精品解析： 甘肃省平凉市庄浪县2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年甘肃省平凉市庄浪县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中正确的是( ) A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则 （ ） A. 2或 B. 2 C. D. 以上都不对 4. 是第五代移动通信技术，应用 网络下载一个的文件只需要秒，下载一部高清电影只需要1秒．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某支架的侧面示意图，经测量，，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等边 中， 平分 交 于点D，过点D作 于点E，且，则 的长为（　　） A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 7.5 8. 若把分式中的 和 都扩大 倍，那么分式的值（　　） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍 9. 如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，a的恒等式是（ ）． A. B. C. D. 10. 若关于 的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 二、填空题（每小题4分，共24分，将答案填在答题卡上） 11. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 12. 计算：(－2a－2b)3÷2a－8b－3＝____． 13. 已知，，则______. 14. 如图：△ABC中，∠A =90°，∠ABD=22°，DE垂直平分BC，则∠C=_____。 15. 如果展开后的结果不含x的一次项，则m的值是______． 16. 若关于x的分式方程无解，则实数m=_______． 三、解答题（本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在 中， ，请用尺规作图的方法在 上求作一点 ，使得点 到 的距离等于 ．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 分解因式： （1）； （2）． 20. 解方程：． 21. 如图，点D、E在 的边 上，求证： ． 22. 已知：如图， ． （1）在图中作出 关于y轴对称的； （2）写出点的坐标（直接写答案）： ； ； ； （3）计算 的面积． 四、解答题：（本大题5小题，共50分） 23. 先化简，，然后从 范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 24. 如图，点D是 内一点， ， ，垂足分别为E，F，点M，N分别在 的两边上，且，．求证： ． 25. 阅读理解： 已知，求的值． 解：因为 ， 所以，即． 因为， 所以． 参考上述过程解答下列问题： （1）若． ①________； ②求的值； （2）已知，，求的值． 26. 某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了 元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕．两批文具的售价均为每件15元． （1）问第二次购进了多少件文具？ （2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？ 27. 如图（1），，， ，．点 在线段 上以的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段 上由点 向点 运动．它们运动的时间为． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当 时， 与是否全等，并判断此时线段 和线段 的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“， ”改为“”，其他条件不变．设点 的运动速度为，是否存在实数 ，使得 与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年甘肃省平凉市庄浪县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列运算中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查单项式除以单项式，合并同类项，幂的乘方；根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 若分式的值为0，则 （ ） A. 2或 B. 2 C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据且，计算即可． 本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零，且分母不为零是解题的关键． 【详解】解：分式的值为0， 故且， 解得 ， 故选：B． 4. 是第五代移动通信技术，应用 网络下载一个的文件只需要秒，下载一部高清电影只需要1秒．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中， 为整数，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时， 是非负数，当原数绝对值小于1时， 是负数，表示时关键是要正确确定 的值以及 的值．本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中， 为整数是关键． 【详解】解：将用科学记数法表示应为， 故选：A． 5. 如图是某支架的侧面示意图，经测量，，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：C． 6. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐项分析即可． 【详解】A．，不是因式分解； B．，不是因式分解； C．是因式分解； D．的右边不是积的形式，不是因式分解． 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 7. 如图，在等边 中， 平分 交 于点D，过点D作 于点E，且，则 的长为（　　） A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 7.5 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含 角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 由在等边三角形 中， ，可求得，则可求得 的长，又由 平分 交 于点 ，由三线合一的知识，即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 平分 交 于点 ， ， ． 故选：C． 8. 若把分式中的 和 都扩大 倍，那么分式的值（　　） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是对分式的性质的理解，根据分式的基本性质分式中元素扩大或缩小 倍，只要将原数乘以或除以 ，再代入原式求解即可． 【详解】解：把原式中的 、 分别换成、，那么 把分式中的 和 都扩大 倍，分式的值缩小 倍， 故选：C． 9. 如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，a的恒等式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据公式分别计算两个图形的面积，由此得到答案． 【详解】解：正方形中阴影部分的面积为， 平行四边形的面积为x（x+2a）， 由此得到一个x，a的恒等式是， 故选：C． 【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，正确掌握图形面积的计算方法是解题的关键． 10. 若关于 的方程的解为正数，则 的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解及其解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，理解分式有意义的条件是正确解答的前提． 先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解为正数以及分式有意义的条件确定m的取值范围． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得，， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以，即， 又∵，， 解得：， ∴ ∴ ∴m的取值范围为且 ， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共24分，将答案填在答题卡上） 11. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1. 故答案为：x≠1． 12. 计算：(－2a－2b)3÷2a－8b－3＝____． 【答案】－4a2b6 【解析】 【分析】根据整式的除法运算法则进行运算即可. 【详解】(－2a－2b)3÷2a－8b－3＝﹣8a－6b3÷2a－8b－3=－4a2b6. 【点睛】本题主要考查了整式的除法，牢牢掌握其运算法则是解答本题的关键. 13. 已知，，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法和幂的乘方的逆用，即 ， ，解答的关键是灵活应用同底数幂的除法和幂的乘方的逆用运算．利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对式子进行变形整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：9． 14. 如图：△ABC中，∠A =90°，∠ABD=22°，DE垂直平分BC，则∠C=_____。 【答案】34° 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质，即可求出∠BDC，然后根据垂直平分线的性质可得：DB=DC，最后根据等边对等角和三角形的内角和公式即可求出∠C. 【详解】解：∵∠A =90°，∠ABD=22°， ∴∠BDC=∠A＋∠ABD=112° ∵DE垂直平分BC， ∴DB=DC ∴∠DBC=∠C==34° 故答案为：34°. 【点睛】此题考查的是三角形外角的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握三角形外角的性质、垂直平分线的性质、等边对等角和三角形的内角和定理是解决此题的关键. 15. 如果展开后的结果不含x的一次项，则m的值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】将原式展开，可得，根据题意，可得，即可解答． 【详解】解：， 展开后的结果不含x的一次项， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，正确的计算出展开后的结果是解题的关键． 16. 若关于x的分式方程无解，则实数m=_______． 【答案】3或7． 【解析】 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：方程去分母得：7+3（x﹣1）=mx，整理得：（m﹣3）x=4． ①当整式方程无解时，m﹣3=0，m=3； ②当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1， ∴m﹣3=4，m=7． 综上所述：∴m的值为3或7． 故答案为3或7． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键． 三、解答题（本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，整式的运算： （1）先进行零指数幂，负整数指数幂，乘方，去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先进行完全平方公式和多项式乘以多项式的运算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 如图，在 中， ，请用尺规作图的方法在 上求作一点 ，使得点 到 的距离等于 ．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 作图如下： 【解析】 【分析】根据 ，点 到 的距离等于 ，判定点P一定在 的角平分线上，由此作图即可． 本题考查了角的平分线的判定定理，角的平分线的基本作图，熟练掌握判定，准确作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意， ，点 到 的距离等于 ，判定点P一定在 的角平分线上，则点P即为所求． 19. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式a，再利用平方差公式即可分解因式； （2）先提取公因式 ，再利用完全平方公式即可分解因式． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 【点睛】本题考查分解因式．掌握综合提公因式和公式法分解因式是解题关键． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程两边同乘以化为整式方程，解整 式方程，进行检验即可得解． 【详解】解： 方程两边同乘以得， ， 解得， ， 当 时，， ∴方程的解为： ． 21. 如图，点D、E在 的边 上，求证： ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求证． 【详解】证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ 22. 已知：如图， ． （1）在图中作出 关于y轴对称的； （2）写出点的坐标（直接写答案）： ； ； ； （3）计算 的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3）6.5 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）利用轴对称的性质，画出即可； （2）根据点所在的位置，写出点的坐标即可； （3）分割法求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 由图可知：； 【小问3详解】 的面积为：． 四、解答题：（本大题5小题，共50分） 23. 先化简，，然后从 范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】， 时，原式 ． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的x的值计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∵ ， ∴当 是，原式． 24. 如图，点D是 内一点， ， ，垂足分别为E，F，点M，N分别在 的两边上，且，．求证： ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理，证明得出 是 的角平分线，再由角平分线的性质定理即可得证． 【详解】证明：在与 中， ， ∴， ∴， ∴ 是 的角平分线， 又∵ ， ， ∴ （角平分线上的点到角两边的距离相等）． 25. 阅读理解： 已知，求的值． 解：因为 ， 所以，即． 因为， 所以． 参考上述过程解答下列问题： （1）若． ①________； ②求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）① ；② ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是关键． （1）①根据材料提示，结合完全平方公式的变形计算即可；②根据完全平方公式的计算即可求解； （2）运用完全平方公式的变形计算即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴，即， ∵， ∴； ②∵， ∴， 由①可知，， ∴原式； 【小问2详解】 ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴原式． 26. 某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了 元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕．两批文具的售价均为每件15元． （1）问第二次购进了多少件文具？ （2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？ 【答案】（1）第二次购进200件 （2）文具店老板在这两笔生意中共盈利1000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系，列出方程求解是解题的关键． （1）设第一次购进 件文具，则第二次购进 件．得出第一次购进单价为，第二次购进单价为，根据“第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了 元”列出方程求解即可； （2）先分别求出两个购进的单价，再根据总利润=第一次利润+第二次利润，列出算式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设第一次购进 件文具，则第二次购进 件． 依题意有 ， 解得： 经检验知 是原方程的解， ∴， 即则第二次购进200件． 【小问2详解】 解：由（1）知第一次购进文具的进价为：（元）， 第二次购进文具的进价为：（元）， ∴ 文具店老板在这两笔生意中共盈利：（元）， 答：文具店老板在这两笔生意中共盈利1000元． 27. 如图（1），，， ，．点 在线段 上以的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段 上由点 向点 运动．它们运动的时间为． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当 时， 与是否全等，并判断此时线段 和线段 的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“， ”改为“”，其他条件不变．设点 的运动速度为，是否存在实数 ，使得 与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 与全等，线段，理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． （ ）由速度和时间求得，进而可得 ，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得，进而可得， 即； （ ）分两种情况讨论： 时， ， 和  时， ，利用对应边相等的关系建立方程组求解即可； 【小问1详解】 解： 与全等，线段，理由： 当 时，，， 由题意得 ， 在 和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： 若， ∴，， ， 解得； 若， ∴， ， ， 解得， 综上所述，存在或使得 与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $