第2章 专题3 利用相交线、平行线的性质求角度-【初中学霸创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学习题课件(北师大版2024)

第二章　相交线与平行线 专题3　利用相交线、平行线的性质求角度 1 目 录 类型1 直接求角度 类型2 平行线+角平分线模型中求角度 类型3 借助学具的特征求角度 类型4 折叠问题中角度的计算 类型5 动点问题中角度的计算 2 典例1 如图，直线l1，l2，l3交于一点，l2⊥l3，l4⫽l1。若∠1=50°，求∠2的度数。 类型1 直接求角度 【规范解答】如图所示。 因为l2⊥l3，所以∠3=90°。 因为l4∥l1，∠1=50°， 所以∠4=∠3+∠1=90°+50°=140°， 所以∠2=∠4=140°。 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5 3 ⋮⋮ 变式训练 解：（1）因为CO⊥AB， 所以∠AOC=∠BOC=90°。 因为∠1=28°，所以∠AOD= ∠AOC+∠1=118°。 因为OE平分∠AOD， 所以∠AOE=∠AOD=59°。 1. （河南平顶山汝州市期中）如图，点O在直线AB上，CO⊥AB，∠1=28°，OE 是∠AOD 的平分线，OF⊥OE。 （1）求∠AOE的度数； （2）找出图中与∠BOF 互补的角，并求出∠BOF补角的度数。 （2）因为OF⊥OE，CO⊥AB， 所以∠EOF=90°，∠AOC=90°， 所以∠AOF=∠EOF-∠AOE=31°，∠EOC=∠AOC-∠AOE=31°，所以∠AOF=∠EOC。 因为∠AOF+∠BOF=180°，所以与∠BOF 互补的角有∠AOF，∠EOC，且∠AOF=∠EOC=31°。 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5 4 类型2 平行线+角平分线模型中求角度 【答案】110° 【解析】因为∠1=40°，所以∠BME=180°-∠1=140°。 因为MN平分∠EMB，所以∠BMN=∠BME=70°。 因为AB∥CD， 所以∠BMN+∠2=180°， 所以∠2=180°-∠BMN=110°。 典例2 如图，AB⫽CD，∠1=40°，MN平分∠EMB，则∠2的度数是______。 110° 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5 5 ⋮⋮ 变式训练 【解析】因为AB∥CD，∠1=68°， 所以∠BEF=∠1=68°。 因为EC平分∠BEF，所以∠GEB=∠BEF=34°。 因为AB∥CD，所以∠EGF=∠GEB=34°。故选A。 2. 如图，AB⫽CD，直线l分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF交直线CD于点G。若∠1=68°，则∠EGF的度数为 （　　） 　 A. 34°　　　　　　　　　B. 36°　 　C. 38°　　　　　　　　　D. 68° A 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5 6 类型3 借助学具的特征求角度 【规范解答】如图，过点O作OF⫽AB。 因为AB⫽CD，所以AB⫽OF⫽CD， 所以∠BOF=∠B，∠DOF=∠D。 因为∠B=30°，∠C=∠D=45°， 所以∠BOD=∠BOF+∠DOF=∠B+∠D=75°。 典例3 将一副直角三角尺按照如图所示的方式摆放，其中∠A=60°，∠B=30°，∠C=∠D=45°。 若AB⫽CD，求∠BOD的度数。 F 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5 7 ⋮⋮ 变式训练 3. 已知EF⫽BC，BE⫽CF，现将直角三角尺OAB（∠OAB=45°）和直角三角尺OCD（∠OCD=30°）按如图所示放置，直角顶点O重合，点A，D在EF上。已知∠1+∠2=30°，∠3∶∠4=3∶2，则∠DAB的度数为 （　　） A. 85° B. 90° C. 95° D. 100° 【解析】因为BE∥CF，所以∠CBE+∠BCF=180°， 所以∠1+45°+∠3+∠4+30°+∠2=180°。 因为∠1+∠2=70°，所以∠3+∠4=35°。 因为∠3∶∠4=4∶3，所以∠3=∠4，所以∠4+∠4=35°， 解得∠4=15°，所以∠3=20°，所以∠ABC=∠ABO+∠3=65°。 因为EF∥BC，所以∠ABC+∠DAB=180°，所以∠DAB=115°。故选B。 B 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5 8 类型4 折叠问题中角度的计算 【解析】由题意得AD⫽BC， 所以∠DEF=∠1，∠DEG+∠EGF=180°。 由折叠可得∠DEF=∠GEF， 因为∠BGD′=x°，所以∠EGF=x°， 所以∠DEF=∠1=∠DEG=（180°-∠EGF）=（180°-x°）=90°- x°。故选B。 典例4 如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠BGD'=x°，则∠1的度数为 （　　） A. （90-x）°　　　B. °　　C. （120-x）° 　D. ° B 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5 ⋮⋮ 变式训练 【解析】因为MD⫽NG⫽BC， 所以∠M=∠MEF，∠N=∠NFE。 因为ME⫽FG，所以∠MEF=∠GFC。 由翻折可知，∠B=∠M，∠GFC=∠NFG，∠N=∠C。 所以∠NFE=∠ACB，∠NFG=∠GFC=∠B， 所以∠NFE+∠GFC+∠NFG=∠ACB+2∠ABC=180°。 因为∠ABC+∠ACB=α，所以∠NFE=∠ACB=2α-180°。 4.如图，在三角形ABC中，∠ABC+∠ACB=α，按图进行翻折，使MD⫽NG⫽BC，ME⫽FG，则∠NFE的度数是_________。 2α-180° 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5 类型5 动点问题中角度的计算 【规范解答】当点P在线段AB上时，如图1所示。 因为PE⫽BC，∠ABC=84°，所以∠APE=∠ABC=84°。 因为∠CPE=20°，所以∠APC=∠APE+∠CPE=84°+20°=104°。 当点P在线段AB的延长线上时，如图2所示。 因为PE⫽BC，∠ABC=84°， 所以∠APE=∠ABC=84°。因为∠CPE=20°， 所以∠APC=∠APE-∠CPE=84°-20°=64°。 综上所述，∠APC的度数为104°或64°。 典例5 【新趋势 动点探究题】如图，P是射线AB上一动点，连接CP，过点P作PE⫽BC，若∠ABC=84°，∠CPE=20°，求∠APC的度数。 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5 ⋮⋮ 变式训练 5. 【新趋势 动点探究题】如图，AC⫽BD，BC平分∠ABD，设∠ACB为α，点E是射线BC上的一个动点，若∠BAE∶∠CAE=3∶1，则∠CAE的度数为________________（用含α的代数式表示）。 【解析】因为AC⫽BD， 所以∠CBD=∠ACB=α，∠CAB+∠ABD=180°。 因为BC平分∠ABD，所以∠ABD=2∠CBD=2α， 所以∠CAB=180°-2α。 ①当点E在直线AC上方时，如图， 因为∠BAE∶∠CAE=3∶1， 所以∠CAB∶∠CAE=2∶1， 所以∠CAB=2∠CAE=180°-2α， 所以∠CAE=90°-α。 45°-α或90°-α 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5 12 ②当点E在直线AC下方时，如图， 因为∠BAE∶∠CAE=3∶1， 所以∠CAE=∠CAB=45°-α。 综上，∠CAE的度数为45°- α或90°- α。 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例5 变式5 绿卡图书—走向成功的通行证 14 $$