精品解析：安徽省淮北市第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

淮北一中2024-2025学年高一下学期入学考试 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案. 答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “函数在上单调”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 4. 已知，， ，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A B. C. D. 6. 已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ） A 10 B. 12 C. 14 D. 18 7. 已知函数的定义域为，，当时，恒有.若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递增 D. 该图象向右平移个单位长度可得的图象 11. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 为函数的一个周期 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 声压级（单位：）与声压（单位：）的关系为，其中为人在空气中能听到的最低声压．已知飞机发动机声音的声压级比人正常说话声音的声压级大，则______． 13. 若关于不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为________. 14. 已知函数．若对，均有或，且使得成立，则实数a的取值范围为 _______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 设集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． （1）求关于的函数解析式； （2）记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 17. 已知函数． （1）判断在区间上单调性，并用定义进行证明； （2）设，若，使得，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）求函数的解析式和最小正周期； （2）若，求的值； （3）若对于任意均有恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数其中，2，，n，，使得，则称为的“n重覆盖函数”，其中，，，为一组关于的“覆盖点”. （1）判断是否为的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值;如果不是，请说明理由； （2）若为，的“3重覆盖函数”，求实数a的取值范围； （3）若，为的“n重覆盖函数”，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 淮北一中2024-2025学年高一下学期入学考试 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案. 答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集、补集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，. 故选：B 2. “函数在上单调”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合复合函数的单调性，求出在上单调时的范围，结合选项找出该范围的一个充分不必要条件，即得答案. 【详解】因为函数在不可能单调递减， 所以在上单调等价于： ①在上单调递增，②， 所以，解得， 结合选项可知是的充分不必要条件， 故选：B. 3. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解． 【详解】不等式可化为， 当时，不等式为，不满足对任意的恒成立； 当时，，图象开口向下，不满足题意， 所以，且，所以， 所以，且，； 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：C 4. 已知，， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用对数的运算性质以及换底公式，指数幂的单调性进行化简求解即可； 【详解】因为指数幂函数在上单调递减， 所以，则， ，则， 因为，所以，则. 所以. 故选：D 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，通过两角差余弦公式求解即可； 【详解】因为，所以，因为，则角在第四象限， 所以， 则， 故选：C． 6. 已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点和对称轴列式求得，根据单调区间得，根据正弦函数性质依次判断和，即可得解. 【详解】由题意知，，所以，又因为，所以. 当时，，因为，所以，此时， 经检验，在上不单调，舍去； 当时，，因为，所以，此时， 经检验，在上单调递减. 故选：C. 7. 已知函数定义域为，，当时，恒有.若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析条件可得为奇函数且为上的增函数，根据奇函数可得，结合自变量的大小可得答案. 【详解】令，则，∴. 令，则，∴，故为奇函数. 当时，， ∵当时，恒有， ∴，即， ∴为上的增函数. ∵，且， ∴，即. 故选：B. 8. 已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，利用正弦型函数的对称性得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得所求代数式的取值范围. 【详解】如下图所示： 令，解得， 故当时，对称轴为直线，则， 因为，所以，， 又因为， ， 由可得，则，则， 所以，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于结合正弦型函数的对称性以及函数解析式将所求代数式转化为关于某个量的函数，求出变量范围后，转化为值域问题求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，用作差法比较大小即可；对于B，举特殊情况即可判断；对于C，用作差法比较即可；对于D，用作差法比较即可. 【详解】对于A，因为，所以，即，即，故，故A正确； 对于B，若则，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，，故，故D错误． 故选：AC． 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递增 D. 该图象向右平移个单位长度可得的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】观察图象确定函数的最大值，最小值求，确定函数的周期求，由求，由此可得函数解析式，然后由正弦函数的性质逐项判断即可； 【详解】由图函数的最大值为，最小值为，所以， 函数的周期，所以， 又，所以，则， 因为，所以，故， 对于A，，所以函数的图象关于对称，故A正确； 对于B，当时，， 所以函数的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，若，则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故C正确； 对于D，该图象向右平移个单位长度可得的图象，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 为函数的一个周期 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由递推关系取，可得判断A，取可得结合偶函数定义判断B，取可得，由此可得结合周期函数定义求周期，判断C，求，结合周期性求判断D. 【详解】由， 取，可得， 又，所以，A正确； 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 由，取可得， 所以，所以为偶函数，B正确； 由， 取可得， 所以， 所以即，所以， 所以不是函数的一个周期，为函数的一个周期，C错误； 由， 取，可得，故， 取，可得，故， 取，可得，故， 取，可得，故， 取，可得，故， 所以，， 所以 ， 所以，D正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 声压级（单位：）与声压（单位：）的关系为，其中为人在空气中能听到的最低声压．已知飞机发动机声音的声压级比人正常说话声音的声压级大，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用对数的运算性质结合关系求即可. 【详解】由题设， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 若关于不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】对分类讨论，结合二次不等式与二次函数的关系即可分类求解. 【详解】若，则不等式为，不符合题意，舍去， 若，则不等式为，解得，符合题意， 若或，此时，为开口向上的二次函数， 此时不等式的解不为空集，符合题意， 若，此时，为开口向下的二次函数， 要使不等式的解不为空集，需要满足，所以， 综上可得或， 故答案为： 14. 已知函数．若对，均有或，且使得成立，则实数a的取值范围为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题分对，均有或和存在当时，两部分进行求解． 【详解】首先分析对，均有或，令，解得， 故当时需要， 易得二次函数的对称轴为， 故需确保且右边根， ,解得， ，解得， 综上，①； 再分析存在当时，， 故存在，， 故左边根，解得②， 综合①②取交集，可得， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合. （1）若，求； （2）若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次不等式可得，再求解即可； （2）由题意可，再根据求解即可. 【小问1详解】 当时，由解得，即． 由解得，即， 或，则或 【小问2详解】 由题意可是的真子集， ， ， 由（1）知， 解得，即实数的取值范围是. 16. 如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． （1）求关于的函数解析式； （2）记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 【答案】（1）， （2），栅栏长度的最小值为40米 【解析】 【分析】（1）根据扇形的面积公式列方程得出关于的函数解析式； （2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据均值不等式可得的最小值. 【小问1详解】 利用扇形的面积公式可得 所以， 【小问2详解】 依题意可得弧长，弧长，所以栅栏的长度 将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米． 17. 已知函数． （1）判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； （2）设，若，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可； （2）由函数单调性求出函数值域，若，使得可转化为值域的包含关系，建立不等式求解即可. 【小问1详解】 在区间上单调递增． 证明如下：且， 则． 因，所以， 所以，即， 所以在区间上单调递增． 【小问2详解】 由（1）知当时，， 即当时，的值域． 因为在时为减函数，所以 若，使得，则， 即，解得， 故实数的取值范围为． 18. 已知函数． （1）求函数的解析式和最小正周期； （2）若，求的值； （3）若对于任意均有恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简，然后利用周期的公式计算； （2）根据得到，然后利用同角三角函数基本关系和和差公式计算； （3）将对于任意均有恒成立转化为于任意均有恒成立，结合函数单调性即可得到的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得： 可得函数的最小正周期. 【小问2详解】 因为，， 所以. 因为，所以， 所以， 所以 . 【小问3详解】 由（1）知，函数， 可得asin， 因为对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 又因为， 因为，可得， 又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减， 可得，则， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第三问参变分离可得对于任意均有恒成立，利用二倍角公式整理可得，这里对倍角公式的理解不能局限于书本的与. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数其中，2，，n，，使得，则称为的“n重覆盖函数”，其中，，，为一组关于的“覆盖点”. （1）判断是否为的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值;如果不是，请说明理由； （2）若为，的“3重覆盖函数”，求实数a的取值范围； （3）若，为的“n重覆盖函数”，求的最小值. 【答案】（1）是， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用题中给出的“n重覆盖函数”的定义分析判断即可；\ （2）利用数形结合列不等式求解即可； （3）根据“n重覆盖函数”的定义可得与在上有交点，然后根据方程根的分布和韦达定理可得，，代入化简，再利用基本不等式求出最值即可 【小问1详解】 由， 得对任意，， 令，解得， 所以存在在2个不同的实数，，使得， 是的“n重覆盖函数”，且 【小问2详解】 由，，所以 为的“3重覆盖函数”， 故与，恒有三个交点， 由图象可知，所以，可得 【小问3详解】 由已知与在上有交点， 设方程的两根为，，其中必有一根在上，不妨设， 则，，  ， 令，，则， 当且仅当，时取到等号. 此时，，，满足条件. 【点睛】关键点点睛：若对任意，恰好存在n个不同的实数其中，2，，n，，使得，由于不是同一个变量，所以只需要的值域，再用这个值域中的值去判定中的有几个满足，从而可得为的“n重覆盖函数”.然后可利用数形结合，根据n的值来确定参数的范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$