精品解析：宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第六中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

青铜峡市第六中学2025年2月春季学情监测九年级 数学学科试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个人符合题目要求的） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 下列各组线段，能成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，那么的值等于（　　） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： … 0 1 … … 0 6 6 … 从表中可知，下列说法正确的有（ ）个 ①抛物线与轴的交点为；②抛物线与轴的交点为； ③抛物线的对称轴是：直线；④在对称轴右侧，随增大而减少． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一元二次方程的一个根为2，则 的值_____． 10. 若二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是_____． 11. 在某一时刻，测得身高为的小明的影长为，同时测得一幢高楼的影长为，则这幢高楼的高度为________ ． 12. 一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台长为米，一个主持人现在站在处，则他应至少再走______米才最理想． 13. 某钢铁厂今年1月份钢产量为5万吨，三月份钢产量为6.05万吨，每月的增长率相同，问2、3月份平均每月的增长率是_____． 14. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____． 15. A为反比例函数y＝图象上一点，AB垂直x轴于B点，若S△AOB＝4，则k的值为_____． 16. 如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若 ，，，则矩形的面积是____________． 三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分） 17. 用适当的方法解下列方程：． 18. 计算：． 19. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是 ． （1）画出关于x轴成轴对称的； （2）画出以点O为位似中心，位似比为1∶2的． 20. 如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号） 21. 为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，统计情况如下表． 学生 垃圾类别 厨余垃圾 √ √ √ √ √ √ √ √ 可回收垃圾 √ × √ × × √ √ √ 有害垃圾 × √ × √ √ × × √ 其他垃圾 × √ √ × × √ √ √ （1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率； （2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF． 四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 如图，已知矩形中，点分别是 上的点，，且． （1）求证：； （2）若，求． 24. 某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，求： （1）每千克应涨价多少元？ （2）该水果月销售（按每月30天）是多少千克？ 25. 直线 与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点 和点． （1）求直线的解析式； （2）若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 26. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题： （1）设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值； （2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市第六中学2025年2月春季学情监测九年级 数学学科试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个人符合题目要求的） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得解，熟练掌握因式分解法是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 故选：D． 2. 下列各组线段，能成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例线段．解题的关键是掌握比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，简称比例线段．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．据此解答即可． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴设b=5k，得出a=13k， 把a，b的值代入， 得：． 故选：D． 4. 在中，，那么的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，根据即可求解； 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， 故选：C 5. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式直接求解即可． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查求顶点坐标，熟记概念是关键． 6. 如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，由菱形的性质可得，从而得出，再结合计算即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7. 在同一坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象的知识，比例系数相等，那么这两个函数图象必有交点，进而根据一次函数与y轴的交点判断正确选项即可． 【详解】解：∵两个函数的比例系数均为k， ∴两个函数图象必有交点， 交y轴的正半轴，符合这两个条件的选项只有D． 故选：D． 8. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： … 0 1 … … 0 6 6 … 从表中可知，下列说法正确的有（ ）个 ①抛物线与轴的交点为；②抛物线与轴的交点为； ③抛物线的对称轴是：直线；④在对称轴右侧，随增大而减少． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据表格结合抛物线的对称性质，求出对称轴，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，当 时，，当时，， ∴抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为：， 故②③说法正确； ∵时，， ∴抛物线与轴的一个交点坐标为：， ∵对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，故①说法错误； 由表格可知，当时，随增大而增大， ∴当时，随增大而减小，故④说法正确； 故选C． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一元二次方程的一个根为2，则 的值_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键在于理解方程根的含义，即将已知的根值代入原方程，以此来解出方程中的未知参数．这种解题方法适用于已知方程部分解的情形，通过代入已知解，可以快速求解未知数的值，从而解出方程的完整解集或求解特定参数的值． 【详解】解：2是一元二次方程的一个根， ， 解得：． 故答案为：． 10. 若二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，要想求出图象与的交点，需要令时，即一元二次方程有两个不相等的解，即可解决此题． 【详解】解：由题意可知， ， 解得： 故答案为：． 11. 在某一时刻，测得身高为的小明的影长为，同时测得一幢高楼的影长为，则这幢高楼的高度为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由于光线是平行的，影长都在地面上，那么可得高楼与影长构成的三角形和身高和影长构成的三角形相似，利用对应边成比例可得楼高． 【详解】∵光线是平行的，影长都在地面上， ∴光线和影长组成的角相等；楼高和身高与影长构成的角均为直角， ∴高楼与影长构成的三角形和身高和影长构成的三角形相似， 设楼的高度为x米, 解得x=45. 故答案为45. 【点睛】考查相似三角形的应用，关键是掌握两组角对应相等的两个三角形相似.相似三角形的对应边成比例. 12. 一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台长为米，一个主持人现在站在处，则他应至少再走______米才最理想． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念，根据题意画出图形，再根据黄金比列出比例式即可求解，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键． 【详解】解：设一个主持人现在站在处，则它应至少再走米才最理想，则， 若是与的比例中项， 则，即， 解得； 若是与的比例中项， 则，即， 解得：； ∵， ∴他应至少再走米才最理想， 故答案为：． 13. 某钢铁厂今年1月份钢产量为5万吨，三月份钢产量为6.05万吨，每月的增长率相同，问2、3月份平均每月的增长率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设2、3月份平均每月的增长率是，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设2、3月份平均每月的增长率是， 由题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴2、3月份平均每月的增长率是， 故答案为：． 14. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高． 由四边形是菱形，， ，可求得此菱形的面积与的长，求得答案． 【详解】解：设与交于， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为：． 15. A为反比例函数y＝图象上一点，AB垂直x轴于B点，若S△AOB＝4，则k的值为_____． 【答案】±8 【解析】 【分析】在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变，从而可得出k的值． 【详解】解：由反比例函数的系数k的几何意义可得，＝4， 解得：k＝±8． 故答案为±8． 【点睛】此题考查了反比例函数的系数k的几何意义，属于基础题，关键是根据题意得出S△AOB=，难度一般． 16. 如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若 ，，，则矩形的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．根据把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，，易证得是等边三角形，继而可得中，，则可求得 的长，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案． 【详解】解：在矩形中， ∵， ∴， ∵把矩形沿翻折，点恰好落在边的处， ∴，，， ，， 在中， ∵ ∴是等边三角形， 在中， ∵， ∴，而， ∴， ∴，即， ∵ ，， ∴， ∴矩形的面积． 故答案为：． 三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分） 17. 用适当的方法解下列方程：． 【答案】 【解析】 【分析】将方程整理成一般式，再根据公式法求解可得． 【详解】方程可变形为： ， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力和相反数的性质，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值，再计算乘法与零指数幂，最后计算加减即可得解． 【详解】 ． 19. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是 ． （1）画出关于x轴成轴对称的； （2）画出以点O为位似中心，位似比为1∶2的． 【答案】（1）如图所示为所求； （2）如图所示为所求． 【解析】 【分析】（１）将的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可． （２）在同侧和对侧分别找到2OA=OA2，2OB=OB2，2OC=OC2所对应的A2，B2，C2的坐标，连接即可． 【详解】（1）由题意知：的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）， 则关于x轴成轴对称的的坐标为A1（1，-3），B1（4，-1），C1（1，-1）， 连接A1C1，A1B1，B1C1 得到． 如图所示为所求； （2）由题意知：位似中心是原点， 则分两种情况： 第一种，和在同一侧 则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2）， 连接各点，得． 第二种，在的对侧 A2（－2，－6），B2（－8，－2），C2（－2，－2）， 连接各点，得． 综上所述：如图所示为所求； 【点睛】本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键． 20. 如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号） 【答案】． 【解析】 【分析】根据题意得∠C=30°，∠ADB=60°，从而得到∠DAC=30°，进而判定AD=CD，得到CD=20米，在Rt△ADB中利用sin∠ADB求得AB的长即可． 【详解】解： ∵∠C=30°，∠ADB=60°， ∴∠DAC=30°， ∴AD=CD， ∵CD=20米， ∴AD=20米， 在Rt△ADB中，=sin∠ADB， ∴AB=AD×sin60°=20×=米． 21. 为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，统计情况如下表． 学生 垃圾类别 厨余垃圾 √ √ √ √ √ √ √ √ 可回收垃圾 √ × √ × × √ √ √ 有害垃圾 × √ × √ √ × × √ 其他垃圾 × √ √ × × √ √ √ （1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率； （2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果． 【答案】（1）8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为；（2）列表见解析. 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解可得； 抽取两人接受采访，故利用列表法可得所有等可能结果． 【详解】解：（1）8名学生中至少有三类垃圾投放正确的有5人，故至少有三类垃圾投放正确的概率为； （2）列表如下： 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF． 【答案】 证明：∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AB=CD， ∴∠DCB=∠FBE， 在△CED和△BEF中，， ∴△CED△BEF（ASA）， ∴CD=BF， ∴AB=BF． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质知AB=CD，再有中点定义得CE=BE，从而可以由ASA定理证明△CED△BEF，则CD=BF，故AB=BF． 【详解】略 【点睛】本题考查了以下内容：1．平行四边形的性质 2．三角形全等的判定定理． 四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 如图，已知矩形中，点分别是 上的点，，且． （1）求证：； （2）若，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，由垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； 由已知条件得到，由 ，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中，， ∴≌， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键． 24. 某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，求： （1）每千克应涨价多少元？ （2）该水果月销售（按每月30天）是多少千克？ 【答案】（1）每千克水果应涨价5元； （2）该水果月销售（按每月30天）是12000千克． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意列出方程是关键； （1）设每千克水果应涨价元，得出日销售量将减少千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可． （2）根据日销售量，计算即可． 【小问1详解】 解：设每千克水果应涨价x元， 依题意得方程：， 整理,得 解这个方程,得 要使顾客得到实惠，应取. 答：每千克水果应涨价5元. 【小问2详解】 由(1)可知日销售量， 千克， 答：该水果月销售(按每月30天)是12000千克. 25. 直线 与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． （1）求直线的解析式； （2）若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线 与反比例函数的图象分别交于点和点， ∴，， ∴，， ∴，， 将，代入 得， 解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：在中，当 时， ，即， 当时，，解得： ，即， ∵与相似， ∴当时，， ∵点是轴上一动点， ∴此时点的坐标为； 当时，， 设，则，，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 26. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题： （1）设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值； （2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由． 【答案】（1）S=， S不存在最大值，当x=2时，S有最小值，最小值为4；（2）当x=时，QP⊥DP． 【解析】 【分析】（1）可用x表示出AQ、BQ、BP、CP，从而可表示出S△ADQ、S△BPQ、S△PCD的面积，则可表示出S，再利用二次函数的增减性可求得是否有最大值，并能求得其最小值； （2）用x表示出BQ、BP、PC，当QP⊥DP时，可证明△BPQ∽△CDP，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，可求得x的值． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴BC=AD=4，CD=AB=3， 当运动x秒时，则AQ=x，BP=x， ∴BQ=AB﹣AQ=3﹣x，CP=BC﹣BP=4﹣x， ∴S△ADQ=AD•AQ=×4x=2x，S△BPQ=BQ•BP=（3﹣x）x=x﹣x2，S△PCD=PC•CD=•（4﹣x）•3=6﹣x， 又S矩形ABCD=AB•BC=3×4=12， ∴S=S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△PCD=12﹣2x﹣（x﹣x2）﹣（6﹣x）=x2﹣2x+6=（x﹣2）2+4， 即S=（x﹣2）2+4， ∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为x=2， ∴当0＜x＜2时，S随x的增大而减小，当2＜x≤3时，S随x的增大而增大， 又当x=0时，S=5，当S=3时，S=，但x的范围内取不到x=0， ∴S不存在最大值，当x=2时，S有最小值，最小值为4； （2）存在，理由如下： 由（1）可知BQ=3﹣x，BP=x，CP=4﹣x， 当QP⊥DP时，则∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC， ∴∠BPQ=∠PDC，且∠B=∠C， ∴△BPQ∽△PCD， ∴，即，解得x=（舍去）或x=， ∴当x=时，QP⊥DP． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $