第16讲 一次函数-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

第16讲 一次函数 课程标准 学习目标 掌握一次函数、正比例函数的概念 1.理解正比例函数、一次函数的概念; 2.会根据数量关系,求正比例函数、一次函数的解析式;会求一次函数的值 知识点01 一次函数、正比例函数的概念 关于自变量的 的函数称为一次函数,它的一般形式是y=kx+b(k,b为常数k≠0). 特别地,当b=0时,一次函数y=kx(k为常数,k≠0)也叫作正比例函数,其中k叫作 . 【即学即练1】 已知函数：①；②；③；④，其中属于正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练2】 在下列函数关系式中，①；②；③；④；⑤，一定是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 知识点02 一次函数的特征及自变量的取值范围 一次函数的特征是:因变量随自变量的变化是 的,一次函数 y=kx+b(k,b为常数k≠0)的自变量取值范围是实数集. 【即学即练1】 已知点在一次函数的图象上，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型01 正比例函数的定义 【典例1】若为正比例函数，则a的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【变式1】已知函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．2 B． C． D． 【变式2】若是关于x的正比例函数，则的值为 ． 题型02 识别一次函数 【典例1】下列函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【变式2】函数是一次函数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．k为一切实数 题型03 根据一次函数的定义求参数 【典例1】若函数，当自变量取值增加的时候，函数值减少，那么的值是 ． 【变式1】若函数是关于的一次函数，则 ． 【变式2】已知函数是关于的一次函数，则的值为 ． 【变式3】已知一次函数的图象经过点，，下列关于m和n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型04 求一次函数自变量或函数值 【典例1】．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点，则 ． 【变式1】在平面直角坐标系中，点是直线上一点，且到轴与轴的距离相等，则点的坐标为 ． 【变式2】在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：两点横坐标相同，的纵坐标，那么称点为点的“姊妹点”．例如：点的“姊妹点”为点．如果一次函数图象上的点是点的“姊妹点”，那么点的坐标为 ． 【变式3】已知点在一次函数的图像上，则 ． 题型05 列一次函数解析式并求值 【典例1】某水果批发市场香蕉的价格如下表. 购买香蕉数量x/kg 每千克价格/元 6 5 4 若王大妈去该市场购买香蕉，付了y元，则y与x之间的函数关系式是 . 【变式1】试写出经过点，的一个一次函数表达式： . 【变式2】我国某地区现有人工造林面积12万公顷，规划今后10年每年新增造林面积大致相同，约为0.61至0.62万公顷．请估算6年后该地区的造林总面积达到多少万公顷． 一、单选题 1．下列函数（其中x是自变量）中，是正比例函数的个数有（   ） ①；②；③（k是常数）；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列函数是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．若是关于的正比例函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．如果是正比例函数，则a的值是（   ） A． B．0 C． D． 5．若y关于x的函数是一次函数，则m的值为（    ） A． B． C． D． 6．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为6，则称点A为“顺利点”．例如：点到x轴、y轴的距离分别为2，4，距离和为6，则点B是“顺利点”．点C是一次函数图象上的“顺利点”，则点C坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．规定：是一次函数（为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则的值是（   ） A．4 B． C．2 D． 8．已知函数的图象上有一点，若点到轴的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 9．如图，的顶点坐标分别为，，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．24 B．18 C． D．28 10．若3y－4与2x－5成正比例，则y是x的(  ) A．正比例函数 B．一次函数 C．没有函数关系 D．以上均不正确 二、填空题 11．若x，y是变量，且是正比例函数，则k值为 ． 12．已知函数是正比例函数，则 ． 13．函数是关于的一次函数，则 ． 14．已知函数是正比例函数，则_____________． 15．根据下表，可以得到与之间的一个关系式是 ． … 0 1 … … 2 1 0 … 16．若点M在直线上，且M到x轴的距离为1，则点M的坐标为 ． 17．若点在直线上，且，都是正整数，则点坐标是 ． 18．对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最大的数，例如，，．那么观察图象，可得到的最小值为 ．    三、解答题 19．若函数是关于x的正比例函数，求的值． 20．已知 与x成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数表达式： (2)当x为何值时，y的值是非负数 21．如图，已知点、点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)在轴上找一点P，使其满足，求P点的坐标． (3)在（2）的条件下，求的面积 22．已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 23．在平面直角坐标系中点，．若，a为常数，且，则称点B为点A的“a级上升点”． 如点为点的“级上升点”． (1)点C为点的“1级上升点”，则点C的坐标为________； (2)若点的“2级上升点”为点Q，且点Q恰好在y关于x的一次函数的图象上，求t的值； (3)若直线上恰有一点的“级上升点”在y关于x的函数的图象上，求n的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 一次函数 课程标准 学习目标 掌握一次函数、正比例函数的概念 1.理解正比例函数、一次函数的概念; 2.会根据数量关系,求正比例函数、一次函数的解析式;会求一次函数的值 知识点01 一次函数、正比例函数的概念 关于自变量的一次式的函数称为一次函数,它的一般形式是y=kx+b(k,b为常数k≠0). 特别地,当b=0时,一次函数y=kx(k为常数,k≠0)也叫作正比例函数,其中k叫作比例系数. 【即学即练1】 已知函数：①；②；③；④，其中属于正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义：形如（k为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：①多了常数，不是正比例函数； ②符合正比例函数的定义； ③不是正比例函数； ④不是正比例函数； 其中属于正比例函数只有②， 故选A． 【即学即练2】 在下列函数关系式中，①；②；③；④；⑤，一定是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义：解析式形如（为常数）的函数叫做y关于x的一次函数，解题的关键是：熟练掌握一次函数的定义． 根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解， 【详解】解：①当时，不是一次函数， ②，不是一次函数， ③，是一次函数， ④，是一次函数， ⑤，是一次函数， 综上所述，③④⑤是一次函数，共3个， 故选：B． 知识点02 一次函数的特征及自变量的取值范围 一次函数的特征是:因变量随自变量的变化是均匀的,一次函数 y=kx+b(k,b为常数k≠0)的自变量取值范围是实数集. 【即学即练1】 已知点在一次函数的图象上，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：， 故选：B． 题型01 正比例函数的定义 【典例1】若为正比例函数，则a的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握． 根据正比例函数的定义条件：k为常数且，自变量次数为1，即可列出有关a的方程，求出a值． 【详解】解：根据正比例函数的定义：， 解得：， 又， 故． 故选：B． 【变式1】已知函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，理解正比例函数的定义是解题的关键． 根据正比例函数的定义，可得，，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，， 解得． 故选：C． 【变式2】若是关于x的正比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，注意正比例函数的未知数系数不能为零是解题关键． 利用正比例函数的定义列方程和不等式可求得a的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x的正比例函数， ∴且， 解得：， ∴． 故答案为：． 题型02 识别一次函数 【典例1】下列函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，不是一次函数，故该选项不符合题意； B. ，是一次函数，故该选项符合题意； C. ，是二次函数，故该选项不符合题意； D. ，当时，不是一次函数，故该选项不符合题意； 【变式1】若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴ ∴ 即 故选：C 【变式2】函数是一次函数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．k为一切实数 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数定义可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选C． 题型03 根据一次函数的定义求参数 【典例1】若函数，当自变量取值增加的时候，函数值减少，那么的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了函数值，根据题意得出是解题的关键．根据题意得出，整理后结合已知函数解析式得出，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， ， ， 解得：， 故答案为：． 【变式1】若函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义：形如的函数是一次函数．根据一次函数的定义得到且，进而解方程即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式2】已知函数是关于的一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义条件可得且，即可求解． 【详解】解：根据题意，得且，解得． 故答案为：． 【变式3】已知一次函数的图象经过点，，下列关于m和n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将点，代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，， ∴ 解得： ∴， 故选：B． 题型04 求一次函数自变量或函数值 【典例1】．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式．将点代入一次函数，得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴，即， ∴． 故答案为：0． 【变式1】在平面直角坐标系中，点是直线上一点，且到轴与轴的距离相等，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数关系式是解题的关键． 设，根据点到轴与轴的距离相等，可得或，解方程即可． 【详解】解：∵点是直线上一点， ∴设， ∵点到轴与轴的距离相等， ∴或， 解得：， ∴ 点的坐标为， 故答案为：． 【变式2】在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：两点横坐标相同，的纵坐标，那么称点为点的“姊妹点”．例如：点的“姊妹点”为点．如果一次函数图象上的点是点的“姊妹点”，那么点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、算术平方根，理解新定义是解答的关键．根据一次函数图象上的点的坐标特征求得，再根据新定义设，分和分别列方程求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数图象上， ∴，解得，则， ∵点是点的“姊妹点”， ∴设， 当时，由得或（舍去）； 当时，由得， ∴点M的坐标为或， 故答案为：或． 【变式3】已知点在一次函数的图像上，则 ． 【答案】 【分析】将点代入一次函数中即可得出结果． 【详解】点在一次函数的图象上， ， 解得 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特点．熟练掌握整体代入是解题的关键． 题型05 列一次函数解析式并求值 【典例1】某水果批发市场香蕉的价格如下表. 购买香蕉数量x/kg 每千克价格/元 6 5 4 若王大妈去该市场购买香蕉，付了y元，则y与x之间的函数关系式是 . 【答案】 【分析】找到相应范围内的单价，等量关系为：购买香蕉总价钱=单价×数量，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵x大于40千克， ∴单价为4元， ∵数量为x千克， ∴y=4x． 故答案为y=4x． 【点睛】考查列一次函数关系式，得到购买香蕉总价钱的等量关系是解决本题的关键，易错点是得到香蕉的单价． 【变式1】试写出经过点，的一个一次函数表达式： . 【答案】y=x+1 【分析】根据一次函数解析式，可设y=kx+1，把点代入可求出k的值； 【详解】因为函数的图象过点（1，2）， 所以可设这个一次函数的解析式y=kx+1，把（1，2）代入得：2=k+1， 解得k=1， 故解析式为y=x+1 【点睛】此题考查一次函数解析式，解题的关键是设出解析式； 【变式2】我国某地区现有人工造林面积12万公顷，规划今后10年每年新增造林面积大致相同，约为0.61至0.62万公顷．请估算6年后该地区的造林总面积达到多少万公顷． 【答案】15.66万至15.72万公顷 【分析】根据题意列出一次函数，在自变量的取值范围中求出函数值的取值． 【详解】解  设p表示今后10年每年新增造林的公顷数，则．设6年后该地区的造林总面积为S万公顷，则． 这个一次函数中，一次项系数，所以S随p的增大而增大． ∵， ∴，即． 答：6年后该地区的造林总面积达到15.66万至15.72万公顷． 【点睛】本题考查列一次函数并求函数值，自变量的取值范围是解题的关键． 一、单选题 1．下列函数（其中x是自变量）中，是正比例函数的个数有（   ） ①；②；③（k是常数）；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的判断，根据形如，这样的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：，是正比例函数，故①正确； ，整理，得：，是正比例函数，故②正确； （k是常数），当时，不是正比例函数，故③错误； ，不是正比例函数，故④错误； 故选B． 2．下列函数是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的判断，根据正比例函数的定义：形如，这样的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是正比例函数，不符合题意； B、，不是正比例函数，不符合题意； C、，是正比例函数，符合题意； D、，不是正比例函数，不符合题意； 故选：C． 3．若是关于的正比例函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义．由 是关于的正比例函数，可知中，求解作答即可． 【详解】解：∵ 是关于的正比例函数， ∴， 解得，， 故选：B． 4．如果是正比例函数，则a的值是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：k为常数且，自变量次数为1．根据正比例函数的定义得到即可求解． 【详解】解：是正比例函数， ， 解得：， 故选：A． 5．若y关于x的函数是一次函数，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键． 一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：关于x的函数是一次函数， ， ， 故选：D． 6．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为6，则称点A为“顺利点”．例如：点到x轴、y轴的距离分别为2，4，距离和为6，则点B是“顺利点”．点C是一次函数图象上的“顺利点”，则点C坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征及点到坐标轴的距离，根据“顺利点”的定义，结合一次函数图象上点的特征逐项计算即可判断． 【详解】解：∵点C是一次函数图象上的“顺利点”， ∴， A、，，，则在一次函数图象上，符合题意； B、，，则不在一次函数图象上，不符合题意； C、，，则不在一次函数图象上，不符合题意； D、，，则不在一次函数图象上，不符合题意； 故选：A． 7．规定：是一次函数（为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则的值是（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义即可求出m的值． 【详解】解：由题意得： ∵“特征数”是的一次函数是正比例函数， ∴， ∴． 故选A． 8．已知函数的图象上有一点，若点到轴的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上的点的坐标一定满足一次函数的解析式．由点到轴的距离为可知点的纵坐标为5或，分别代入求出值，即可得点坐标． 【详解】解：点到轴的距离为5， 点的纵坐标为5或， 点在一次函数的图象上， 当时，，当时，， 点的坐标为或， 故选：D． 9．如图，的顶点坐标分别为，，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．24 B．18 C． D．28 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，平移的性质，坐标与图形；设当向右平移到位置时，点与点重合，根据题意得出的长，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，设当向右平移到位置时，点与点重合，此时在直线上， ， ， 将代入中得：，即， ，即， ， 则线段扫过的面积． 故选：D． 10．若3y－4与2x－5成正比例，则y是x的(  ) A．正比例函数 B．一次函数 C．没有函数关系 D．以上均不正确 【答案】B 【详解】由题意得：，根据一次函数的定义，形如：得则y是x的一次函数. 故选B. 二、填空题 11．若x，y是变量，且是正比例函数，则k值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查正比例函数的定义，正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：是常数，k≠0，是正数也可以是负数． 根据正比例函数的定义，可得：，，从而求出k值． 【详解】解：∵根据正比例函数的定义，可得：，， ∴． 故答案为0． 12．已知函数是正比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如的式子为正比例函数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得， 故答案为：． 13．函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义，需要注意x前面的系数不能为0．根据一次函数的定义求出m的值． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 14．已知函数是正比例函数，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 根据正比例函数的定义列出方程求解即可． 【详解】解： 是正比例函数， 且， 解得：； 故答案为：． 15．根据下表，可以得到与之间的一个关系式是 ． … 0 1 … … 2 1 0 … 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数，根据表中数据得出二者存在正比例关系是解题关键． 观察表格发现：y随x的增大而减小，且过，所以该函数为正比例函数，用待定系数法求出函数的解析式即可． 【详解】解：观察表格发现：y随x的增大而减小，且过， 设， ∵当时，， ∴， ∴，即函数关系式为：． 故答案为：． 16．若点M在直线上，且M到x轴的距离为1，则点M的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平面直角坐标系，以及坐标平面内点的坐标特征及求一次函数的自变量和函数值，解题的关键是熟知坐标平面内点的坐标特征．由M到x轴的距离为1，可知点M的纵坐标为或，分别代入直线解析式即可得解． 【详解】∵M到x轴的距离为1， ∴其纵坐标为1或，即或 又∵点M在直线上， ∴当时，即，解得， 当时，即，解得， ∴点M的坐标为或 故答案为：或． 17．若点在直线上，且，都是正整数，则点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由点在直线上，则，然后根据题意求二元一次方程组的正整数解即可，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∵，都是正整数， ∴，， ∴点坐标是， 故答案为：． 18．对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最大的数，例如，，．那么观察图象，可得到的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，及定义新运算的综合，理解图示，掌握两条直线的交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．根据图示，先联立方程组求出两直线的交点，根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解． 【详解】解：根据图示，联立方程求交点得， ①，解得，； ②，解得，； ③，解得，； ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 19．若函数是关于x的正比例函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟知形如（是常数，）的函数叫做正比例函数是解答关键． 根据正比例函数的定义得出关于的方程和不等式，求出的值即可． 【详解】解：函数是关于的正比例函数， ，且， ． 20．已知 与x成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数表达式： (2)当x为何值时，y的值是非负数 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数，一次函数，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）由题意知，将代入，求出的值，进而可得到y与x的函数表达式； （2）由题意知，则有，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意设 将代入得 解得 ∴ ∴ ∴y与x的函数表达式为． （2）由题意得，所以， 解得． 21．如图，已知点、点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)在轴上找一点P，使其满足，求P点的坐标． (3)在（2）的条件下，求的面积 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离， （1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线的表达式； （2）设点P的坐标为，结合点A，B的坐标可得出，的长，结合可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，进而可得出点P的坐标． （3）根据求解即可． 【详解】（1）解：设直线所对应的函数表达式为， 将A、B代入，得，解得， ∴直线AB所对应的函数表达式为； （2）解：设点P的坐标为．因为点A的坐标为，点B的坐标为， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴点P的坐标为 （3）解：． 22．已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题综合考查了正比例的定义，一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据正比例的定义设，然后把，代入计算求出k值，再整理即可得解； （2）将点代入（1）中所求的函数的解析式求的值． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴，即； （2）解：点在函数的图象上， ∴， 解得：． 23．在平面直角坐标系中点，．若，a为常数，且，则称点B为点A的“a级上升点”． 如点为点的“级上升点”． (1)点C为点的“1级上升点”，则点C的坐标为________； (2)若点的“2级上升点”为点Q，且点Q恰好在y关于x的一次函数的图象上，求t的值； (3)若直线上恰有一点的“级上升点”在y关于x的函数的图象上，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用新定义计算解题； （2）根据新定义可以得到点Q的坐标为，代入一次函数解析式即可求值； （3）设直线上的点坐标为且，根据新定义得到“级上升点”坐标为，分两种情况分别解题即可． 【详解】（1）由定义可知点C的坐标为，即， 故答案为：． （2）解：∵点的“2级上升点”为点Q， ∴点Q的坐标为， 又∵点Q在函数图象上， ∴， 解得：； （3）解：设直线上的点坐标为且， 则这点的“级上升点”坐标为， 即， 当时，则 整理得：， 则，解得无解； 当时，则， 解得：， 即，解得， 综上所述：． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键在于读懂新定义，利用新定义给出的公式解决问题． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$