精品解析：江西省宜丰中学等多校2024-2025学年高一下学期2月质量检测数学试题

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版必修第一册、必修第二册第一章第1～4节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列各角中，与2286°角终边相同的角是（ ） A. 36° B. 126° C. 216° D. 4. 已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A B. C. D. 7. 定义在上的函数满足，且对任意的，，都有，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数据，，，，，的平均数为，方差为，60%分位数为，极差为，由这组数据得到新数据，，，，，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 新数据平均数是 B. 新数据的方差是 C. 新数据的60%分位数是 D. 新数据的极差是 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间是 B. 函数与是同一个函数 C. 当时，幂函数的图象是一条直线 D. 存在正数M，N，使得 11. 已知函数的定义域为，当时，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则当时， C. 若，则的图象与函数的图象恰有3个交点 D. 若，，则的图象与直线在内的交点个数是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的周长为10cm，圆心角为3rad，则该扇形的面积是__________. 13. 已知函数（，）的值域为，则的取值范围是__________. 14. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某企业为了解员工对“工作任务安排”的认可程度，人力部门随机抽取了200名员工，根据这200名员工对“工作任务安排”的认可程度给出的评分（评分均在内），将所得数据分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求m的值，并估计这200名员工评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （2）为了了解部分员工对＂工作任务安排＂的认可程度较低的原因，人力部门从评分落在，，的员工中用分层抽样的方法随机抽取54人进行沟通，求抽取的评分落在内的人数. 16. 已知函数的定义域为集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 17. 甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛. （1）求甲恰好有2局比赛获胜的概率； （2）求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 18. 已知函数满足任意实数，，都有，且当时，. （1）求的值，并证明：是奇函数； （2）判断在上的单调性并证明； （3）若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，使得，其中，则称函数为定义域上的“阶函数”. （1）若函数，试判断是否为上的“4阶函数”？并说明理由； （2）若函数是定义域上“1阶函数”，求的取值范围； （3）若函数，若对任意的，函数恒为上的“阶函数”，求整数取值的集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版必修第一册、必修第二册第一章第1～4节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】应用全称命题的否定判断各个选项即可. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简求出集合，利用集合的并集运算即可求解. 【详解】由题意知， 所以. 故选：B. 3. 下列各角中，与2286°角终边相同的角是（ ） A. 36° B. 126° C. 216° D. 【答案】B 【解析】 【分析】由终边相同角的定义判断即可. 【详解】因为， 所以与角终边相同的角是126°. 故选：B. 4. 已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】若，又，所以，所以“”是“”的充分条件； 若，，，，满足，但是，所以“”不是“”的必要条件. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数及幂函数的单调性即可判断； 【详解】因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以，，所以. 故选：B. 6. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可得，的值，再利用诱导公式进行化简求值. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，， 所以. 故选：C 7. 定义在上的函数满足，且对任意的，，都有，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件，可知函数关于对称，由对任意都有，可知函数在时单调递增，然后根据单调性和对称性即可得到，化简即可求解． 【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称， 又对任意的，，都有， 所以在上单调递增， 若，则， 解得， 即的取值范围是. 故选：C. 8. 已知，且，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的运算化简，再利用基本不等式即可求得，由，可得，然后构造函数，根据函数的单调性可就得，化简得，由题设即可得出，从而得解. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，可取等号， 又因为，所以. 又因为，所以. 令， 易得在上单调递减， 又，所以， 即， 所以，即， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：利用基本不等式可推出，构造函数，利用函数的单调性比较的大小，从而推出是解题关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数据，，，，，的平均数为，方差为，60%分位数为，极差为，由这组数据得到新数据，，，，，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 新数据的平均数是 B. 新数据的方差是 C. 新数据的60%分位数是 D. 新数据的极差是 【答案】AC 【解析】 【分析】由平均数、方差、极差、百分位数概念逐个判断即可； 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B错误； 不妨设，所以，又，所以数据，，，，，的60%分位数为， 新数据，，，，，的60%分位数为，故C正确； 不妨设，所以，所以数据，，，，，的极差， 新数据，，，，，的极差为，故D错误. 故选：AC. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间是 B. 函数与是同一个函数 C. 当时，幂函数的图象是一条直线 D. 存在正数M，N，使得 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性判断A，根据相同函数的概念判断B，由幂函数的概念判断C，根据对数式运算即可判断D. 【详解】对于A选项，函数中， 在上单调递增，在上单调递减； 而函数在上单调递减. 根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是，故A正确； 因为的定义域为的解集，可得， 的定义域为的解集，可得， 定义域不一致，所以不是同一个函数，故B错误； 中，它的图象是直线上去掉点，不是直线，故C错误； 当时，，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数的定义域为，当时，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则当时， C. 若，则的图象与函数的图象恰有3个交点 D. 若，，则的图象与直线在内的交点个数是 【答案】ACD 【解析】 【分析】赋值法判定A；当时，，得到解析式即可判定B；图象法判定C；分情况讨论，结合图象判定D. 【详解】若，则，故A正确； 若，则当时，，所以，故B错误； 若，当，，则的图象与函数的图象如图所示： 由图可知，的图象与函数的图象恰有3个交点，故C正确； 当时，；当时，； 当时，，…，当时，； 当时，；当时，； 若，则，结合函数图象可知， 直线与的图象在区间，，…，均有两个交点，在上有一个交点， 所以的图象与直线在内的交点个数是，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的周长为10cm，圆心角为3rad，则该扇形的面积是__________. 【答案】6 【解析】 【分析】由扇形面积公式求解即可； 【详解】设扇形的半径为，则，解得， 所以该扇形的面积为. 故答案为：6 13. 已知函数（，）的值域为，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由时的值域，将问题转化成在上恒成立即可求解； 【详解】当时，，又函数的值域为， 所以在上恒成立，所以 解得，即的取值范围是. 故答案为： 14. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，进而代入可得，进而由基本不等式可得. 【详解】关于的不等式的解集为， 所以，，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某企业为了解员工对“工作任务安排”的认可程度，人力部门随机抽取了200名员工，根据这200名员工对“工作任务安排”的认可程度给出的评分（评分均在内），将所得数据分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求m的值，并估计这200名员工评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （2）为了了解部分员工对＂工作任务安排＂的认可程度较低的原因，人力部门从评分落在，，的员工中用分层抽样的方法随机抽取54人进行沟通，求抽取的评分落在内的人数. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据小矩形面积和为1得到关于m的方程，解出m值，再利用频率分布直方图中平均数公式即可； （2）求出各区间人数，再根据分层抽样的特点即可得到答案. 【小问1详解】 由题意知，解得. 估计这200名员工评分的平均数. 【小问2详解】 评分落在的人数： 评分落在的人数： 评分落在的人数： 所以评分落在区间，，的员工的人数比例为， 所以应抽取的评分落在内的人数为， 即应抽取的评分落在内的人数为24. 16. 已知函数的定义域为集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，求得集合，进而可求解； （2）由是的真子集.，分类讨论构造不等式求解即可； 【小问1详解】 由题意知，解得，所以； 若，则，所以. 【小问2详解】 若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集. 因为， 当时，，又是的真子集， 所以，又，所以； 当时，，此时是的真子集，符合题意； 当时，，又是的真子集， 所以，又，所以. 综上，的取值范围是. 17. 甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛. （1）求甲恰好有2局比赛获胜的概率； （2）求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)4局比赛中,对甲恰好有2局比赛获胜的情况分类分析，然后利用互斥事件和独立事件的概率计算公式,即可求得甲恰好有2局比赛获胜的概率; (2) 4局比赛中，甲获胜的局数比乙获胜的局数多的情况分析，然后利用互斥事件和独立事件的概率计算公式，即可求得甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 【小问1详解】 记“甲在第局获胜”为事件， 记“甲恰好有2局比赛获胜”为事件， 所以， 所以. 【小问2详解】 记“甲获胜的局数比乙获胜的局数多”为事件， 所以， 所以 . 即甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率为. 18. 已知函数满足任意的实数，，都有，且当时，. （1）求的值，并证明：是奇函数； （2）判断在上的单调性并证明； （3）若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），证明见解析 （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用特值法可求出的值，再利用奇函数的概念即可证明； （2）利用定义法证明函数的单调性即可； （3）题设不等式恒成立可化简为对任意的恒成立，再利用换元法求出函数的单调性和最值，利用二次函数的图象的单调性结合定义域即可求解. 【小问1详解】 因为函数满足任意的实数，，都有， 令，则，所以. 令，则， 所以，所以奇函数. 【小问2详解】 在上单调递增. 证明：设，且，所以， 又，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增. 【小问3详解】 关于的不等式对任意的恒成立，即关于的不等式对任意的恒成立， 由（2）可知在上单调递增， 令，，所以，， 令，， 当，即时，在上单调递增， 所以，解得， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意； 当，即时，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意. 综上，的取值范围是. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，使得，其中，则称函数为定义域上“阶函数”. （1）若函数，试判断是否为上的“4阶函数”？并说明理由； （2）若函数是定义域上的“1阶函数”，求的取值范围； （3）若函数，若对任意的，函数恒为上的“阶函数”，求整数取值的集合. 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由新函数的定义构造方程求解即可； （2）由新函数的定义构造方程得到在上有解，再结合函数定义域即可求解； （3）由函数新定义将问题转换成恒有解，通过讨论当，和求解即可； 【小问1详解】 若为上的“4阶函数”，则关于的方程在上有解，即， 所以，即，解得， 所以为上的“4阶函数”. 【小问2详解】 由题意知在上恒成立，所以，解得； 因为函数是上的“1阶函数”， 所以关于的方程在上有解， 即，所以， 所以在上有解， 又，所以，又， 所以，即的取值范围是. 【小问3详解】 因为函数恒为上的“k阶函数”， 所以关于的方程恒有解，即， 所以. 当，即时，解得，所以满足题意； 当，即时，对任意的恒成立， 即对任意的恒成立. 令，是关于的一次函数且在上单调递增， 所以，即， 解得且， 又，所以的值为，，，. 综上，整数取值的集合为. 【点睛】关键点点睛：第三问通过定义转换成恒有解是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$