专题04 实数压轴四大类型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（人教版2024）

专题04 实数压轴四大类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、实数与数轴 1 类型二、实数的估算 5 类型三、新定义问题 6 类型四、实数的综合应用 11 压轴能力测评（8题） 14 考点1：实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应。 考点2：无理数的估算方法-二分法(夹逼法) 二分法是一种通过不断缩小范围来逼近无理数值的方法。以 为例: 1.确定范围:1²=1<2，2²-4>2，所以在 1和2 之间。 2.取中点:1.52=2.25>2，所以 在1和1.5 之间。 3.继续细分:1.252=1.5625<2，所以 在1.25 和 1.5 之间。 4.重复上述过程，直到达到所需的精度 最终可以估算出 ≈ 1.41421356。 类型一、实数与数轴 【典例1】（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一只蜗牛从点A沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点B，点A表示． 设点B所表示的数为m． (1)实数m的值为______； (2)求的值； (3)若在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数．求的立方根． 【变式1-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 的结果为 （    ） A．c B． C． D． 【变式1-2】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图，边长为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上，(点在点的右侧)且，则点所表示的数为(   ) A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24七年级下·贵州遵义·期中）阅读下面的文字，解答问题，如图（1），把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______； (2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A，B两点表示的数分别为______，______； (3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正方形的边长为______；请用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上找到表示的点（保留作图痕迹）． 类型二、实数的估算 【典例2】（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）为正整数，且，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【变式2-1】（23-24七年级下·云南昭通·期末）估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式2-2】（2024·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式2-3】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）若，为两个连续的正整数 ，则 ． 类型三、新定义问题 【典例3】（2024·山西长治·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 商品条形码的“秘密” 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确．                  性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）： 例：条形码（X为校验码）． 步骤1：自左向右编号． 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s， ． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t， ． 步骤4：求与t的和m， ． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n， ． 步骤6：求n与m的差就是校验码X． ，即校验码X的值为2． 任务： (1)若某商品的条形码为，求校验码Y的值 ． (2)如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为 ．（用含a的代数式表示） (3)如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是 ． 【变式3-1】（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 【变式3-2】（22-23八年级上·江苏盐城·期中）下面是小明探索的近似值的过程： 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知．因此可设，画出如下示意图． 由图中面积计算， 另一方面由题意知 所以 略去，得方程． 解得．即． (1)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） (2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算___________．（用a、b的代数式表示） 【变式3-3】（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）对于任意实数，用“#”和“”定义新运算如下： (1)，如．已知计算的结果为19，求的值． (2)，如．已知计算的结果为，求的值． 类型四、实数的的综合应用 【典例4】（21-22七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：，即． 的整数部分为2，小数部分为． ． 的整数部分为1． 的小数部分为． 解决问题： (1)填空：的整数部分是______，的小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【变式4-2】（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志．是第一个无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分．已知实数满足等式. 根据上述信息，解答下面的问题： (1)求的值； (2)若实数的整数部分是m，小数部分是n，求的绝对值. 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积）为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于 两个相邻的整数之间． 3．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么 ． 4．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）下面是李老师带领同学们探索的近似值的过程． 因为面积是2的正方形的边长是，且，所以设，可画出如图所示的示意图． 由各部分面积之和等于总面积，可列方程． 因为，所以认为是个较为接近0的数，即，故略去，可得方程，解得，即． 请你仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 5．（23-24七年级下·贵州黔西·阶段练习）先阅读然后解答提出的问题： 设a、b是有理数，且满足，求ba的值． 解：由题意得， 因为a、b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数， 由于是无理数，所以a-3=0，b+2=0， 所以a=3，b=﹣2， 所以． 问题：设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值． 6．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 7．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下列材料：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定实数m的整数部分记为．小数部分记为如：，． 解答以下问题： (1)_________，_________； (2)求的值． 8．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）阅读材料，并解决下列问题： 在学习无理数的估算时用“无限逼近法”，借助计算器可以估算无理数的近似值，我们还可以用下面的方法来探索无理数的近似值． 我们知道，面积为2的正方形的边长为，易知．因此可设，并画出了如图1所示的示意图．根据图1中面积关系，得．忽略去，得．解得 ∴． 易知．因此可设，并画出如图2所示的示意图． … (1)上述分析过程中，主要运用的数学思想是__________； A．数形结合思想    B．统计思想     C．分类讨论思想 (2)把上述内容结合如图2所示的示意图，计算出更加准确的近似值（结果精确到） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 实数压轴四大类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、实数与数轴 1 类型二、实数的估算 5 类型三、新定义问题 6 类型四、实数的综合应用 11 压轴能力测评（8题） 14 考点1：实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应。 考点2：无理数的估算方法-二分法(夹逼法) 二分法是一种通过不断缩小范围来逼近无理数值的方法。以 为例: 1.确定范围:1²=1<2，2²-4>2，所以在 1和2 之间。 2.取中点:1.52=2.25>2，所以 在1和1.5 之间。 3.继续细分:1.252=1.5625<2，所以 在1.25 和 1.5 之间。 4.重复上述过程，直到达到所需的精度 最终可以估算出 ≈ 1.41421356。 类型一、实数与数轴 【典例1】（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一只蜗牛从点A沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点B，点A表示． 设点B所表示的数为m． (1)实数m的值为______； (2)求的值； (3)若在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数．求的立方根． 【答案】(1) (2) (3)的立方根为2 【分析】本题考查数轴，非负数及二次根式的运算，解题关键是熟练掌握绝对值与平方根的意义． （1）通过，在数轴上表示的数进行运算． （2）化简绝对值进行运算． （3）根据非负数的意义进行解答． 【详解】（1）解：点在点右侧2个单位处， 点所表示的数为：，即． 故答案为：． （2）解：，则，， ； 的值为2． （3）解：与互为相反数， ， ，且， 解得：，， ， 的立方根为2． 【变式1-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 的结果为 （    ） A．c B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根和整式的加减计算，先根据数轴推出，据此先把所求式子计算算术平方根，再去绝对值，最后根据整式的加减计算法则化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：A． 【变式1-2】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图，边长为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上，(点在点的右侧)且，则点所表示的数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴．根据题意得到 ，根据实数与数轴的概念即可求解． 【详解】解： ，， ， 点表示的数为，且点在点的右侧， 点所表示的数为． 故选：B． 【变式1-3】（23-24七年级下·贵州遵义·期中）阅读下面的文字，解答问题，如图（1），把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______； (2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A，B两点表示的数分别为______，______； (3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正方形的边长为______；请用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上找到表示的点（保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)， (3)1，作图见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数与数轴是一一对应的，正确理解算术平方根的定义、实数与数轴的关系及正确进行实数运算是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义解答； （2）先表示出线段的长度，再通过计算得出点所表示的数； （3）根据题意可得图中阴影部分正方形的边长，先确定长为的线段表示方法，再在数轴上找表示的点． 【详解】（1）解：∵面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即， 故答案为：； （2）解：如图，设数轴原点为，数1表示的点为， ∵图中小正方形对角线长为， ∴， ∴，， ∴，两点表示的数分别为和， 故答案为：，； （3）解：根据图3作法，则图中阴影部分正方形的边长为； 图3拼成的大正方形面积为5， 则大正方形边长为， 即图3裁出的长方形的对角线长为， 则可利用如下图所示作图： 其中，，， ∴， ∴点表示的数为． 类型二、实数的估算 【典例2】（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）为正整数，且，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据判断的值即可．本题主要考查估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． 【详解】解： ， ， 为正整数，且， ， 故选：B． 【变式2-1】（23-24七年级下·云南昭通·期末）估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，根据无理数的估算方法得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则， 故选：C． 【变式2-2】（2024·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题主要查了无理数的估算．根据无理数的估算方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值在3和4之间． 故选：C 【变式2-3】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）若，为两个连续的正整数 ，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，估算，即可求解． 【详解】解：∵，，． ∴，． ∴． 故答案为：． 类型三、新定义问题 【典例3】（2024·山西长治·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 商品条形码的“秘密” 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确．                  性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）： 例：条形码（X为校验码）． 步骤1：自左向右编号． 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s， ． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t， ． 步骤4：求与t的和m， ． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n， ． 步骤6：求n与m的差就是校验码X． ，即校验码X的值为2． 任务： (1)若某商品的条形码为，求校验码Y的值 ． (2)如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为 ．（用含a的代数式表示） (3)如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是 ． 【答案】(1)0 (2) (3)5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握新定义是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）根据新定义列代数式求解； （3）根据新定义列方程求解． 【详解】（1）解：步骤1：自左向右编号为： 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 2 0 1 5 2 4 6 1 0 2 Y 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s， ． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t， ． 步骤4：求与t的和m， ． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n， ． 步骤6：求n与m的差就是校验码Y． ，即校验码Y的值为0， 故答案为：0； （2）∵ ∴ 故答案为：； （3）解：设这个数字为x， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：5． 【变式3-1】（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 【答案】(1)不是，是 (2)，（答案不唯一） (3)①10② 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握共轭实数的定义，是解题的关键． （1）根据共轭实数的定义，进行判断即可； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数即可； （3）先去括号，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：与不是共轭实数；与是共轭实数； 故答案为：不是，是； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数可以为：与； 故答案为：，（答案不唯一）； （3）①原式； ②原式． 【变式3-2】（22-23八年级上·江苏盐城·期中）下面是小明探索的近似值的过程： 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知．因此可设，画出如下示意图． 由图中面积计算， 另一方面由题意知 所以 略去，得方程． 解得．即． (1)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） (2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算___________．（用a、b的代数式表示） 【答案】(1)2.25，见解析 (2) 【分析】（1）参照题目的过程解题即可． （2）把条件的过程中的数字换成对应的字母解题即可． 【详解】（1）解：面积是5的正方形的边长是， 设，如图，面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形， ∵， 而， ∴， 略去，得方程，解得， 即． （2）解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查用几何方法求无理数的近似值，能够读懂题意是解题关键． 【变式3-3】（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）对于任意实数，用“#”和“”定义新运算如下： (1)，如．已知计算的结果为19，求的值． (2)，如．已知计算的结果为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算： （1）根据题意可得方程，再根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据题意可得方程，再根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得． ， ，则， ． （2）解：由题意，得． ， ，则， ， ． 类型四、实数的的综合应用 【典例4】（21-22七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【答案】(1)，，，； (2)见解析 【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可； （2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可． 【详解】（1）由面积公式，可得 ∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即． 故答案为：，，，； （2）小敏同学的做法，如图： 排列形式如图（3），如图： 画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：，即． 的整数部分为2，小数部分为． ． 的整数部分为1． 的小数部分为． 解决问题： (1)填空：的整数部分是______，的小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，正确进行估算是解此题的关键． （1）估算出，，即可得解； （2）估算出，求出，，从而得出、的值，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是， ∴，即， ∴的小数部分是； （2）解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的整数部分为b， ∴，， ∴． 【变式4-2】（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志．是第一个无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分．已知实数满足等式. 根据上述信息，解答下面的问题： (1)求的值； (2)若实数的整数部分是m，小数部分是n，求的绝对值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了非负数的性质、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由绝对值、算术平方根、平方的非负性得出，，，据此求解即可； （2）由（1）可得，再结合即可得解． 【详解】（1）解：，，，， ，， ，，， 解得：，，， ； （2）解：由（1）可得 ， 的整数部分是3， 的整数部分是2， ，， 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长为： ， ∵， ∴， ∴大正方形的边长最接近的整数是4， 故选：A． 2．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积）为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于 两个相邻的整数之间． 【答案】3和4/4和3 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，掌握正方体体积的计算方法以及立方根的定义是正确解答的关键．根据正方体体积的计算方法以及立方根的定义得出正方体的棱长为，再利用立方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：由题意可知，这个正方体的体积为， ∴这个正方体的棱长为， 由于，即， ∴该正方体铁块的棱长大约位于至之间． 故答案为：3和4． 3．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么 ． 【答案】18 【分析】本题考查了实数的新定义运算，算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式根据题中的新定义计算列式计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 故答案为：18． 4．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）下面是李老师带领同学们探索的近似值的过程． 因为面积是2的正方形的边长是，且，所以设，可画出如图所示的示意图． 由各部分面积之和等于总面积，可列方程． 因为，所以认为是个较为接近0的数，即，故略去，可得方程，解得，即． 请你仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】，图及过程见解析 【分析】本题考查了估算无理数的大小．利用面积法和方程的思想，构建一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵面积是的正方形的边长是，， ∴设， 画出示意图如图： 由各部分面积之和等于总面积，可列方程， ∵，所以认为是个较为接近0的数，即，故略去， 可得方程，，解得， 即． 1 5．（23-24七年级下·贵州黔西·阶段练习）先阅读然后解答提出的问题： 设a、b是有理数，且满足，求ba的值． 解：由题意得， 因为a、b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数， 由于是无理数，所以a-3=0，b+2=0， 所以a=3，b=﹣2， 所以． 问题：设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值． 【答案】7或-1. 【分析】根据题目中给出的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，进而可求x+y的值. 【详解】解：∵， ∴， ∴=0，=0 ∴x=±4，y=3 当x=4时，x+y=4+3=7 当x=-4时，x+y=-4+3=-1 ∴x+y的值是7或-1. 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行解答. 6．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 【答案】(1)1 (2)17 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键． （1）仿照材料估算即可得到答案； （2）结合（1）求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）∵，即， ∴的整数部分为1， 故答案为：1； （2）， ， ， ， ， ， ， 7．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下列材料：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定实数m的整数部分记为．小数部分记为如：，． 解答以下问题： (1)_________，_________； (2)求的值． 【答案】(1)3，； (2)1． 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是理解题意，掌握估算无理数大小的方法，正确计算． （1）根据得，即可得的整数部分为3，根据得，即可得的整数部分为； （2）根据得，可得，根据题意得，进行计算即可得． 【详解】（1）解：∵， 即， 的整数部分为3， ∴， ∵， 即， 的整数部分为， ∴， 故答案为：3，； （2）解：∵， 即， 的整数部分为， ∴， ∴ ． 8．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）阅读材料，并解决下列问题： 在学习无理数的估算时用“无限逼近法”，借助计算器可以估算无理数的近似值，我们还可以用下面的方法来探索无理数的近似值． 我们知道，面积为2的正方形的边长为，易知．因此可设，并画出了如图1所示的示意图．根据图1中面积关系，得．忽略去，得．解得 ∴． 易知．因此可设，并画出如图2所示的示意图． … (1)上述分析过程中，主要运用的数学思想是__________； A．数形结合思想    B．统计思想     C．分类讨论思想 (2)把上述内容结合如图2所示的示意图，计算出更加准确的近似值（结果精确到） 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了数学常识与无理数的估算； （1）由示意图可知运用的数学思想是数形结合思想； （2）根据图2中面积关系，得，整理后略去，求出y的近似值，然后根据可得答案． 【详解】（1）解：上述分析过程中，主要运用的数学思想是数形结合思想， 故选：A； （2）解：根据图2中面积关系，得， 整理得：， 略去，得， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$