1.3乘法公式（第3课时完全平方公式）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

北师大版（2024）七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.3乘法公式 第3课时 完全平方公式 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平方公式. 2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单计算和推理. 3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想. 情景导入 多项式乘多项式的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加 . 1 2 3 4 (a+b)(m+n) = am 1 2 3 4 +an +bm +bn 新知探究 思考 计算下列各式: (1) (m+3)2； (2) (2+3x)2. 解：(1) (m+3)2=(m+3)(m+3) =m2+3m+3m+9 =m2+6m+9； (2) (2+3x)2=(2+3x)(2+3x) =4+6x+6x+9x2 =4+12x+9x2. 对比结果和原式你有什么发现? (m+3)2=m2+6m+9； (2+3x)2=4+12x+9x2. 两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数的积的2倍. 6 你能再举一些类似的例子吗？ 例如： (x-2)2 =(x-2)(x-2) =x2-2x-2x+4 =x2-4x+4. (x+y)2 =(x+y)(x+y) =x2+xy+xy+y2 =x2+2xy+y2； 7 完全平方公式：两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的2倍. (a+b) ²=a²+2ab+b² 8 思考交流 （1）你能用下图解释这一公式吗? b a b a b a b a = + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 （2）如何计算(a – b)2 ?你是怎样做的? (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2 1 (a – b)2 = [a+(– b)]2 = a2 +2a(– b)+(– b)2 = a2 – 2ab + b2 2 用自己的语言叙述这一公式！ 两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。 尝试思考 b a b a (a – b)2 = – + a2 ab ab b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 请你设计一个图形解释这一公式。 概念归纳 完全平方公式 （a+b)2= . a2+2ab+b2 （a-b)2= . a2-2ab+b2 简记为： “首平方，尾平方， 积的2倍放中间” 公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。 完全平方公式 平方差公式 整式乘法公式 例题讲解 例1 利用完全平方公式计算： （1）(2x – 3)2； （2）(4x + 5y)2； （3）(mn – a)2 解：（1） (2x–3)2 = (2x)2–2·2x·3+32 （2）(4x + 5y )2 = (4x)2 + 2·4x·5y + (5y)2 = 16x2 + 40xy + 25y2 ； （3） (mn – a)2 = (mn)2 – 2·mn·a + a2 = m2n2 – 2amn + a2。 (a -b)2 a2 - 2ab + b2 = 4x2–12x+9； 回顾反思 回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪些感悟? 图形可以直观解释乘法公式的合理性，有助于理解乘法公式的结构特征，而乘法公式又是对图形的抽象. 随堂练习 1. 计算： （1）( x + 2y )2； （2）( 2xy – x )2； （3）(– 3m + n)2 。 解：（1） ( x + 2y )2 = x2 +2xy + 4y2； （2） ( 2xy – x )2 = 4x2y2 – x2y + x2； （3） (– 3m + n)2 = 9m2 – 6mn + n2 。 2. 已知 a+b=-3，求 2a2+4ab+2b2 的值。 解：2a2+4ab+2b2 =2 (a2+2ab+b2 ) =2 (a+b) 2 =2 ×(-3)2 =18 如果将 (a + b)n（n 为非负整数）的每一项按字母 a 的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 阅读思考 (a + b)0 = 1，它只有一项，系数为 1； (a + b)1 = a + b，它有两项，系数分别是 1， 1； (a + b)2 = a2 + 2ab + b2，它有三项，系数分别是 1， 2， 1； (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3，它有四项，系数分别是 1， 3， 3， 1. 如果将上述每个式子的各项系数排成下表， 那么你能发现什么规律? 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 按照这个规律可以继续将这个表写下去： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… 杨辉三角 分层练习 基础题 1.计算 等于( ) D A. B. C. D. 2.下列各式中计算正确的是( ) A A. B. C. D. 3.[2024南通模拟] 如果多项式是完全平方式，那么常数 的 值为( ) A A.1 B. C.4 D. 4.【3题变式】[2024廉江期末] 已知 是一个完全平方 式，则 的值是( ) D A.8 B. C.16 D. 23 5. 教材P20思考·交流 如图是利用割补法求图形面积 的示意图，下列等式中与之相对应的是( ) A A. B. C. D. 24 6.[2024合肥模拟] 若，则 的值为 ____. 7.计算： （1） ； 【解】 . （2） ； . 25 （3） ； . （4） . . 26 8.已知，，求， 的值. 【解】因为， ， 所以， ， 所以两式相加，可得 ， 两式相减，可得 . 27 综合应用题 9.若，则， 的值分别是( ) A A.， B.， C.， D.， 10.已知，则 的值是( ) C A.4 B.16 C.14 D.15 11.已知,，则 ___。 4 12.【11题变式】设，，，若 ， ，则 __。 13.（新视角结论开放题）若将多项式 加上一个单项式 成为一个多项式的平方，则这个单项式可以是____________ ________.（只要写出符合条件的一个即可） （答案不唯一） 29 14.观察规律并填空： （1）， ， ___ ； 2 （2）若，求 的值. 【解】因为 , 所以 . 30 15.发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶 数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 验证 如， 为偶数，请把10的一半表 示为两个正整数的平方和. 【解】 , . 31 探究 设“发现”中的两个已知正整数为, ，请说明“发现”中 的结论正确. . 因为，为正整数，所以是整数，所以 是偶数，所以 一定是偶数， 该偶数的一半为 ，所 以“发现”中的结论正确. 32 创新拓展题 16.（新考法数形结合法）如图①所示的是一个长为，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成4个小长方形，然后按 图②的方式拼成一个正方形. （1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积； 方法1：________________； 方法2：_________； 34 （2）由（1）写出，， 这三个代数式之 间的等量关系：__________________________； 35 （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 36 ①已知,,求 的值； 【解】因为, ,所以 . ②已知,,求 的值. 由已知得 .因为 ,所以,所以 . 37 课堂小结 完全平方公式 结果是三项，不要漏掉中间项 (a±b)2=a2±2ab+b2 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍 符号表示 注意 内容 中间项的符号要正确 图形变形前后阴影部分面积相等 几何解释 $$