，若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“关联方程”． 问题解决： (1)方程是不等式组的“关联方程”吗？请说明理由． (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围． (3)若关于x的不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求m的取值范围． 34．XH中学为奖励在趣味运动会上取得好成绩的学生，计划购买甲、乙两种奖品，若购买甲种奖品5件，乙种奖品15件，需花费650元，若购买甲种奖品4件，乙种奖品5件，需花费310元． (1)求甲、乙两种奖品每件多少元？ (2)如果购买甲、乙两种奖品共20件，总花费不超过700元，求XH中学最多购买甲种奖品多少件？ 35．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么　　； ②如果，那么　　； ③如果，那么　　． (2)如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①若，比较，的大小； ②比较与的大小． 【能力提升】 36．已知关于、的方程组 (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值． (2)若方程组的解为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，设，求的取值范围． 37． 关于x的方程的方程 的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数a的值． 38．已知一次函数． (1)若随增大而减小，求的取值范围； (2)若其图象与直线的交点在轴上，求的值； (3)若其图象不经过第二象限，且为整数，求的值． 39．某汽车租赁公司有甲、乙两种型号的客车共20辆，它们的载客量、每天的租金如表所示，已知在这20辆客车都坐满的情况下，一共可以载客920人， 甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 40 50 日租金(元/辆) 500 600 (1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ (2)某中学计划向此汽车租赁公司租用甲、乙两种型号的客车共10辆，接送七年级师生参加社会实践活动，已知该中学预算租车的总费用不超过5500元，那么租车的方案共有多少种？ 40．对m、n定义一种新运算“”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a、b的值． ②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围． (2)若运算“”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“”都成立，试探究a、b应满足的关系． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$