专题05 二次根式单元过关【培优版】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

专题05 二次根式单元过关（培优版） 考试范围：第16章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根、利用二次根式的性质化简、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了立方根与算术平方根的性质，二次根式的性质，根据立方根与算术平方根，以及二次根式的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选： A． 2．若代数式有意义．则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式和分式有意义的条件可得，再求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 3．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的除法、二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式不能合并，原选项错误，不符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项正确，符合题意； 故选：D ． 4．下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，即可解答． 【详解】解：A、 ， 与不是同类二次根式，故A不符合题意； B、 ， 与是同类二次根式，故B符合题意； C、 ， 与不是同类二次根式，故C不符合题意； D、 ， 与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 5．把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式．解题的关键是掌握二次根式的性质并能够正确利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 6．的整数部分是，小数部分是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】无理数整数部分的有关计算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了无理数的估算和二次根式的性质，由于，由此可确定的整数部分x，接着确定小数部分y，然后代入所求代数式中恰好利用平方差公式计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴ 故选A． 7．下列各式与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，把各二次根式化简为最简二次根式，根据同类二次根式的定义即可判断求解，正确化简各二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，， ∴与是同类二次根式的是， 故选：． 8．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的加减运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了二次根式的性质，同底数幂的除法，积的乘方，依次根据二次根式的性质，同底数幂的除法，积的乘方法则运算求解即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项正确； D、，故该选项错误； 故选：C． 9．已知，则关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查点的坐标，非负数的性质和关于x轴的对称点坐标特征，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．根据非负数的性质列式求出a、b的值，结合关于x轴对称的对称点坐标特征，即可得解． 【详解】解：根据题意得，，， 解得，， 则的坐标为． ∴关于轴对称的点的坐标为， 故选A． 10．设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　) A．98 B．99 C．100 D．101 【答案】B 【知识点】二次根式的应用 【分析】由，代入数值，求出S=+++ …+=99+1-，由此能求出不大于S的最大整数为99． 【详解】∵ = =， ∴S=+++ …+ = = =100-， ∴不大于S的最大整数为99． 故选B. 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道是解答本题的基础． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．（1）当 时，有意义；（2）当 时，有意义； （3）当 时，有意义；（4）当 时，有意义． 【答案】 （1）, （2）， （3） （4）且 【分析】（1）根据二次根式有意义则被开方数大于等于0，且分母不为0，列式求解；（2）根据二次根式有意义则被开方数大于等于0，且分母不为0，结合绝对值是非负数，列式求解；（3）根据二次根式有意义则被开方数大于等于0，列式求解；（4）根据二次根式有意义则被开方数大于等于0，且分母不为0，列式求解. 【详解】解：（1）∵式子 有意义， ∴ ，且 ∴ ∴当时，有意义； （2）∵式子 有意义， ∴ ，且 ∴ ∴当时，有意义； （3）∵式子 有意义， ∴ ， ∴ ∴当时，有意义； （4）∵式子 有意义， ∴ ，且 ∴ ，且， ∴ ，且时，有意义. 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4） ，且 【点睛】本题考查代数式有意义的条件，式子有意义的条件常见情况有，分母不为0、偶次根式下被开方数大于或等于0，根据此条件列式求解是解答此题的重要途径. 12．已知实数、、满足等式，则 ． 【答案】5 【知识点】二次根式有意义的条件、已知式子的值，求代数式的值 【分析】先根据二次根式有意义的条件得到，进而得到，再列方程组求解即可． 【详解】由题可知， ∴， ∴， ∴， ∴， ①②得，， 解方程组得， ∴． 故答案为5． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，列方程组求解和代入求值，解题的关键是求出． 13．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】2 【知识点】求一个数的算术平方根、估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 14．对于任意的正数m，n定义运算为：，计算的结果为 ． 【答案】或 【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的混合运算 【分析】根据新定义把所求的式子化为二次根式运算，再进行二次根式的运算即可． 【详解】解：∵3＞2,8＜12， ∴ ． 故答案为：或 【点睛】本题考查了二次根式的计算，理解新定义，将式子转化为二次根式的计算，并正确进行二次根式计算是解题关键． 15．已知，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、提公因式法分解因式 【分析】本题考查了二次根式的运算，因式分解的应用，先计算、，再提取公因式得到，再把、的值代入进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 16．已知实数a，b，定义运算：a*b＝，若(a﹣2)*(a+1)＝1，则a＝ ． 【答案】3或1或﹣1 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】根据a+1＞a﹣2知(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，据此可得a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0，从而得出答案． 【详解】∵a+1＞a﹣2， ∴(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，即(a﹣2)a+1＝1， 则a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0， 解得，a＝3或a＝1或a＝﹣1， 故答案为：3或1或﹣1． 【点睛】本题属于新定义题型，考查了幂的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握1的任何次幂都等于1、-1的偶数次幂等于1、非零数的零指数幂等于1是解题的关键． 评卷人 得分 三、解答题 17．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，解决本题的关键是把二次根式化简，然后再合并同类二次根式． 首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可； 首先把二次根式化为最简二次根式，根据除以一个不为的数等于乘以这个数的到数，把除法转化为乘法，再利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算： (1)； (2)，． 【答案】(1)； (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算： （1）先把带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 19．（1）； （2）． 【答案】（1）；（2）8 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】（1）先将各个二次根式化为最简二次根式，再进行计算； （2）根据完全平方公式，进行计算即可． 【详解】（1）解： 原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握将二次根式化为最简二次根式的方法和步骤，二次根数混合运算的运算顺序和运算法则，以及完全平方公式． 20．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简 (2)若， ①求的值； ②直接写出代数式的值___________． 【答案】(1)5 (2)①5，②0 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、已知条件式，化简求值 【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值； （2）①先把a分母有理化可得到，从而得到，再把式子进行整理，将代入计算即可求出值；②将式子整理成，再代入，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ． 故答案为：0 【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，正确读懂例题，对二次根式进行化简是关键． 21．两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们你这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： (1)化简：_______；________； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)解方程： 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】(1)直接进行分母有理化即可； (2)通过变形得到，，比较分母的大小即可求出原来两个式子的大小关系； (3)设，再与原方程相乘得到，进而求出；再将与原方程相加得到，求出，最后检验即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解：∵，， 又∵， ∴， 即：． （3）解：设，与原方程相乘得： ， 整理得到：， 解之得， ∴，与原方程相加得： ， ， 即：， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴方程的根是11． 【点睛】本题考查了二次根式的四则运算，二次根式的分母有理化计算，熟练掌握运算法则，计算过程中细心即可． 22． 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的性质、实数与数轴 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质： （1）根据数轴可得，据此可得答案； （2）根据（1）所求先计算算术平方根，立方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ． 23．某校有一块形状为正方形的绿地，其边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道． (1)求通道的总面积； (2)若要在通道上铺设造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元（参考数据：）？ 【答案】(1) (2)元 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的应用 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算的实际应用， （1）由题意得正方形绿地的面积为，然后用正方形面积减去4个矩形的面积即可计算出通道的面积； （2）根据“通道上要铺上造价为8元平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费 根据题意求出通道的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，通道的总面积为： （2）由（1）小问可知：通道的总面积为： 购买地砖需要花费：（元） 24．阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ____________． ； (2)比较大小： ___________（填，，， 或中的一种）； (3)计算： ； (4)若，求 的值． 【答案】(1)， (2) (3)2021 (4)7 【知识点】运用平方差公式进行运算、分母有理化、已知条件式，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，平方差公式． （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将里的分母有理化，然后合并，再和相乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，的有理化因式是， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵，， 显然，即 又∵和都是正数， ∴， 故答案为：； （3）解：原式 ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题： (1)的有理化因式是 _______； (2)化去式子分母中的根号： _____．（直接写结果） (3) （填或） (4)利用你发现的规律计算下列式子的值： 【答案】（1）+1；（2）；（3）<；（4）2017. 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、二次根式的应用 【分析】（1）根据有理化因式的定义求解； （2）利用分母有理化计算； （3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到；  ，然后进行大小比较； （4）先根据规律化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）-1的有理化因式是+1； （2）； （3），， ∵ ∴> ∴<； （4）原式= = =2018-1 =2017． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次根式单元过关（培优版） 考试范围：第16章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若代数式有意义．则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．的整数部分是，小数部分是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．下列各式与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 8．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知，则关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　) A．98 B．99 C．100 D．101 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．（1）当 时，有意义；（2）当 时，有意义； （3）当 时，有意义；（4）当 时，有意义． 12．已知实数、、满足等式，则 ． 13．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 14．对于任意的正数m，n定义运算为：，计算的结果为 ． 15．已知，，则的值为 ． 16．已知实数a，b，定义运算：a*b＝，若(a﹣2)*(a+1)＝1，则a＝ ． 评卷人 得分 三、解答题 17．计算： (1)； (2) 18．计算： (1)； (2)，． 19．（1）； （2）． 20．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简 (2)若， ①求的值； ②直接写出代数式的值___________． 21．两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们你这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： (1)化简：_______；________； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)解方程： 22． 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 23．某校有一块形状为正方形的绿地，其边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道． (1)求通道的总面积； (2)若要在通道上铺设造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元（参考数据：）？ 24．阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ____________． ； (2)比较大小： ___________（填，，， 或中的一种）； (3)计算： ； (4)若，求 的值． 25．先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题： (1)的有理化因式是 _______； (2)化去式子分母中的根号： _____．（直接写结果） (3) （填或） (4)利用你发现的规律计算下列式子的值： 学科网（北京）股份有限公司 $$