第08讲 三角形中位线及矩形的性质-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

第08讲 三角形的中位线及矩形的性质 课程标准 学习目标 三角形的中位线定理 矩形的性质 1.会运用三角形中位线定理进行简单的推理和计算； 2.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系； 3.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题. 知识点01 三角形的中位线定理 (1)定义:连接三角形两边 的线段叫作三角形的中位线. (2)定理:三角形的中位线 于第三边,并且等于第三边的 . 【即学即练1】 如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，平分，交于点，则的长是（   ） A． B．1 C． D．2 【即学即练2】 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A，B间的距离是 ． 规律总结：三角形的中位线定理包含两层含义 (1)中位线与第三边的位置关系: (2)中位线与第三边的数量关系 知识点02 矩形的定义 定义:有一个角是 的平行四边形叫作矩形。 【即学即练1】 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（   ） A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度变大 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 知识点03 矩形的性质 (1)矩形的四个角都是直角,对边 ,对角线互相 . (2)矩形的对角线 . (3)矩形是中心对称图形,对角线的 是它的对称中心. (4)矩形是轴对称图形,过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴. 【即学即练1】 如图，四边形是矩形，点F在线段的延长线上，．求证：． 规律总结：矩形的性质的应用 (1)证明线段平行、相等或倍分的关系 (2)证明角相等或求角的度数. 题型01 与三角形中位线有关的求解问题 【典例1】如图，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为 ． 【变式1】如图，在四边形中，分别是的中点，若，则四边形的周长为 ． 【变式2】在中，点D，E分别是，的中点，若，，则的度数为 ． 【变式3】如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，点C，F分别是，的中点，若，则的长为 ． 题型02 与三角形中位线有关的证明 【典例1】[教材呈现] （1）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明． 如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． 求证：． [结论应用] （2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：． （3）若（2）中的，则的大小为多少？ 【变式1】如图，在中，垂直平分，延长至点，使，连接． (1)求证：是直角三角形； (2)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)证明（2）中得到点是的中点． 【变式2】如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． (1)求证：与互相平分； (2)若，求的长． 题型03 三角形中位线的实际应用 【典例1】如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测的中点为D，E， 测得， 则A，B之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出DE的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和．分别取，的中点D，E，测得D，E两点间的距离为，则A，B两点间的距离为 ． 题型04 矩形性质理解 【典例1】如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（    ） A． B． C．若，则是等边三角形 D． 【变式1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，将矩形纸片沿虚线按箭头方向向右对折，再将对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再把纸片打开，打开后的展开图为（   ） A． B． C． D． 【变式3】矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直 C．是轴对称图形 D．对角线相等 题型05 利用矩形的性质求解 【典例1】如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】长方形中，阴影部分也是长方形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，在矩形中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N； ②作直线交于点E，若，，对角线的长为 ． 【变式4】如图，在矩形中，对角线，相交于点O．若，则的度数为 ． 【变式5】如图，矩形中，，，R是的中点，P是上的动点，E、F分别是、的中点，那么线段的长是 ． 题型06 利用矩形的性质证明 【典例1】在学习了矩形的相关知识后，小外同学进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积有特殊关系． 提出猜想，小外同学猜想这2个三角形面积相等． 方案构思，小外与同学进行充分讨论，发现两个三角形底边相同，如果能够证明高也是相等即可得面积相等，根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 数学建模：如图，在矩形中，为对角线上一点，连接、，过作于点． 合作探究：（1）请你用尺规过点作的垂线交于点（不写作法，保留作图痕迹）． 严密推理：（2）已知：矩形，于点，于点．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴，___________①___________． ∴． ∵___________②___________，， ∴，． ∴． ∴． ∴___________③___________． 而，___________④___________． ∴． 所以过矩形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等；进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：___________⑤___________． 【变式1】如图，在矩形中，点M是上一点，连接，且，于点N，求证：． 【变式2】在学习了平行四边形的相关知识后，小渝进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形，可利用平行四边形的判定方法得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空：    (1)如图，在平行四边形中，平分交于点E．用尺规作的角平分线交点F（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ，∴． ∵平分，∴， 同理可得：， ∴ ， ∴，∴ ． ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ． 【变式3】如图，四边形是矩形（），的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)是的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 题型07 矩形与折叠问题 【典例1】如图，在矩形中，，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处，则的长为（   ） A．2 B．7 C．18 D． 【变式1】将一个矩形纸片沿所在的直线折叠成如图所示的图形，点均在原矩形的边上，且点在同一边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的小值为 ． 【变式3】如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 一、单选题 1．如图，在中，，平分，点E是边上的中点，连接，若，则的长为（　　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，已知的周长为38，对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为15，则的长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．23 3．如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，则为（　　） A．3 B． C．4 D． 4．如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（   ）    A． B．3 C． D．4 5．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 6．如图，已知等边三角形被一矩形所截，被截成三等分，且．若，则四边形的周长为（    ） A．30 B．27 C．24 D．21 7．如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为24，则的长度为（   ） A．3.5 B． C．2 D．3 8．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点．若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D．3 9．如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 10．如图，中，，，将沿对角线折叠，使点A落在平面上处．若，则长为（   ） A．8 B． C． D． 二、填空题 11．如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条、的端点O连在一起，点C、D分别是、的中点．经测得，则该工件内槽宽的长为 ． 12．如图，在矩形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，且，若，则的长为 ． 13．如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为 ． 14．如图，已知平行四边形中，E为的中点，，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ．     15．如图，在矩形中，，，，将沿翻折，使点A落在点处，作射线，交的延长线于点F，则的长为 ． 16．如图，矩形中，，，点P、E分别在上，则的最小值是 ． 17．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 三、解答题 18．在中，，将沿折叠得到，连接、、，平分，过点作于点． (1)求证：； (2)若，为的中点，求的度数 19．如图，在平行四边形中，点分别是的中点，点，在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接交于点，若，，求的长． 20．如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 21．如图，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在边上，连接，，交于点H． (1)求证： ①平分； ②H是的中点； (2)连接，若平分，，求的长． 22．如图所示，在矩形中，对角线，相交于点O，于点E，且．若，求的长． 23．如图1，在长方形中，，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)在图2中，当点P从点B开始运动，点Q从点C出发，以秒的速度沿向点D运动，当点P到达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，问是否存在这样的v值，使得与以点P、Q、C三点为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 24．综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，，，E为边上的一点，连接．将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F． 问题解决 （1）如图1，当点F落在边上时． ①求的长． ②如图2，连接交于点G，过点B作于点N，交于点M，试判断，与的数量关系，并说明理由． 深入探究 （2）当点F落在上方时，交于点P，交于点Q，连接．若为等腰三角形，请直接写出的长． 25．在数学活动课上，李老师以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)李老师让同学们将两张完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①，试判断的形状，并说明理由； (2)李老师让同学们继续深入探究，在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C顺时针旋转一定的角度，当点D恰好落在对角线上时，与相交于点M，连接，若，，如图②，求的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 三角形的中位线及矩形的性质 课程标准 学习目标 三角形的中位线定理 矩形的性质 1.会运用三角形中位线定理进行简单的推理和计算； 2.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系； 3.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题. 知识点01 三角形的中位线定理 (1)定义:连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. (2)定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 【即学即练1】 如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，平分，交于点，则的长是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质．用勾股定理可算出，然后根据中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”可得，，易证得，然后计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵D，E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【即学即练2】 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A，B间的距离是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴A、B分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：13． 规律总结：三角形的中位线定理包含两层含义 (1)中位线与第三边的位置关系: (2)中位线与第三边的数量关系 知识点02 矩形的定义 定义:有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 【即学即练1】 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（   ） A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度变大 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、四边形的不稳定性，弄清图形变化前后的变量和不变量是解答此题的关键．根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【详解】解：A、因为矩形框架向右扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，故A正确，不符合题意； B、向右扭动框架，的长度变大，故B正确，不符合题意； C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C错误，符合题意； D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，不符合题意， 故选：C． 知识点03 矩形的性质 (1)矩形的四个角都是直角,对边相等,对角线互相平分. (2)矩形的对角线相等. (3)矩形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心. (4)矩形是轴对称图形,过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴. 【即学即练1】 如图，四边形是矩形，点F在线段的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到，，再证明，得到，最后由线段的和差关系即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ， ， 即． 规律总结：矩形的性质的应用 (1)证明线段平行、相等或倍分的关系 (2)证明角相等或求角的度数. 题型01 与三角形中位线有关的求解问题 【典例1】如图，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，最后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：∵为的中位线，， ∴，点是的中点， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式1】如图，在四边形中，分别是的中点，若，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线定理．熟练掌握中位线定理，是解题的关键．利用中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，分别是的中点， ∴，， ∴四边形的周长为； 故答案为：． 【变式2】在中，点D，E分别是，的中点，若，，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形内角和定理，平行线的性质，熟记三角形中位线平行于第三边是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质求出，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：点，分别是，的中点， 是的中位线， ∴ ， ， 故答案为：． 【变式3】如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，点C，F分别是，的中点，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，先证为的中位线得，，进而得，，由此可证和全等，从而得，据此可得的长，熟练掌握三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：点，分别是，的中点， 为的中位线， ，， ，， 在和中， ， ， ． 故答案为：6． 题型02 与三角形中位线有关的证明 【典例1】[教材呈现] （1）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明． 如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． 求证：． [结论应用] （2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：． （3）若（2）中的，则的大小为多少？ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了三角形中位线定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，熟知三角形中位数定理是解题的关键． （1）可得分别为的中位线，则，则，即可求证； （2）根据三角形中位线定理得到，则，同理，再根据即可证明； （3）先由三角形中位线定理得到，则，由三角形外角的性质得到，再由，得到，，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． ∴分别为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：P是的中点，M是中点， 是的中位线， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ； （3）解：， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】如图，在中，垂直平分，延长至点，使，连接． (1)求证：是直角三角形； (2)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)证明（2）中得到点是的中点． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）利用三角形中位线定理证明即可； （2）根据作一个角等于已知角的步骤作出图形； （3）利用等腰三角形三线合一的性质证明． 【详解】（1）证明∶∵垂直平分线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：图形如图所示 （3）证明∶∵垂直平分线段 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是的中点 【点睛】本题考查作图一基本作图，线段的垂直平分线的性质，平行线的性质，三角形的中位线的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式2】如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． (1)求证：与互相平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识； （1）利用三角形中位线定理可得出， ，结合，得出，可证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可得证； （2）先证明为等边三角形，可得，再利用平行四边形性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接，．    ∵点E，F分别为、的中点， ∴， ． 又∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴与互相平分． （2）解：在中，，E为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴． 题型03 三角形中位线的实际应用 【典例1】如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测的中点为D，E， 测得， 则A，B之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，根据D，E是的中点，即是的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解． 【详解】解：∵D，E是的中点，即是的中位线， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 【变式1】如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出DE的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用．由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：B． 【变式2】如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和．分别取，的中点D，E，测得D，E两点间的距离为，则A，B两点间的距离为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．根据三角形的中位线定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，点分别为，的中点，且， ∴， 故答案为：40． 题型04 矩形性质理解 【典例1】如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（    ） A． B． C．若，则是等边三角形 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定，矩形的四个角都是直角，对边平行且相等，对角线互相平分且相等，根据矩形的性质和等边三角形的判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，故A、B说法正确，不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故C正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且平分，对边平行且相等，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； B、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等且平分，故，原结论一定正确，符合题意； D、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； 故选C． 【变式2】如图，将矩形纸片沿虚线按箭头方向向右对折，再将对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再把纸片打开，打开后的展开图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查矩形的折叠，解题的关键是熟知折叠的特点.根据第三个图形是三角形的特点及折叠的性质即可判断. 【详解】∵第三个图形是三角形， ∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A， ∵再展开可知两个短边正对着， ∴选择答案D，排除B与C． 故选D． 【变式3】矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直 C．是轴对称图形 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质：对边相等且平行，四个角都是直角，对角线平分且相等，矩形既是中心对称图形也是轴对称图形，根据性质判断即可． 【详解】解：矩形不一定具有的性质是对角线垂直． 故选：B． 题型05 利用矩形的性质求解 【典例1】如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等． 连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即． 故选：A． 【变式1】如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由于矩形的面积与矩形的面积都等于2个的面积，即可得两个矩形的面积关系． 【详解】∵，， ∴． 故选：B． 【变式2】长方形中，阴影部分也是长方形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由矩形性质求面积，长方形的面积两个阴影小长方形的面积阴影小长方形的公共正方形的面积，即可求解；能根据图形列出面积是解题关键． 【详解】解：由题意得 空白部分的面积为； 故选：A． 【变式3】如图，在矩形中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N； ②作直线交于点E，若，，对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图以及矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．根据题意利用基本作图即可判断垂直平分，则，然后利用勾股定理先计算出，再计算出即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中， ． 故答案为：． 【变式4】如图，在矩形中，对角线，相交于点O．若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了矩形性质、三角形外角性质、等腰三角形的性质等知识点．根据矩形性质可得，推出，根据三角形外角性质求出，然后代入相关数据即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式5】如图，矩形中，，，R是的中点，P是上的动点，E、F分别是、的中点，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、中位线的性质及勾股定理，检验学生对矩形性质和中位线性质的理解及对勾股定理的掌握情况．根据矩形的性质，利用勾股定理即可求出得长度，在根据三角形中位线的性质即可求得答案． 【详解】如图，连接， 四边形是矩形，，， ，． R是的中点， ， ， 、分别是、的中点， 为的中位线， ， 故答案为：． 题型06 利用矩形的性质证明 【典例1】在学习了矩形的相关知识后，小外同学进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积有特殊关系． 提出猜想，小外同学猜想这2个三角形面积相等． 方案构思，小外与同学进行充分讨论，发现两个三角形底边相同，如果能够证明高也是相等即可得面积相等，根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 数学建模：如图，在矩形中，为对角线上一点，连接、，过作于点． 合作探究：（1）请你用尺规过点作的垂线交于点（不写作法，保留作图痕迹）． 严密推理：（2）已知：矩形，于点，于点．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴，___________①___________． ∴． ∵___________②___________，， ∴，． ∴． ∴． ∴___________③___________． 而，___________④___________． ∴． 所以过矩形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等；进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：___________⑤___________． 【答案】（1）图见解析，（2），，，，过平行四边形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，矩形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据尺规作图——作垂线，即可解答； （2）根据矩形的性质得出，．则，进而得出，则，根据三角形的面积公式，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）∵四边形是矩形， ∴，． ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∴． ∴． 而，． ∴． 所以过矩形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等；进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过平行四边形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等． 故答案为： ，，，，过平行四边形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等． 【变式1】如图，在矩形中，点M是上一点，连接，且，于点N，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质及全等三角形的判定和性质，正确找出三角形全等的条件是解题的关键． 根据四边形是矩形，可得，，进而可得，即以证明，可得结论． 【详解】证明：∵四边形是矩形，， ，， ． 在和中， ，，， ， ． 【变式2】在学习了平行四边形的相关知识后，小渝进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形，可利用平行四边形的判定方法得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空：    (1)如图，在平行四边形中，平分交于点E．用尺规作的角平分线交点F（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ，∴． ∵平分，∴， 同理可得：， ∴ ， ∴，∴ ． ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ． 【答案】(1)图见解析 (2)；；；作矩形的一组对角的角平分线，与矩形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形 【分析】（1）按照要求作出图形即可； （2）由平行四边形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，由平分可得，同理可得，于是可得，进而可得，由同位角相等两直线平行可得，由平行四边形的判定可得结论；进一步思考，如果四边形是矩形，同法可证，于是可得结论． 【详解】（1）解：如图，用尺规作的角平分线交点；    （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， 同理可得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， 进一步思考，如果四边形是矩形，同法可证， ， 四边形是平行四边形， 结论如下： 作矩形的一组对角的角平分线，与矩形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形， 故答案为：；；；作矩形的一组对角的角平分线，与矩形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），平行四边形的判定与性质，两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算，同位角相等两直线平行等知识点，熟练掌握作角平分线（尺规作图）的方法以及平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【变式3】如图，四边形是矩形（），的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)是的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，再证明，等量代换即可得出答案； （2）依题意补全图形，线段之间的数量关系是：．连接，先证明，再证明，进而得出，根据，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：线段，，之间的数量关系是：． 证明：连接，，． 在中，是的中点， ， ，， ， ，， ∵， ， ，， ， ， ， ． 题型07 矩形与折叠问题 【典例1】如图，在矩形中，，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处，则的长为（   ） A．2 B．7 C．18 D． 【答案】D 【分析】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，求得，并且根据勾股定理正确地列出方程是解题的关键． 由矩形的性质得，，，由折叠得，，则，所以，由勾股定理得，求得，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 把沿折叠，点C落在边上的F处， ，， ，， ， ， ， 解得：， 故选：D． 【变式1】将一个矩形纸片沿所在的直线折叠成如图所示的图形，点均在原矩形的边上，且点在同一边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质；根据矩形的性质和折叠的性质可得，，进而可得，即可得解． 【详解】解：如图所示： 将一个矩形纸片沿所在的直线折叠成如图所示的图形， ，， ， ， ， ， 故选：． 【变式2】在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形与折叠、勾股定理、线段最值问题，由题意得，点A、点P关于对称，可得当点B、P、F三点共线时，的最小，此时，点P在对角线上，利用勾股定理求得，由折叠的性质得，，再利用求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，， 则当，即点B、P、F三点共线时，的最小， 此时，点P在对角线上， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由折叠的性质及题意易得，则有是等边三角形，进而可得；设，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得可得，则求得，，进而求得，根据对称性得到，当、Q、E共线时取等号，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，，， ∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕， ∴，，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， 则在中，， ∴， ∴， ∵在中，，又 ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵点Q是折痕上的一个动点，点A与点关于对称， ∴连接，则， ∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式的运算、含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最短路径是解题的关键． 一、单选题 1．如图，在中，，平分，点E是边上的中点，连接，若，则的长为（　　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一以及中位线的判定与性质，先根据，平分，得出，结合点E是边上的中点，得出为的中位线，即可作答． 【详解】解：在中，， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴是的中线， 即点D是的中点， 点E是边上的中点， 为的中位线， 故选：C 2．如图，已知的周长为38，对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为15，则的长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．23 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 由平行四边形的性质及周长为38得到 ，由点E是的中点得到是的中位线，，则，由的周长为15得到，求出，即可得到长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，其周长为38，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵的周长为15， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，则为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线四边形的性质，三角形中位线定理，关键是证明是的中位线．连接交于O，由平行四边形的性质推出，，证明是的中位线，得到，求出，得到，求出，从而． 【详解】解：连接交于O，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（   ）    A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．连接交于O，由平行四边形的性质得到，，进而，利用三角形的中位线性质求解即可． 【详解】接：连接交于O，    ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：D． 5．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 6．如图，已知等边三角形被一矩形所截，被截成三等分，且．若，则四边形的周长为（    ） A．30 B．27 C．24 D．21 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质，由可得，从而推出和是等边三角形，结合三等分得到，再求出四边形各边长，最后求周长即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵被一矩形所截，被截成三等分， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的周长为：． 故选：D． 7．如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为24，则的长度为（   ） A．3.5 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，由矩形的性质可得，，，求出，再由勾股定理结合折叠的性质可得，，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵在长方形中，， ∴，，， ∵的面积为24， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， 故选：B． 8．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点．若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】此题重点考查矩形的性质、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键．由矩形的性质得，则，由于点得，而，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，对角线与相交于点， ， ， 于点， ， ∵， ， 故选：A． 9．如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查胡不归问题，矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 10．如图，中，，，将沿对角线折叠，使点A落在平面上处．若，则长为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形和折叠得到，，，过作于，过作于，再证明，得到，，即可得到，四边形是矩形，，设，则，，再在和中，利用勾股定理得到，代入列方程求解即可． 【详解】解：过作于，过作于，则， ∵中，，， ∴，，， ∴， ∵将沿对角线折叠， ∴，，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 二、填空题 11．如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条、的端点O连在一起，点C、D分别是、的中点．经测得，则该工件内槽宽的长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解答本题的关键要熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 根据点C，D分别是、的中点，可知是的中位线，根据三角形中位线定理可知，从而可求槽宽的长． 【详解】∵把两根钢条、的端点连在一起，点C，D分别是、的中点，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：11． 12．如图，在矩形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，且，若，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，根据矩形对角线相等且互相平分得到，再根据题意推出，则垂直平分，据此可得，则． 【详解】解：∵在矩形中，对角线、交于点O， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 13．如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为 ． 【答案】72 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 本题考查了三角形中位线定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵E，F分别为的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：72． 14．如图，已知平行四边形中，E为的中点，，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ．     【答案】 【分析】取的中点，连接，证明，得到，求出，由的中点，F为的中点，得到，，证明，则，即可求出． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵E为的中点， ∴ ∵， ∴ ∵的中点，F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，构造中位线是解题的关键． 15．如图，在矩形中，，，，将沿翻折，使点A落在点处，作射线，交的延长线于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等角对等边，勾股定理以及折叠的性质等知识，根据折叠有：，，，，再证明，继而可得，，在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵根据折叠有：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．如图，矩形中，，，点P、E分别在上，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，将线段沿翻折得到线段，过点作于，连接．证明，推出，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，将线段沿翻折得到线段，过点作于，连接． ，， 由翻折可知，，，， ， 又， 的最小值就是线段的长， 在中，，，， 则， ∴， ∴， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题． 17．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最短．解题的关键是理解两点之间线段最短，以及点到直线垂线段最短，添加辅助线构造特殊三角形． 过点作于点，连接过点作于点，，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，进而得到当当三点共线时，的值最小为的长，再根据点到直线，垂线段最短，得到当时， 最小，即点与点重合，再利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴， ∴， ∵将长方形沿对角线折叠，得， ∴， ∴， 过点作于点，连接过点作于点，则：， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵点到直线，垂线段最短， ∴当时， 最小，即点与点重合， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：的最小值为． 三、解答题 18．在中，，将沿折叠得到，连接、、，平分，过点作于点． (1)求证：； (2)若，为的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】本题主要考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键； （1）首先推导出，进而利用证得，进而得证； 首先推导出，进而推导出，，由折 叠的性质得出，进而得到． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 在和中 ， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵是沿折叠得到， ∴， ∴； 19．如图，在平行四边形中，点分别是的中点，点，在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键． （1）证明，得，则，得，即可得出结论； （2）先由平行四边形的性质得出，再证出，可得是的中位线，然后利用中位线定理可得的长度． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点G，H分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接交于点O，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 20．如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据三角形的中位线的性质即可得证； 【详解】（1）∵是的中点， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 （2）∵及分别是的中点， ∴是的中位线 ∴ 21．如图，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在边上，连接，，交于点H． (1)求证： ①平分； ②H是的中点； (2)连接，若平分，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)1 【分析】（）旋转性质得，从而有，由根据矩形的性质可得，通过平行线的性质即可求解； 过点作于点，证明，由性质可得，再证明即可； （）作于点，由（）得出，，再通过全等三角形性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，      由旋转性质得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 如图，过点作于点，      由①可知， 又∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点为中点； （2）解：如图，作于点，      由()可知，， ∴，， ∵，平分， ∴ ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定及勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 22．如图所示，在矩形中，对角线，相交于点O，于点E，且．若，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查矩形的性质及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，先根据四边形是矩形，得到，，结合得到，再根据得到，即可得到答案， 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 23．如图1，在长方形中，，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)在图2中，当点P从点B开始运动，点Q从点C出发，以秒的速度沿向点D运动，当点P到达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，问是否存在这样的v值，使得与以点P、Q、C三点为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时， (3)或 【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）当时，，根据三角形全等的条件可得当时，再加上可证明； （3）此题主要分两种情况①当时，；当，时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，， 则， 故答案为； （2）结论：当时，， 理由：∵当时，， ， ∵在和中， ； （3）①当时，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时与以点P、Q、C三点为顶点的三角形全等． 24．综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，，，E为边上的一点，连接．将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F． 问题解决 （1）如图1，当点F落在边上时． ①求的长． ②如图2，连接交于点G，过点B作于点N，交于点M，试判断，与的数量关系，并说明理由． 深入探究 （2）当点F落在上方时，交于点P，交于点Q，连接．若为等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②，见解析；（2） 【分析】（1）①根据矩形的性质得，和，由折叠得，即可利用勾股定理求得和，设，则，再次利用勾股定理即可求得； ②根据得和，由折叠得，，即可判定，有，结合等腰三角形的性质得，即； （2）根据题意可知只有满足题意，证明，有，设，则，，，，，在中利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）①∵四边形为矩形，，， ∴，，， 由折叠得，， 在中，， 则， 设，则， 在中，，即，解得， 则； ②，理由如下， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 则； （2）如图， ∵点F落在上方，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，，，，， 在中，，即，解得， 则． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉折叠的性质和全等三角形的应用． 25．在数学活动课上，李老师以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)李老师让同学们将两张完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①，试判断的形状，并说明理由； (2)李老师让同学们继续深入探究，在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C顺时针旋转一定的角度，当点D恰好落在对角线上时，与相交于点M，连接，若，，如图②，求的长． 【答案】(1)等腰直角三角形，见解析 (2) 【分析】（1）先根据证明，再根据全等三角形的性质以及矩形的性质即可证明； （2）可得垂直平分，则，在中，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形；理由如下： 矩形和矩形是完全相同的矩形， ，，， ， ， ， ， ， 又 是等腰直角三角形． （2）解：由（1）得，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 解得：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，旋转的性质，线段的垂直平分线的性质等知识点． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$