第1章 相交线与平行线（单元测试·培优卷）-2024-2025学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

第1章 相交线与平行线（单元测试·培优卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（21-22七年级下·北京西城·期中）我们德胜中学的校训是“厚德博物，自胜行远”，下图是我们德胜中学的校徽，将它通过平移可得到的图形是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（　　）    A．7 B．2 C．5 D．6 3．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图，将一纸条沿折痕折叠，时对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是（     ）    A． B． C． D． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，点，在直线上，直线外有一点，连接，，，是钝角，将三角形沿着直线向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图所示，D是直线上一点，，，则下列结论中错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与相等 D．平分 6．（22-23七年级下·河北唐山·期中）如图所示，将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中和的两个角顶点O重合在一起．三角板保持不动，将三角板绕点O顺时针方向旋转一周的过程中，若，则的大小为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 7．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，于C，E是上一点，，，，，则与与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（22-23七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸备先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（21-22七年级下·四川绵阳·期中）如图，在四边形中，，平分，点H在直线上，满足，若，则（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11.（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在内部有一点C，外部有一点D，连接，．平分，与交于点E，已知，，则的度数为 ． 12．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线和是两条互相平行的直线，点和分别在直线和上，是平面内一点（不在两条直线上），满足，，则 度． 13．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）如图所示，在台阶面上（阴影部分）铺上地毯，至少需要 平方米的地毯．（各级台阶等高等宽）    14．（23-24七年级上·河南新乡·期末）已知直线，为两直线间一定点，，若点为平面内一动点，且满足，连接，，则的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为 ． 15．（22-23七年级下·上海闵行·期末）我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角．如图：一辆车在一段绕山公路行驶（沿箭头方向）时，在点B、C和D处的转弯角分别是、和，且，则、和之间的数量关系是 ．    16．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知，连接．分别是的角平分线（点在平行线之间），已知，    （1）当时， 度． （2）与之间的关系式为 ． 17．（22-23七年级下·河南开封·期末）如图，在中，已知，点E，F分别在边上．将沿直线折叠，使点B落在点D处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接．若，则的值为 ．    18．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图①，，分别在上，且．如图②，将绕点以的速度逆时针转动，将绕点以的速度逆时针转动，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当旋转至所在射线后，二者同时停止转动，则在旋转过程中，当与互相平行或互相垂直时，的值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级上·四川巴中·期末）如图，直线交于点，平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·陕西汉中·期末）已知，平分交的延长线于点，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的数． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）与相等吗?为什么? （3）若，，求的大小． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，将三角形平移，使点沿的延长线移至点得到三角形，连接，交于点，平分． （1）猜想与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，将三角形平移，使点沿移至点得到三角形．如果平分，那么平分吗？为什么？ 23．（本小题满分10分）（24-25七年级下·全国·单元测试）（新考向）如图①，把一块含角的直角三角尺的边放置于长方形直尺的边上． （1）填空：______°，______°； （2）现把三角尺绕点逆时针旋转． ①如图②．当，且点恰好落在边上时，求，的度数（结果用含的式子表示）； ②当时，是否会存在三角尺某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由． 24．（本小题满分12分）（23-24七年级下·江西上饶·阶段练习）问题情境： 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 探究发现： 如图1，小明把三角尺中角的顶点放在上，边与分别交于点． （1）若，求的度数． （2）如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 延伸拓展： （3）如图3，当的延长线与交于点时，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C C D C C A D 1．C 【分析】按照图形的平移逐项判断即可． 解：A、校徽左右交换位置得到A，故选项错误，不符合题意； B、向下旋转得到，故选项错误，不符合题意； C、故选项正确，符合题意； D、向右旋转故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点拨】此题考查了图形的平移，解题的关键是熟知图形平移的性质． 2．A 【分析】根据垂线段最短进行分类讨论即可得到答案． 解：根据题意可画图如下：   ∵，， ∴的最小值为3， 根据题意分类讨论： 当时，射线上不存在满足条件的点； 当时，射线上存在一个点； 当时，射线上存在两个点； 当时，射线上存在一个点； 结合选项时，在射线上只存在一个点， 故选：A． 【点拨】本题考查垂线段最短，熟练运用垂线段最短，能够根据题意进行分类讨论是解此题的关键． 3．D 【分析】根据翻折的性质和平行线的判定逐一进行判断即可． 解：A. ， ； B．由翻折可知：， ， ， ，故B选项不符合题意； C．由翻折可知：， ， ， ， ，故C选项不符合题意； ， ， ， 不平行，故D选项符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 4．C 【分析】本题考查平移的性质．掌握平移的性质和恰当分类是解题的关键． 分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 解：当点在线段上时， ∵， ， ， ． 当点在的延长线上时， ∵， ， ， ． 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查余角和补角以及垂线的定义，解决此题的关键是熟练掌握这些知识点并灵活运用． A．利用补角的定义即可得到答案；B．利用余角的定义即可得到答案；C．没有可以验证相等的条件；    D．利用等角的补角相等即可得出答案． 解：A ∴，故本选项不符合题意； B．∵，     ∴，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．∵， 同理可得， ∴平分，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．D 【分析】由题意，作图如图1，2，根据平行线的性质、三角板的度数进行计算求解即可． 解：如图1，，      ∴， ∴， 如图2，，    ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或； 故选：D． 【点拨】本题考查了平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 7．C 【分析】利用可以证明，，从而得到，再由，，推出，从而得到，继而选出选项. 解：过点H作    ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 同理可得： 又∵， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ 故选：C． 【点拨】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 8．C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过作，过作，由，可得，由，可得，，由可得，，最后根据求解即可． 解：如图，过作，过作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．A 【分析】根据各角的关系可求出的度数，由，利用两直线平行，同旁内角互补可求出的度数． 解：根据图2可知折叠了2次，即，， 根据图可知折叠了次还差个， ． ， ． 故选：A． 【点拨】本题考查了平行线的性质、折叠的性质以及角的计算，通过角的计算，求出的度数是解题的关键． 10．D 【分析】如图：当点H在点F的上方时，设，根据时平行线的性质和垂直的性质可得、，再根据角平分线的性质可得即，再结合可得，然后可得，再根据列式即可求得k；同理可求当点H在点F的下方时k的值． 解：如图，当点H在点F的上方时，设， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点H在点F的下方时， 同法可得， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线和灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键． 11．/56度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据等量代换可得，根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握“平行于同一条直线的两直线平行”是解题的关键． 过点作，根据平行于同一条直线的两直线平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，求得，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解． 解：如图：过点作，则， ∵，， ∴， 则， ∵， ∴； 故答案为：． 13． 【分析】本题考查求长方形的面积，根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成矩形，求解即可． 解：把台面上的地毯展开， 长米，宽米， ∴面积平方米， 故答案为：． 14．或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平线的定义，根据题意可分两种情况进行讨论，一种是点F在下方，一种是点F在上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质，理解角平分线的定义是解决问题的关键． 解：当点F在下方时， 过点F作，过点E作，如图1所示： 设， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当点F在上方时，过点E作，如图2所示： 设， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上所示：的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为或， 故答案为：14°或37°． 15． 【分析】根据转弯角的定义及平行线的性质即可得出α、β和θ三角的关系式． 解：根据题干中的“规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角”可知，在点B、C和D处的转弯角分别是α、β和θ，如下图所示．    过点C作，则（两直线平行，则同位角相等）． ∵， ∴， ∴（两直线平行，则内错角相等）， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行线的性质和对转弯角名称定义的理解，解题的关键是利用平行线的性质把相关的角联系在一起． 16． 117 【分析】（1）根据可得，从而得，进而即可求解； （2）过点作，根据题意得出，结合平行线的性质即可得到答案． 解：（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：117； （2）由（1）可知：，过点作    ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∵ ∴ 即 ∴ 故答案为：． 【点拨】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是关键． 17．12 【分析】由折叠的性质和平移的性质可得、、，再根据可得，再结合可得，最后代入即可解答． 解：由折叠的性质可得：； 由平移的性质可得：，， ∴， ∴ ∵，即， ∴，， ∴． 故答案为12． 【点拨】本题主要考查了折叠的性质、平移的性质等知识点，理解折叠和平移的性质是解答本题的关键． 18．2或6.5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、平行线的性质等知识，分与互相平行及与互相垂直两种情况，找出关于的一元一次方程是解题的关键．利用“旋转时间的度数射线的旋转速度”，可求出转至所在射线所需时间，当运动时间为秒时，，，当与互相平行时，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；当与互相垂直时，由，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．综上即可得出答案． 解：（秒）， 当运动时间为秒时，，， 当与互相平行时，， 即， 解得； 当与互相垂直时，， 即， 解得． ∴当与互相平行或垂直时，的值为2或6.5． 故答案为：2或6.5． 19．（1）；（2） 【分析】本题考查角平分线的定义，垂直的定义，对顶角性质等知识； （1）先根据角平分线的定义得出，再求出，根据垂直得出，进而根据平角得出答案； （2）先求出，再得出，根据对顶角相等得出，进而根据角平分线的定义得出答案． 解：（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 20．（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定，角平分线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，即可证明； （2）设，先由平行线的性质得到，则由角平分线的定义得到，再根据平行线的性质得到，则，求出x的值即可得到答案． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解；∵， ∴可设， ∵， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 21．（1），见分析；（2）相等，见分析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等， （1）根据同旁内角互补，两直线平行进行推理证明； （2）根据对顶角和已知条件得到，则可证明，由平行线的性质推出，即可求证； （2）根据角之间的关系求得，利用平行线的性质求得，即可求解． 解：（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）已证 ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 22．（1），理由见分析；（2）平分，理由见分析 【分析】本题主要考查平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握并根据平移的性质得出对应角、对应边之间的关系是解题的关键． （1）由平移的性质，得，，根据角平分线，可知进而得出，进而得出答案； （2）由平移的性质，得，，从而知道，根据角平分线，可知，进而得出，即平分． 解：（1）解：．理由如下： 平分 由平移的性质，得， （2）解：平分．理由如下： 由平移的性质，得， 平分 ，即平分 23．（1）120；90；（2）①，；②存在，当时，；当时，，；当时， 【分析】本题考查了角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键． （1）根据平行线的性质和邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）①根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到； ②结合图形，分、、三条边与直尺垂直讨论求解． 解：（1）解：∵，， ∴，； 故答案为，； （2）解：①如图2．   ， ， ， ，， ， ； ②当时，， ， ∴；    当时， ，；      当时， ． 24．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点C作，得到，推出，根据，，即可得到，即可求解； （2）过点C作，同（1）可证，根据邻补角的定义即可求解； （3）过点A作，得到，推出，进而推出，由平行线的性质，即可得出结论． 解：（1）如图1，过点C作， ， ， ， ，， ； （2）如图2，过点C作， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，过点A作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，平行线的性质是几何中角度转化的重要依据，对于两平行线间有折线的问题，一般在“拐点”处作平行线转化角． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$