专题07 三角形的证明单元过关【培优版】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

专题07 三角形的证明单元过关（培优版） 考试范围：第1章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列命题是假命题的是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．若，则 C．等边三角形的内角都等于 D．三角形三条角平分线交于一点 2．如图，把绕点C顺时针旋转至，交于点D，若，，则旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：①；②；③平分；④垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列判断： ①因为，，所以； ②因为，，所以； ③因为，，，所以； ④因为，，，所以． 其中，正确的判断有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列说法： ①顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等； ②等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等； ③等边三角形是轴对称图形，三条高是它的三条对称轴； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半． 其中正确的有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D． 8．在四边形中，，，，为上一点，，且，于．连接交对角线于．下列结论：①；②垂直平分；③；④平分．其中正确的为（    ）    A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 9．如图所示，在等边三角形中，D，E分别在边，上，且，与交于点F，，垂足为点G.下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（    ）      A．3 B．2 C．1 D．0 10．如图， 中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点 ， 于点． 若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．将一个长方形按照图中的方法折叠一角，折痕是，若，则 ． 12．如图，在中，，是的平分线，垂直平分，若，则 ． 13．如图，等边和等腰，，点，分别为边，的中点，若的面积为16，，点是上的动点，则的周长的最小值为 . 14．如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为 ． 15．如图，已知在中，，，，平分，则的面积为 ．    16．如图， 是等边三角形， ，E是靠近点C的三等分点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得线段EF，当点D运动时，则AF最小值为 ． 17．如图所示，在等边中，，点P与点Q分别从点B，C同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设点P与点Q运动的时间为．当时，点P与点Q运动 s后，可得到． 18．如图，在中，，，，点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为 . 评卷人 得分 三、解答题 19．如图，已知和中，，，相交于点P． (1)证明：； (2)求的度数； 20．如图，点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．在中，，，点为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． (1)如图1，探究线段、之间的数量关系； (2)如图2，当时，其它条件不变，试判断线段，，的数量关系，并证明． 22．如图，P是上一点，于点D，于点E．F，G分别是上的点．．    (1)求证：是的平分线； (2)若，，．求的长． 23．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求 ． 24．已知：在中，，点在上，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为的中点，过点作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点，，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点分别作于点，于点，若，，求的面积． 25．如图①，将沿着翻折，得到，与关于成轴对称，以此变换，如图②，中，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图③，点E，F分别在上，且，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，如图④作于点H，点M为上一点，且，连接并延长至点N，使，连接，，作于点K，求的长． 26．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝kCA，延长BC至点D，使CD＝CA，AM⊥AB，且D，M在AB的异侧，AM＝AB，连接DM与AC交于点N． (1)如图1，当k＝1时，请直接写出＝ ，＝ ； (2)如图2，当0＜k＜1时，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并证明； (3)若AN＝mCN（m＞0且m≠1），请直接写出k的值为 ．（用含m的代数式表示） 27．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角形的证明单元过关（培优版） 考试范围：第1章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列命题是假命题的是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．若，则 C．等边三角形的内角都等于 D．三角形三条角平分线交于一点 【答案】B 【知识点】判断命题真假、等边三角形的性质、角平分线的性质定理、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了真假命题的判断，根据相关命题进行判断即可． 【详解】解：A、同位角相等，两直线平行，是真命题，故不符合题意； B、若，则，原命题是假命题，符合题意； C. 等边三角形的内角都等于，是真命题，故不符合题意； D. 三角形三条角平分线交于一点，是真命题，故不符合题意； 故选：B． 2．如图，把绕点C顺时针旋转至，交于点D，若，，则旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由利用旋转的性质得出的度数，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：∵把绕点C顺时针旋转至，交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角为， 故选：A． 3．在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线交点求解即可． 【详解】由图形可得，垂直平分，故排除A、C选项； 点很明显不在的垂直平分线上，故排除选项D； 故选：B． 4．如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：①；②；③平分；④垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定、根据三线合一证明 【分析】本题考查三线合一．根据三线合一进行判断即可． 【详解】解：∵直线经过线段的中点，点在直线上，且， ∴，平分，垂直平分线段， 故①③④正确， 条件不足，无法求出的度数，故②错误； 故选C． 5．下列判断： ①因为，，所以； ②因为，，所以； ③因为，，，所以； ④因为，，，所以． 其中，正确的判断有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查“同角的余角相等”、 “等角的补角相等”等知识，由“同角的余角相等”可判断①正确、②错误；由“等角的补角相等”判断③正确、④错误；熟记“同角的余角相等”、 “等角的补角相等”推理是解决问题的关键． 【详解】解：根据“同角的余角相等”， 因为，，所以正确，故①正确； 因为，，所以错误，故②错误； 根据“等角的补角相等”， 因为，，，所以正确，故③正确； 因为，，，所以错误，故④错误； 综上所述，正确的有①③， 故选：B． 6．下列说法： ①顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等； ②等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等； ③等边三角形是轴对称图形，三条高是它的三条对称轴； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半． 其中正确的有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等边三角形的性质、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用等腰三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等逐一判断即可得解． 【详解】解：在和中， ∵，， ∴，， 又， ∴ 又， ∴， 故顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等，说法正确，故①符合题意； 在中， ∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，说法正确，故②符合题意； 等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线是其对称轴，原说法错误，故③不符合题意； 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半， 说法正确，故④符合题意； 正确的为：①②④，共3个； 故选：C． 7．如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形边角的不等关系、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】首先证明，过点C作于点H，连接，然后根据三角不等关系得出，即当点C、F、H三点共线时，取得最小值，进而可得当点与重合时，的值最小，最后问题可求解． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ，， ， ∴， ， 又， ， ， ， 过点C作于点H，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 由三角形不等关系可知：，即当点C、F、H三点共线时，取得最小值， 作平分交于N，连接，如图； 要使取得最小值，就要使取得最小值，当点F与点N重合时，即为最小，如图所示， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角不等关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 8．在四边形中，，，，为上一点，，且，于．连接交对角线于．下列结论：①；②垂直平分；③；④平分．其中正确的为（    ）    A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】由已知条件可直接证得；由三角形全等的性质可得，又因为，所以是的垂直平分线即垂直平分；延长，相交于点G，证出，则，再证出，即可得出③正确；取的中点I连接，可得，再证明，再利用三角形的外角性质和平行线的性质问题④可得证． 【详解】解：①∵，， ． ∵， ， ． 又， ． 故①正确． ②， ． 又， ∴是的垂直平分线即垂直平分；故②正确． ③延长，相交于点G，    则， ，， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ． 又， ．即，故③正确； ④取的中点I连接，    则， ， ． ， ， ． ， ， ， 平分．故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判断和性质；垂直平分线的判定；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰直角三角形两底角都是，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质与判定． 9．如图所示，在等边三角形中，D，E分别在边，上，且，与交于点F，，垂足为点G.下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（    ）      A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】根据等边三角形的性质可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得，求出，然后利用三角形的内角和定理求出，判定②正确；求出，，，判定不是等腰三角形；求出，再求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后判断④． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， 在中， ，故②正确； ∵，， ∴， ∴不是等腰三角形，故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确， 综上所述，正确的有①②④． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键． 10．如图， 中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点 ， 于点． 若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，连接，由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质的得到，进而由“”可证，可得，即得到，据此即可求解，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】解：连接 ∵是的平分线 ， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．将一个长方形按照图中的方法折叠一角，折痕是，若，则 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质以及三角形的内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据折叠的性质得：，再根据即可求解． 【详解】解：将一个长方形按照图中的方法折叠一角，折痕是， ， ， 故答案为：． 12．如图，在中，，是的平分线，垂直平分，若，则 ． 【答案】6 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、所对的直角边是斜边的一半，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得，在中，根据直角三角形的性质可求得，则可得出的长． 【详解】解：垂直平分， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．如图，等边和等腰，，点，分别为边，的中点，若的面积为16，，点是上的动点，则的周长的最小值为 . 【答案】10 【知识点】根据三线合一证明、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，以及利用轴对称解决三角形的周长问题． 连接交于点，根据三线合一，得到关于对称，根据的周长等于，当三点共线时，的周长最短，再根据的面积为16，求出的长，进而求出的周长的最小值即可． 【详解】解：连接交于点，连接 ∵是等边三角形，点E为边的中点， ∴关于对称， ∴， ∴， 即：当三点共线时，的周长最短， ∵是等腰三角形，F为边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：10． 14．如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为 ． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的定义以及性质，由角平分线的定义可得出，，由三角形内角和定理和三角形外角的定义可得出，进而可得出． 【详解】解：∵、是的外角角平分线， ∴，， ∴ ∵， ∴ ， ∴ 故答案为：． 15．如图，已知在中，，，，平分，则的面积为 ．    【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查角平分线的性质定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； 作于，根据，证明为直角三角形，进而求得的长，根据面积法求解即可； 【详解】解：如图，作于， ，，， ， ， 平分，，， ，设， ， ， ， ， ； 故答案为： 16．如图， 是等边三角形， ，E是靠近点C的三等分点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得线段EF，当点D运动时，则AF最小值为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、线段问题(旋转综合题) 【分析】 过E作 于G，过A作 于P，过F作 于H，则 ，依据 ，即可得到 ，进而得到当点D运动时，点F与直线GH的距离为个单位，据此可得当 时，AF的最小值为 ． 【详解】 如图所示，过E作 于G，过A作 于P，过F作 于H，则， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵是等边三角形， ，E是靠近点C的三等分点， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ∴， ∴ ， ∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为个单位， ∴当 时，AF的最小值为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可得出点F的运动轨迹． 17．如图所示，在等边中，，点P与点Q分别从点B，C同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设点P与点Q运动的时间为．当时，点P与点Q运动 s后，可得到． 【答案】2或10或3.2 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、含30度角的直角三角形 【分析】根据题意，时P点刚好运动一周回到B点，而Q点只能运动到的中点.分情况讨论：①P在上，Q在上，且②P在上，Q在上，且；③P、Q都在上，且.根据“直角三角形中，的角所对的边等于斜边的一半”分别列方程求出t的值即可. 【详解】①如图1，P在上，Q在上，且， 解得       （图1） ②如图2，P在上，Q在上，且， 则 解得 （图2） ③如图3，P、Q都在上，且， 则 解得 （图3）   综上，点P与点Q运动的时间为2秒或3.2秒或10秒时可得到. 【点睛】本题是一个动点问题，主要考查了“直角三角形中，的角的边等于斜边的一半”这一性质.解题的关键是要运用数形结合和分类讨论的思想，防止漏解. 18．如图，在中，，，，点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为 . 【答案】 【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解 【分析】延长至F使，，可证，可得，当点E在直线绕点F逆时针旋转的直线上，当时，最小，求出即可． 【详解】解：延长至F使， ∵， ∴， ∴， ∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P在直线绕点F逆时针旋转的直线上，当时，最小； ∵， ∴， 当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、垂线段最短，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，发现点P的运动轨迹． 评卷人 得分 三、解答题 19．如图，已知和中，，，相交于点P． (1)证明：； (2)求的度数； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，三角形外角的性质等等，证明得到，是解题的关键； （1）利用证明即可证明； （2）根据等边对等角和三角形内角和定理得到，由全等三角形的性质得到，根据三角形外角的性质证明即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 20．如图，点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． （1）由得，由得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）先由，，根据三角形内角和定理求得，根据全等三角形的性质可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 21．在中，，，点为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． (1)如图1，探究线段、之间的数量关系； (2)如图2，当时，其它条件不变，试判断线段，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】 （1）证明，然后证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）同（1）方法证明，得出，，进而得出，在中，，等量代换即可得证． 【详解】（1） ，证明如下： 由题意得：，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） ， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 22．如图，P是上一点，于点D，于点E．F，G分别是上的点．．    (1)求证：是的平分线； (2)若，，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理、含30度角的直角三角形 【分析】（1）证明可得，进而根据角平分线的判定定理即可求解；掌握到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键； （2）根据角平分线的定义可得，根据，可得，则，最后根据含30度角的直角三角形的性质，即可解答．掌握30度角的直角边是斜边的一半是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵于点D，于点E， ∴：是的平分线 （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 23．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角、根据三线合一证明 【分析】（）连接， 由垂直平分线的性质得，可知，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可求证； （）设，则，根据三角形的外角性质可得，根据等边对等角得，最后通过三角形的内角和定理即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质，， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 24．已知：在中，，点在上，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为的中点，过点作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点，，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点分别作于点，于点，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）设，根据题意用表示出，根据三角形内角和定理求出，结合图形证明； （2）过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R，证明，得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论； （3）连接，证明，得到，求出AG，根据三角形的面积公式求出，得到答案． 【详解】（1）证明：如图1， 设，则，， 在中，∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， 在△AFG和△AFH中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 25．如图①，将沿着翻折，得到，与关于成轴对称，以此变换，如图②，中，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图③，点E，F分别在上，且，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，如图④作于点H，点M为上一点，且，连接并延长至点N，使，连接，，作于点K，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】（1）利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可判定； （2）证明和全等，再利用全等三角形的性质和外角和定理即可得到本题答案； （3）以为边在左侧作等边三角形，连接，证明和全等，再证明和全等，再设，，继而得，继而列式解出，再利用直角三角形三边关系即可得到本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴为等边三角形； （2）解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：以为边在左侧作等边三角形，连接， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∵ ∴． 【点睛】本题考查等边三角形判定，全等三角形判定及性质，外角和定理，翻折性质，直角三角形三边关系等，明确题意，添加合适辅助线，构造等边三角形是解题的关键． 26．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝kCA，延长BC至点D，使CD＝CA，AM⊥AB，且D，M在AB的异侧，AM＝AB，连接DM与AC交于点N． (1)如图1，当k＝1时，请直接写出＝ ，＝ ； (2)如图2，当0＜k＜1时，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并证明； (3)若AN＝mCN（m＞0且m≠1），请直接写出k的值为 ．（用含m的代数式表示） 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)或 【知识点】全等三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等边对等角证明 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解即可； （2）构型，再证明，根据全等三角形对应的边相等，即可推算出答案； （3）分两种情况进行讨论，结合（2）中的论证建立等式即可得到k的值． 【详解】（1）解：如图1，当k＝1时，, ∴， ∴； ∵∠ACB＝90°，∠DNB＝90°， ∴， ∴ ∵AM＝AB， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）如下图所示，延长 CA，过点 M 作 ME⊥ CA，垂足为 E， ∵， ∴， ∵， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当时，如图2所示， ∵AN＝mCN， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如下图所示，延长 CN，过点 M 作 ME⊥ CN，垂足为 E， ∵AN＝mCN， ∴， 根据（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题考查直角三角形、等腰三角形、全等三角形性质，解题的关键是构造一个三角形与△ABC全等． 27．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质，解题的关键在于作出辅助线构造出全等． （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点E作，交于点F，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论； （3）过点E作，交于点F，证为等边三角形，得，再证，则，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）过点作，交的延长线于点，如图3所示： 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$