精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市昂昂溪区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

八年级上学期学业水平调研测试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共三道大题，总分120分； 3．请将答案写在答题卡的指定位置． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 3，5，9 B. 4，6，12 C. 2，2，4 D. 5，6，8 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，这一主题在剪纸艺术中很受喜爱．以下关于鱼的剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将0.0000000142用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形的一个底角为，这个等腰三角形的顶角为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 8. 定义一种新运算（且），若，则c的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 9. 计算的结果为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 10. 如图，在长方形中，连接，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分式有意义，满足的条件为______． 12. 将一副三角尺按如图的方式拼摆，的度数为________． 13. 多项式分解因式的结果为________． 14. 在中，，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∠DAE的度数为______． 15. 在等边中，点D在的延长线上，，，点E在直线上，连接．当时，的长为________． 16. 如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2025次碰到长方形边上的点的坐标为________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移3个单位长度，得到，画出（其中点，，分别是点的对应点）； （2）将沿着轴翻折，得到，画出（其中点分别是点的对应点）； （3）在轴上找一点，使得，则点的坐标为______． 20. 第九届亚冬会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某商场销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品．若用1500元购买“滨滨”纪念品的数量比用1800元购买“妮妮”纪念品的数量多5个，且一个“妮妮”纪念品的价格是一个“滨滨”纪念品价格的1.5倍．求“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元． 21. 阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： （1）直接写出关于x的方程的解为______； （2）直接写出关于x的方程的解为______． 22. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，． （1）如图（1），求证：； （2）如图（2），，，平分交于点G，求的度数． 23. 数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为a的正方形，乙种纸片是边长为b的正方形，丙种纸片是长为b、宽为a的长方形． 【观察发现】 用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：________________． 【操作探究】 若要拼出一个面积为的长方形，则需要甲种纸片________张，乙种纸片________张，丙种纸片________张．（所拼图形不重叠无缝隙） 【拓展延伸】 两个正方形、如图（3）摆放，边长分别为x，y，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 24. 如图，在中，，，直线经过点C，于点D，于点E． （1）如图（1），当A、B两点在直线的同侧时，请直接写出线段、和的数量关系为_______； （2）如图（2），当A、B两点在直线的两侧时，请写出线段、和的数量关系，并说明理由； （3）如图（3），在（2）的条件下，点K在的延长线上，连接AK，使，连接，．若的面积为16，的面积为6，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，为等边三角形，点B的横坐标为，过点B作交y轴于点C． （1）如图（1），求线段的长； （2）如图（2），点P为x轴正半轴上一点，点Q在上，连接，，使，设点P的横坐标为，线段的长为n，用含t的式子表示n； （3）如图（3），在（2）的条件下，连接，当取最小值时，在平面直角坐标系中取一点D，连接，，使，且，请直接写出此时t的值及点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期学业水平调研测试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共三道大题，总分120分； 3．请将答案写在答题卡的指定位置． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 3，5，9 B. 4，6，12 C. 2，2，4 D. 5，6，8 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可． 此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】解：A、∵， ∴不能组成三角形，故选项不符合题意； B、∵， ∴不能组成三角形，故选项不符合题意； C、∵， ∴不能组成三角形，故选项不符合题意； D、∵， ∴能组成三角形，故选项符合题意； 故选：D． 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，这一主题在剪纸艺术中很受喜爱．以下关于鱼的剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键． 过D作于E，根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：如图，过D作于E， ∵在中，，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即点D到的距离为， 故选：B． 4. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将0.0000000142用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示数，先确定a，n，再写成的形式，其中，n为负整数． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 5. 等腰三角形的一个底角为，这个等腰三角形的顶角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键． 由等腰三角形的两个底角相等及三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解： ∵等腰三角形的一个底角为， ∴这个等腰三角形的顶角， 故选：C． 6. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了幂的运算，根据同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项分别进行判断即可． 【详解】A. ，故选项正确，符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. 和不是同类项，不能运算，故选项错误，不符合题意； 故选：A 7. 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，任意多边形的外角和为，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 根据题意得：， 解得：． 即这个多边形是四边形． 故选：B． 8. 定义一种新运算（且），若，则c的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，新定义等知识，根据运算“⊗”的定义将方程转化为一般式，然后解分式方程即可，注意解分式方程要检验． 【详解】解：∵（且）， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为， 故选：B． 9. 计算的结果为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方和同底数幂相乘，逆用积的乘方法则和同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 10. 如图，在长方形中，连接，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，，平分得到，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：在长方形中， ∵，，， ∴， 由作法得：平分， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的作图等知识，熟练掌握三角形外角的性质和平行线的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分式有意义，满足的条件为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分式有意义的条件可得，解该不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 将一副三角尺按如图的方式拼摆，的度数为________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角板的知识，三角形的内角和定理， 根据题意可知，即可求出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：根据题意，得， ∴． 在中，． 故答案为：． 13. 多项式分解因式的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 14. 在中，，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∠DAE的度数为______． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的内角和定理可得，进而根据即可求得答案． 【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E， ∴ ∴ 在中，， 故答案为： 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等角对等边求角度，三角形的内角和的定理，综合运用以上知识是解题的关键． 15. 在等边中，点D在的延长线上，，，点E在直线上，连接．当时，的长为________． 【答案】2或8##8或2 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 先作的高，再根据等腰三角形的性质得，然后根据勾股定理得，即可求出，接下来证明，可得，最后分类讨论，当点E在线段的延长线上，当点E在线段的延长线上，再结合图形分别求出即可． 【详解】解：在等边中，， 的高，则，． 根据勾股定理得， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 当点E在线段的延长线上，如图， ∴； 当点E在线段的延长线上，如图， ∴． 综上所述，的长为2或8． 故答案为：2或8 16. 如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2025次碰到长方形边上的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的运动规律， 先根据反射规律得出前6个点的坐标，即可得出点的坐标的变化规律，再确定2025次是循环中的第几个点，进而得出答案． 【详解】解：由反射线前后对称规律可知第1-6次碰到长方形的边的点的坐标依次为：， 由此可以得出运动周期为6次一个循环． ∵， ∴第2025次碰到长方形的边的点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式、多项式除以单项式．解决本题的关键是根据计算法则进行计算． 根据单项式乘以多项式的法则，用单项式与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加即可； 根据多项式除以单项式的法则，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的除法计算，然后将数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移3个单位长度，得到，画出（其中点，，分别是点的对应点）； （2）将沿着轴翻折，得到，画出（其中点分别是点的对应点）； （3）在轴上找一点，使得，则点的坐标为______． 【答案】（1） 即为所求： （2） 即为所求： （3） 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换，翻折变换，全等三角形的判定，解题的关键是掌握平移变换，翻折变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用翻折变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）根据全等三角形的判定作出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当点为时， ， ， 故答案为：． 20. 第九届亚冬会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某商场销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品．若用1500元购买“滨滨”纪念品的数量比用1800元购买“妮妮”纪念品的数量多5个，且一个“妮妮”纪念品的价格是一个“滨滨”纪念品价格的1.5倍．求“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元． 【答案】“滨滨”纪念品单价为60元，“妮妮”纪念品的单价为90元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是掌握分式方程的知识，根据题意，设一个“滨滨”纪念品价格为x元，则一个“妮妮”纪念品的价格为元，列出方程，进行解答，即可． 【详解】解：设“滨滨”纪念品单价为x元，则“妮妮”纪念品的单价为元， ∵用1500元购买“滨滨”纪念品的数量比用1800元购买“妮妮”纪念品的数量多5个， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴“妮妮”纪念品的单价为（元）， 答：“滨滨”纪念品单价为60元，“妮妮”纪念品的单价为90元． 21. 阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： （1）直接写出关于x的方程的解为______； （2）直接写出关于x的方程的解为______． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的相关拓展，正确理解阅读材料中的方法、恰当变形是解题的关键． （1）根据阅读材料中方程与解的特征可直接得出答案； （2）先将原方程变形为：，再根据（2）的猜想可得或，进而可得结果． 【小问1详解】 解：由题意可猜想：关于的方程的解是，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：方程可变形为：， 即， 则由（1）的猜想可得：方程的解为：或， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解， 所以，， 故答案为：，． 22. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，． （1）如图（1），求证：； （2）如图（2），，，平分交于点G，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 在和中 ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键． （1）先根据得，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）先求出，再由和全等得，再根据平分得，然后根据三角形外角性质即可得出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ， 由（1）可知：， ， 平分交于点G， ， 又是的一个外角， ， ， ． 23. 数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为a的正方形，乙种纸片是边长为b的正方形，丙种纸片是长为b、宽为a的长方形． 【观察发现】 用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：________________． 【操作探究】 若要拼出一个面积为的长方形，则需要甲种纸片________张，乙种纸片________张，丙种纸片________张．（所拼图形不重叠无缝隙） 【拓展延伸】 两个正方形、如图（3）摆放，边长分别为x，y，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】观察发现：；操作探究：1，2，3；拓展延伸：10 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景和变形求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 观察发现：根据图（2）的面积边长为的正方形的面积一个边长为的正方形的面积一个边长为的正方形面积个长为，宽为的长方形面积，列出算式即可； 操作探究：利用多项式乘多项式法则进行计算，然后根据计算结果进行判断即可； 拓展延伸：先根据已知条件可知，然后根据已知条件为完全平方公式，求出，最后根据阴影部分的面积边长是的正方形面积边长是的正方形的面积的面积的面积，列出算式进行计算即可． 【详解】观察发现： 解：观察图形可知：图（2）的面积为：，还可以表示为：， 正确的等式为：， 故答案为：； 操作探究： 解： ， 需要甲种纸片1张，乙种纸片2张，丙种纸片3张， 故答案为：1，2，3； 拓展延伸： 解：，，， ， ， ， ， ， 整理得， ， 或（不合题意，舍去）， 阴影部分的面积 ． 24. 如图，在中，，，直线经过点C，于点D，于点E． （1）如图（1），当A、B两点在直线的同侧时，请直接写出线段、和的数量关系为_______； （2）如图（2），当A、B两点在直线的两侧时，请写出线段、和的数量关系，并说明理由； （3）如图（3），在（2）的条件下，点K在的延长线上，连接AK，使，连接，．若的面积为16，的面积为6，求的长． 【答案】（1） （2） 中，，，， ，， ， ， ， ，， ； （3）1 【解析】 【分析】（1）由同角的余角相等可证得，然后利用即可证明，然后利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）按照（1）的思路可证得，然后结合图形进行线段和差即可得解； （3）如图，过点K作交于点，先证得，，然后利用（2）的结论分别用含的线段表示出的面积，的面积，组成方程组，解方程组即可得解． 【小问1详解】 解： 理由：在中，， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点K作交于点， ， ∴四边形为长方形， ， ， ， ， ， 的面积为，的面积为6， ，， ，， 由（2）知，，， ，， ，， 由组成方程组得，（负值已舍）， 的长为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解方程组等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线解决此题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，为等边三角形，点B的横坐标为，过点B作交y轴于点C． （1）如图（1），求线段的长； （2）如图（2），点P为x轴正半轴上一点，点Q在上，连接，，使，设点P的横坐标为，线段的长为n，用含t的式子表示n； （3）如图（3），在（2）的条件下，连接，当取最小值时，在平面直角坐标系中取一点D，连接，，使，且，请直接写出此时t的值及点D的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3），点坐标为或 【解析】 【分析】（）过点作轴于点，则，然后由等边三角形的性质可得，故有，再根据所对直角边是斜边是斜边的一半即可求解； （）先证明，根据性质可得，再利用线段和差即可求解； （）延长交轴于点，连接，，先证明垂直平分，则有，故，即，当点三点共线时，有最小值，然后求出，，再证明是等边三角形，则，再通过等面积法得出，从而求出的值，由，且，得知点在轴上，且，再利用等腰三角形的判定与性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点， ∵点的横坐标为， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点 的横坐标为， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴垂直平分， ∴， ∴，即， ∴当点三点共线时，如图，有最小值， ∴， ∴， 由上可知：，， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∵， ∴点在轴上，且，如图， ∴， ∴， ∴， 同理：， 综上可知：，点坐标为或． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定与性质，​所对直角边是斜边是斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $