2 第1课时 正比例-【小学教材全解】2025-2026学年六年级下册数学Word教案设计（人教版）

2正比例和反比例 第1课时　正比例 上课解决方案 教案设计 教学目标 知识与技能 1．理解相关联的量，认识成正比例的量，理解正比例的意义，能够根据正比例的意义判断两种量是否成正比例关系。 2．了解正比例关系图象的特征，能根据图象解决有关正比例的简单问题。 过程与方法 1．经历探索两种相关联的量的变化规律的过程，体会变中有不变的数学思想。 2．经历概括正比例意义的过程，发展学生的观察分析、判断推理和抽象概括的能力，初步渗透函数思想、抽象思想和模型思想。 情感、态度与价值观 1．培养学生动手操作、实验、观察等良好的学习态度和习惯。 2．感受数学的魅力，体会数学知识间的联系，感受数学知识在生活中的广泛应用。 重点难点 重点：认识成正比例的量，理解正比例的意义，并能判断两种量是否成正比例关系。 难点：掌握成正比例的量的变化规律及其特征。 课前准备 教师准备　PPT课件 学生准备　练习本 教学过程 板块一　复习铺垫，导入新知 1．激趣复习。 课件出示复习题。 复习题：商店里有两种包装的袜子，第一种是5双一包的，售价为25元，第二种是8双一包的，售价为32元。哪种袜子更便宜？ 2．课件出示思考提纲。 (1)怎么比较？ (2)根据哪个数量关系式进行计算？ 3．汇报分享。 预设 生1：先求出每种袜子的单价，再进行比较。 生2：因为总价＝单价×数量，所以单价＝总价÷数量。 生3：第一种袜子的单价是25÷5＝5(元)，第二种袜子的单价是32÷8＝4(元)，5>4，所以第二种袜子更便宜。 4．过渡：如果单价不变，商品的总价和数量的变化有什么规律呢？这节课，我们就来研究正比例。(板书课题：正比例) 操作指导 通过解决问题，使学生重温单价、数量与总价之间的关系，为接下来的学习奠定基础。 板块二　创设情境，探究新知 活动1　探究正比例的意义 1．学生自学，认识两种相关联的量。 课件出示教材43页例1。 文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。 数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 … 总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 … 导学提纲： (1)表中有哪两种量？ (2)总价是怎样随着数量的变化而变化的？ (3)学生自学并在组内交流。 (4)汇报分享。 预设 生1：表中有两种量：数量和总价。 生2：数量增加，总价也随着增加；数量减少，总价也随着减少。 生3：数量扩大到原来的几倍，总价也随着扩大到原来的几倍；数量缩小到原来的几分之几，总价也随着缩小到原来的几分之几。 2．认识相关联的量。 师：像这样，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量叫作相关联的量。 3．计算表中的数据，理解正比例的意义。 (1)课件出示探究提纲。 ①计算相应的总价与数量的比值，看看有什么规律。 ②说一说，每一组数据的比值表示什么？ ③尝试用式子把彩带的总价、数量、单价之间的关系表示出来。 ④组内交流你的发现，准备共享。 (2)汇报共享。 预设 生1：＝＝＝…＝3.5，比值相等。 生2：每组总价与相对应的数量的比的比值表示的都是彩带的单价，也就是彩带的单价是固定的。 生3：＝单价(一定)。 (3)明确成正比例的量及正比例的意义。 师：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用下面的式子表示：(板书) ＝k(一定) 4．走进生活，寻找主题。 (1)交流一下：你能举出生活中成正比例关系的例子吗？ (学生交流汇报) 预设 生1：如果速度一定，那么路程和时间成正比例关系。 生2：如果长方形的宽一定，那么长方形的面积和长成正比例关系。 (2)讨论：成正比例的量必须具备哪些条件？哪个条件是关键？ 预设 生1：两种量是相关联的量。 生2：一种量变化，另一种量也随着变化。 生3：两种量中相对应的两个数的比值一定，这是关键。 活动2　认识正比例关系图象 1．观察教材43页例1的统计表和教材44页的正比例关系图象，你发现了什么？ 预设 生1：我发现纵轴上的数据表示彩带的总价，横轴上的数据表示彩带的数量。 生2：横轴1小格表示1 m，纵轴1小格表示3.5元。 生3：每一个数量都对应着一个总价。 生4：每一个数量和对应的总价组成的一组数据在图象上都体现为一个点，这些点连起来是一条射线。 生5：正比例关系图象是一条射线。 …… 2．把数对(10，35)和(12，42)所在的点描出来，并和上面的图象连起来再延长，你还能发现什么？ (学生操作后发表自己的见解) 预设 生1：这两个点与上面的图象仍然能够连成一条射线。 生2：无论怎样延长，得到的都是射线。 3．从正比例关系图象中，你知道了什么？ 预设 生1：可以由一种量的值直接找到对应的另一种量的值。 生2：可以直观地看到成正比例的量的变化情况。 4．利用正比例关系图象解决问题。 (1)不计算，根据图象判断，如果买9 m彩带，总价是多少？49元能买多少米彩带？ 预设 生1：先在横轴上找到数量是9 m的点，再沿着此点所在的纵向格线与图象的交点水平向左，便可以找到与数量9 m相对应的纵轴上的数据31.5元。所以买9 m彩带，总价是31.5元。 生2：先在纵轴上找到总价是49元的点，再沿着此点所在的横向格线与图象的交点竖直向下，便可以找到与总价49元相对应的横轴上的数据14 m。所以49元能买14 m彩带。 (2)小明买的彩带的米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍？ 生：彩带的单价一定，彩带的总价和数量成正比例关系。小明买的彩带的米数是小丽的2倍，他花的钱也应该是小丽的2倍。 操作指导 先观察统计表，引导学生直观认识相关联的量，再结合表中的数据，引导学生发现总价与数量的比值一定，使学生理解正比例的意义，最后结合正比例关系图象，把数据与相应的点联系起来，根据图象，不用计算，可以由一种量的值直接找到对应的另一种量的值，使学生在解决问题的同时，感受数形结合思想。 板块三　巩固练习，内化提升 1．教材44页“做一做”。 一辆汽车行驶的时间和路程如下表。 时间/时 1 2 3 4 5 6 路程/km 80 160 240 320 400 480 (1)写出几组路程与相对应的时间的比，并比较比值的大小。 (2)说一说这个比值表示什么。 (3)汽车行驶的路程与时间成正比例关系吗？为什么？ (4)在图中描出表示路程和相对应时间的点，然后把它们按顺序连起来。估计一下行驶120 km大约要用多长时间。 (引导学生独立完成并汇报交流) 2．教材47页2题。 判断下面每题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。 (1)某杂志的单价一定，订阅的费用与订阅的数量。 (2)正方体的表面积与它的棱长。 (3)一个人的身高与他的年龄。 (4)小麦每公顷产量一定，小麦的总产量与公顷数。 (5)一本书的总页数一定，未读的页数与已读的页数。 先让学生独立判断，然后指名汇报重点说清理由。 3．教材47页4题。 已知y与x成正比例关系，在下表的空格中填写合适的数。 x 1 2 5 10 20 y 2.5 7.5 20 37.5 学生独立完成后，汇报并集体订正。 操作指导 在解答教材47页2题时，要注意让学生说清楚判断的依据，不能只停留在“一种量增加(或减少)，另一种量随之增加(或减少)”这样的“粗线条”关系下，而应该通过计算两种量中相对应数据的比值来加以判断。 板块四　全课总结，布置作业 1．全课总结。 通过本节课的学习，你有什么收获？ 预设 生1：我知道了正比例的意义。 生2：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用式子表示为＝k(一定)。 生3：我还知道正比例关系图象是一条射线，根据图象能解决有关正比例的问题。 2．布置作业。 教材47页1、3题。 板书设计 正比例 总价与数量的关系 数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 … 总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 … 单价/元 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 … 　　总价与数量是两种相关联的量，且＝单价(一定)。 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用下面的式子表示： ＝k（一定） 教学反思 反思本节课的教学效果，有以下两点值得肯定： 1.学习方式的一点点转变，带来学习效果的一大块进步。 要改变以往接受式的学习，就要多给学生探索、动手操作的时间与空间，让学生在探索中自主发现规律。实践表明，学生喜欢动手操作，喜欢有挑战性的问题，能够积极主动投入到学习中。在判断两种量是否成正比例关系的练习中，学生都能够用除法去验证两种量中相对应的两个数的比值是不是一定的，从而判断这两种量是否成正比例关系，可见教学效果非常好。 2.重视知识的形成过程，放慢学习速度，有助于对概念的理解。 本节课包含的难点很多，正比例的意义、正比例关系图象都是教学的难点，如果把这些知识都集中在一节课中，学生理解得不透彻，本节课把教学重点定位于正比例的意义，学生在知识的形成过程中，已经深刻理解了“相关联的量”“比值一定”的含义，为后面的学习扫清了障碍。 学科网（北京）股份有限公司 $$