第二章 相交线与平行线（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024）

第二章 相交线与平行线（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一﹑选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各图中，与是对顶角的是（    ） A．B．C． D． 2．如图，直线DE过点A，且．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，下列不能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 5．若和互为余角， 与互补，则等于(　　) A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（　　） A．同位角相等 B．一条直线有无数条平行线 C．在同一平面内，两条不相交的线段是平行线 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 7．绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，与平行，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 9．如图，ABCD，∠α＝（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 10．如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是 ． 12．如图，将一副三角板的直角顶点重叠在一起，，，那么，此结论得出的依据是 ． 13．一副三角板如图放置，，，，则 ． 14．下列4个命题， ①在同一平面内，、、是直线，，，则； ②在同一平面内，、、是直线，，，则； ③在同一平面内，、、是直线，，，则； ④在同一平面内，、、是直线，，，则． 正确的有 （填写序号）． 15．已知：直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线段，且，Q是a，b之间且在折线段左侧的一点，如图，若的一边与的夹角为，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系是 ． 16．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 3、 解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）如图，是的角平分线，，交于点E． (1)求证：． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 18．（8分）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 19．（6分）已知：如图，平分，，求证：．    证明平分（已知） ______________（__________________） （已知） _________（__________________） （__________________） 20．（8分）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．（10分）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 22．（10分）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图1．已知，点E在直线、之间，探究与、之间的关系． 解：过点E作． ，， ， ，， ， ． 【学以致用】 (1)如图1，当，时，_______； (2)①如图2，已知，若，，求出的度数． ②如图3，在①的条件下，若、分别平分和，求的度数． 23．（10分）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点．    【提出问题】 小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，的数量关系为______；如图③，已知，，则______°．（不需要写解答过程）    【拓广提升】 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线分别平分和交直线于点与内部的一条射线交字点，若，求的度数． 24．（12分）如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.      (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据. 证明：过点P作直线， （已作）， （______）， 又，（已知） ______，（______） ， ______. (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点. ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，求的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______. 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 相交线与平行线（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一﹑选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各图中，与是对顶角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，准确识图，熟练掌握对顶角的定义是解决问题的关键，根据对顶角的定义对各选项中的与逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意； B．图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意； C．图中的与符合对顶角的定义，它们是对顶角，故选项符合题意； D．图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，直线DE过点A，且．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行同旁内角互补求出∠BAE，即可求出∠2． 【详解】∵， ∴， ∴， 即：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟记平行线的基本性质是解题关键． 3．如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．依据线段的性质以及垂线段的性质，即可得出结论． 【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的方案是B选项． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 4．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，下列不能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的判定方法分别分析得出答案． 【详解】解：A、当∠C=∠3时，DE∥AC，故不符合题意； B、当∠1+∠4=180°时，DE∥AC，故不符合题意； C、当∠1=∠AFE时，DE∥AC，故不符合题意； D、当∠1+∠2=180°时，EF∥BC，不能判定DE∥AC，故符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键． 5．若和互为余角， 与互补，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查余角和补角，先根据与互补以及的度数求出的度数，然后根据和互为余角即可求出的度数． 【详解】解：与互补，， ， 和互为余角， ． 故选：C． 6．下列说法正确的是（　　） A．同位角相等 B．一条直线有无数条平行线 C．在同一平面内，两条不相交的线段是平行线 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【分析】根据同位角的定义、平行线的性质和判定，平行公理逐个判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原说法错误，故此选项不符合题意； B、一条直线有无数条平行线，原说法正确，故此选项符合题意； C、在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，原说法错误，故此选项不符合题意； D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了同位角的定义、平行线的性质和判定，平行公理，掌握同位角的定义、平行线的性质和判定，平行公理是解题的关键． 7．绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，与平行，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，由可得出，再根据，可得出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8．一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的应用．首先根据作出图形，利用平行线的判定性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相同，故本选项符合题意； B、第一次向右拐，第二次向左拐，如图所示， 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意； C、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项不符合题意； D、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意． 故选：A． 9．如图，ABCD，∠α＝（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】D 【分析】过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和平行公理推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 10．如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点E作，过点F作，根据平行线的性质可求得，，，所以，再证明，即可代入得到答案． 【详解】过点E作，过点F作， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是 ． 【答案】60°/60度 【分析】首先根据补角的定义求得这个角的度数，然后根据余角的定义即可求出这个角的余角． 【详解】解：∵一个角的补角是150°， ∴这个角是180°−150°＝30°， ∴这个角的余角是90°−30°＝60°． 故答案是：60°． 【点睛】此题主要考查的是补角和余角的定义，属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为90°；互为补角的两个角的和为180°． 12．如图，将一副三角板的直角顶点重叠在一起，，，那么，此结论得出的依据是 ． 【答案】同角的余角相等 【分析】此题考查了余角的性质，，，那么，即可得到依据是同角的余角相等． 【详解】解：将一副三角板的直角顶点重叠在一起，，，那么，此结论得出的依据是同角的余角相等， 故答案为：同角的余角相等 13．一副三角板如图放置，，，，则 ． 【答案】105 【分析】根据平行性的性质可得，根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ，， ， ， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键． 14．下列4个命题， ①在同一平面内，、、是直线，，，则； ②在同一平面内，、、是直线，，，则； ③在同一平面内，、、是直线，，，则； ④在同一平面内，、、是直线，，，则． 正确的有 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据平行线的判定定理和推论，分析判断即可． 【详解】①在同一平面内，，，是直线，且，则，平行于同一直线的两直线平行，故原命题正确，符合题意． ②在同一平面内，，，是直线，且，，则，故原命题错误，不符合题意． ③在同一平面内，，，是直线，且，则，故原命题正确，符合题意． ④在同一平面内，，，是直线，且，，则，故原命题正确，符合题意． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，准确分析判断是解题的关键． 15．已知：直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线段，且，Q是a，b之间且在折线段左侧的一点，如图，若的一边与的夹角为，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，先过点Q作，得出，再结合，得出，即可作答． 【详解】解：如图：过点Q作 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 16．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 【答案】 减少 10 【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 3、 解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）如图，是的角平分线，，交于点E． (1)求证：． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)相等，见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论； （2）利用平行线的性质可得， 则AD= AE，从而有CD = BE，由(1) 得，，可知BE = DE，等量代换即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（1）得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键． 18．（8分）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角相等、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先由角平分线的定义可得，再根据对顶角相等即可得解； （2）设，，根据题意列出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ； （2）解：∵， ∴设，， 根据题意得， 解得， ∴， ∴， ． 19．（6分）已知：如图，平分，，求证：．    证明平分（已知） ______________（__________________） （已知） _________（__________________） （__________________） 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线的定义，根据角平分线的定义，等量代换，平行线的判定方法，进行作答即可． 【详解】证明平分（已知） ∴（角平分线的定义） （已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行）． 20．（8分）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由同位角相等，两直线平行可得，从而得到，可求得，即可判定； （2）结合（1）可得，，从而可求的度数． 本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ． 由（1）可得：，， ，， ． 21．（10分）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行的判定及性质；过点向左作，过点向右作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得 ，，由角的和差得，即可求解；掌握平行的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点向左作，过点向右作， 则， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 22．（10分）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图1．已知，点E在直线、之间，探究与、之间的关系． 解：过点E作． ，， ， ，， ， ． 【学以致用】 (1)如图1，当，时，_______； (2)①如图2，已知，若，，求出的度数． ②如图3，在①的条件下，若、分别平分和，求的度数． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点，构造平行线． （1）根据，计算即可； （2）①过点E作，根据平行线的判定和性质，进行求解即可；②先利用角平分线的定义求出，的度数，进而利用（1）中的结论，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题可知， ，， ； 故答案为：． （2）①过点E作，如图：   ，， ， ，， 又，， ， ， ． ②，平分， ， ，平分， ， 由（1）可知：． 23．（10分）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点．    【提出问题】 小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，的数量关系为______；如图③，已知，，则______°．（不需要写解答过程）    【拓广提升】 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线分别平分和交直线于点与内部的一条射线交字点，若，求的度数． 【答案】解决问题：[探究一]；[探究二]，145；[拓广提升] 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出，由此结论来解决问题． 探究一：由平行线的性质推出，得到即可解决问题； 探究二：如图②，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到； 如图③，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到； 如图④，由探究一的结论得到而，推出又，得到． 【详解】解：[探究一]：，理由如下： 如图①，      ∵， ∴， ∴， ∴． [探究二]如图②，   ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 如图③，延长交于L，    ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． [拓广提升]∵射线分别平分和， ∴， 如图④， 由探究一的结论得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 24．（12分）如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.      (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据. 证明：过点P作直线， （已作）， （______）， 又，（已知） ______，（______） ， ______. (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点. ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，求的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______. 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两直线平行； (2)①，理由见解析；② (3) 【分析】（1）过点P作直线，根据平行线的性质即可得到答案； （2）①分别过点P，Q作，，由平行线的性质和角平分线的定义得，进而即可求解；②结合平角的定义和即可得到答案； （3）过点P、H作，可得，进而即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点作直线， （已作）， （两直线平行，内错角相等） 又，（已知）， ，（平行于同一直线的两直线平行）， ， ； （2）解：①. 理由：如图1，分别过点P，Q作，. 的平分线与的平分线交于点， ，. . 同（1）可证得， ②，， . 又，    （3）过点P、H作， ∵， ∴， ∴， ∴，即 故答案为：    【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$