精品解析：山东省烟台市莱山区2024—2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024—2025学年度第一学期第二阶段检测练习题 初二数学 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的 1. 下列实数中的无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 中国古典建筑中有着丰富多彩的装饰纹样，以下四个纹样中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A 负数没有立方根 B. 一定没有平方根 C. 有理数与数轴上的点是一一对应的 D. 两个无理数的和可能是有理数 4. 为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆，，，这三段篱笆长度如图所示，其中篱笆可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为（ ） A. 3m B. 4m C. 8m D. 9m 5. 关于一次函数的一些性质，下列说法正确的是（ ） A. 直线与y轴交于点 B. 的函数值y随着x的增大而减小 C. 直线经过第二、三、四象限 D. 直线与直线平行 6. 如果点在第三象限，则点关于x轴对称的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 一次函数的图象经过原点，则m的值为（ ） A. B. C. D. 且 8. 如图，的两个顶点，均在数轴上，且，，若点表示的数是，点表示的数是，那么以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 11. 将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则的面积是（ ） A. 10 B. 12 C. 20 D. 24 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分） 13. 的平方根是________． 14. 点A在y轴上，则点A的坐标是__________． 15. 把直线向下平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为_________． 16. 如图是一组密码的一部分，为了保密，不同情况采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“怕方温”的真实意思是“都是水”．破译后“再青都”的真实意思是“______”． 17. 若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为________． 18. 如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是______． 19. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为________． 20. 如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示．若输入有意义的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分60分） 21. 计算： 22. 作图与设计： 在图1和图2中，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．     （1）在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为5，，5； （2）在图2中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （3）在图3的正方形网格中建立平面直角坐标系，若各顶点都在格点上，请作出，使和关于x轴对称． 23. 定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： （1）的“共同体区间”为________； （2）若x，y满足关系式：，求的“共同体区间”． 24. 如图，已知点D、E是△ABC内两点，且∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：． （2）延长BD、CE交于点F，若，，求的度数． 25. 某家政服务公司选派20名清洁工去打扫民宿的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫8个大房间或12个小房间．设派x人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为50元，清扫一个小房间工钱为30元． （1）写出家政服务公司每天的收入y（元）与x（人）之间的函数关系式； （2）应该怎样安排这20名清洁工清扫一天，才能该家政服务公司收入7800元． 26. 如图，点C为x轴上一动点，点A的坐标，点E的坐标，作轴，连接、． （1）设，试用含x的代数式表示______；______ （2）试求当的长度最小时点的坐标； （3）根据前面的启发，请构图求出代数式的最小值． 27. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型全等模型． 【模型初识】如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l于点D，直线l于点E．易证：． （1）如图1，若，，则________； 【模型应用】 （2）如图2，平面直角坐标系中，，，点B的坐标为，则点A的坐标为________； 【模型拓展】 （3）如图3，以的边向外分别作正方形和正方形，则，，，是边上的高，延长交于点I． ①过点E作于点M，过点G作于点N，试说明； ②若，，请求出的长． 28. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，且． （1）求的值； （2）点是直线上的一个动点，当的面积是时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，且点在第一象限，轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期第二阶段检测练习题 初二数学 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的 1. 下列实数中的无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，立方根；根据无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解： ，，是有理数，是无理数， 故选：C． 2. 中国古典建筑中有着丰富多彩的装饰纹样，以下四个纹样中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键. 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形.据此进行解答即可. 【详解】解：A.不是轴对称图形，故选项符合题意； B.是轴对称图形，故选项不符合题意； C.是轴对称图形，故选项不符合题意； D.是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：A 3. 下列说法正确的是（ ） A. 负数没有立方根 B. 一定没有平方根 C. 有理数与数轴上的点是一一对应的 D. 两个无理数的和可能是有理数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查立方根、平方根、数轴、无理数等知识，熟练掌握相关概念，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、负数有立方根，选项说法错误，不符合题意； B、不一定是负数，当，，此时有平方根，选项说法错误，不符合题意； C、实数与数轴上的点是一一对应的，选项说法错误，不符合题意； D、比如，则两个无理数的和可能是有理数，说法正确，符合题意； 故选：D． 4. 为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆，，，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为（ ） A. 3m B. 4m C. 8m D. 9m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据三角形的三边关系得到的取值范围即可求解． 【详解】解：根据题意，，，， 设在篱笆上接上新的篱笆的长度为， 若要围成一个三角形的空地，则， 解得， 故选项B符合题意， 故选：B． 5. 关于一次函数的一些性质，下列说法正确的是（ ） A. 直线与y轴交于点 B. 的函数值y随着x的增大而减小 C. 直线经过第二、三、四象限 D. 直线与直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的性质逐项判断即可得出答案． 【详解】A．∵一次函数， ∴当时，， ∴与y轴的交点为，故A选项错误； B．∵一次函数中自变量系数为， ∴随着x的增大而增大，故B选项错误； C．直线经过第一、二、三象限，故C选项错误； D．∵与中，自变量的系数， ∴与平行，故D选项正确． 故选：D． 6. 如果点在第三象限，则点关于x轴对称的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查是象限内点的坐标特点，关于轴对称的点的坐标特点，由点在第三象限，可得，点关于轴的对称点为，结合的范围即可判断出其对称点的象限 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， ∵点关于轴的对称点为， ∴，， ∴点在第一象限； 故选：A． 7. 一次函数的图象经过原点，则m的值为（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点以及一次函数的定义，将代入解析式，且，即可求解． 【详解】解：∵一次函数 的图象经过原点， ∴且 解得：， 故选：C． 8. 如图，的两个顶点，均在数轴上，且，，若点表示的数是，点表示的数是，那么以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，两点间的距离求出的长，勾股定理求出的长，再利用两点间的距离求出点D 表示的数即可． 【详解】解：∵点 A 表示的数是，点 C表示的数是， ∴， ∵ ∴，， 由作图可知：， ∴点 表示的数是； 故选：A． 9. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故选：B． 10. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 11. 将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，根据题中选项的图，假定其中一条之间的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项A不符合题意； B．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项B不符合题意； C．是正比例函数，图象必经过原点，故选项C不符合题意； D．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项D不符合题意； 故选：D． 12. 如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则的面积是（ ） A. 10 B. 12 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是从图象中获取正确信息；根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从B向C运动时，先变小后变大，从而可求出与上的高，进而求出三角形的面积． 【详解】根据图象可知，点P在上运动时，此时不断增大，点P从A向B运动时，的最大值为5，即， 点P从B向C运动时，的最小值为4，即边上的高为4， ∴当，， 此时，由勾股定理可知：， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， ， ， 的面积为：， 故选：． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分） 13. 的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 先求得，根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故答案为：． 14. 点A在y轴上，则点A的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，根据y轴上的点的横坐标为0求解即可． 【详解】解：∵点A在y轴上， ∴，解得， ∴， 则点A的坐标为． 故答案为：． 15. 把直线向下平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握“上加下减”的原则是解题的关键． 利用“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：由题意知，直线向下平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为， 故答案为：． 16. 如图是一组密码的一部分，为了保密，不同情况采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“怕方温”的真实意思是“都是水”．破译后“再青都”的真实意思是“______”． 【答案】昨天到 【解析】 【分析】本题考查了坐标位置确定，根据题意可以发现对应字之间的规律，从而即可得解，发现规律是解答本题的关键． 【详解】解：∵“怕方温”的真实意思是“都是水”， ∴“怕”所对应的字为“都”， 由图可得，“怕”先向右平移个单位，再向上平移个单位得到“都”，其他各个字对应也是这样得到的， ∴破译后“再青都”的真实意思是“昨天到”， 故答案为：昨天到． 17. 若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次不等式的关系；直接利用一次函数图象，结合时，则时对应x的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：根据函数图象可得与轴交于，且随的增大而增大， ∴关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 18. 如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是______． 【答案】 【解析】 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，连接，由题意可知，即为等边三角形，所以，推出，根据全等三角形的对应边相等知，则，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，过作于， 由作图可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为； 故答案为： 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作． 20. 如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示．若输入有意义的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x值为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】一个有理数，若算术平方根等于本身（有理数），则始终输不出y值，据此求解即可． 【详解】解：一个有理数，若算术平方根等于本身，则求算术平方根的结果总是有理数，始终输不出y值， 而算术平方根等于本身得数是1和0， ∴输入有效的x值后，始终输不出y值， 则或， 解得：或或 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，解题关键是能够正确理解数值转换器的运算程序，掌握有理数和无理数的概念． 三、解答题（本大题共8个小题，满分60分） 21. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，直接利用负整数指数幂，二次根式以及立方根的性质化简各数即可得出答案 【详解】解： 22. 作图与设计： 在图1和图2中，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．     （1）在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为5，，5； （2）在图2中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （3）在图3的正方形网格中建立平面直角坐标系，若各顶点都在格点上，请作出，使和关于x轴对称． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，直角三角形的判定的应用， （1）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可； （2）根据勾股定理画出边长为的正方形即可； （3）先根据关于轴对称的点的性质，在平面直角坐标系中标出、、，再连接即可． 【小问1详解】 解：如图，三角形三边长分别为5，，5； 【小问2详解】 解：如图，正方形的面积为10； 【小问3详解】 解：如图，和关于轴对称，即为所求． 23. 定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： （1）的“共同体区间”为________； （2）若x，y满足关系式：，求的“共同体区间”． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据已知得，进而得出代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴的“共同体区间”为． 24. 如图，已知点D、E是△ABC内两点，且∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：． （2）延长BD、CE交于点F，若，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由SAS证明即可； （2）先由全等三角形的性质的再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，则，即可得出答案． 【详解】（1）证明∵ ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵AB＝AC， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及判定、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 25. 某家政服务公司选派20名清洁工去打扫民宿的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫8个大房间或12个小房间．设派x人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为50元，清扫一个小房间工钱为30元． （1）写出家政服务公司每天的收入y（元）与x（人）之间的函数关系式； （2）应该怎样安排这20名清洁工清扫一天，才能为该家政服务公司收入7800元． 【答案】（1） （2）家政公司安排15人打扫大房间，5人打扫小房间，才能为该家政服务公司收入7800元 【解析】 【分析】（1）根据总收入=打扫大房间的收入+打扫小房间的收入列出函数解析式即可； （2）把代入（1）中所求解析式，解方程即可． 【小问1详解】 设派x人去清扫大房间，则有人打扫小房间， 根据题意得：， ∴家政服务公司每天的收入y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 当时，， 解得：， 此时， 答：家政公司安排15人打扫大房间，5人打扫小房间，才能为该家政服务公司收入7800元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题关键是找到等量关系列出函数解析式． 26. 如图，点C为x轴上一动点，点A的坐标，点E的坐标，作轴，连接、． （1）设，试用含x的代数式表示______；______ （2）试求当的长度最小时点的坐标； （3）根据前面的启发，请构图求出代数式的最小值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与勾股定理的几何综合题，熟练掌握待定系数法求解析式和勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求得答案； （2）连接，交轴于点，此时三点共线，的长度最小，求得直线的解析式，令即可得到点的坐标； （3）根据画出图形，利用勾股定理即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴由勾股定理可得：，； 【小问2详解】 解：连接，交轴于点，如图所示： 当三点共线，的长度最小， 设直线的解析式为：， ∵，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， 令，， ∴； 【小问3详解】 解：设，，，根据题意构图得： 由图可得：，， 当三点共线，有最小值，即的长， 延长作于点， ∴由勾股定理可得：， ∴代数式的最小值为． 27. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型初识】如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l于点D，直线l于点E．易证：． （1）如图1，若，，则________； 【模型应用】 （2）如图2，平面直角坐标系中，，，点B的坐标为，则点A的坐标为________； 【模型拓展】 （3）如图3，以的边向外分别作正方形和正方形，则，，，是边上的高，延长交于点I． ①过点E作于点M，过点G作于点N，试说明； ②若，，请求出的长． 【答案】（1）8；（2）；（3）①证明见解析，②5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与平面，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据垂直定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； （2）如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）①如图3，过E作于M，的延长线于N．根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，即可证明；根据全等三角形的性质得到，再由求解． 【详解】（1）解：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8； （2）解：如图2， 过A作轴于C，过B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； （3）①证明：如图3，∵过E作于M，的延长线于N． ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理，，， ∴； ②解：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 28. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，且． （1）求的值； （2）点是直线上的一个动点，当的面积是时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，且点在第一象限，轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3），，，． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质． （1）确定出点的坐标，代入函数解析式中即可求出； （2）利用三角形的面积求出求出点坐标； （3）设出点，表示出，，计算出，分三种情况讨论计算即可得出点坐标． 【小问1详解】 解：， ， 点在直线上， ， ； 小问2详解】 由（1）知，， 直线解析式为， 点是第一象限内的直线上的一个动点， ， ， 解得或， 故点的坐标为或； 【小问3详解】 轴上存一点，使等腰三角形；理由如下： 在①的条件下，且点在第一象限， 点的坐标为， 设点， ∴， ， ①当时， ∴， ∴， ∴， ②当时， ∴， ∴舍去)或， ∴， ③当时， ∴， ∴， ∴ 综上所述，满足条件的所有点的坐标为，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$