专题03 平方根与立方根压轴五大类型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（人教版2024）

专题03 平方根与立方根压轴五大类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、平方根的非负性 1 类型二、探究性问题 3 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 5 类型四、平方根与立方根的综合应用 7 类型五、平方根与立方根的实际应用 10 压轴能力测评（15题） 12 考点1：平方根的的性质 考点2：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 考点3：立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 例如：，，则 类型一、平方根的非负性 【典例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了利用算术平方根的非负性求值，根据算术平方根的非负性先求得a、b的值，然后再代值计算即可． 【详解】解：， ， 解得， ． 【变式1-1】（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）若，则的算术平方根为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，算术平方根的定义，根据二次根式有意义的条件列不等式组求解，确定x和y的值，然后代入求值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5． 故答案为：5． 【变式1-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足关系式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出a，b和c的值，然后代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 所以． 【变式1-3】（24-25八年级上·河南开封·期中）已知． (1)求a的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，求一个数的平方根． （1）依据算术平方根的被开方数是非负数，即可得到a的值； （2）先求得b的值，进而得出的平方根． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：由可得， ∴， ∴， ∴的平方根是． 类型二、探究性问题 【典例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）根据算术平方根的定义得， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 所以由可知， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， 所以的值为600． 【变式2-1】（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中），则 ． 【答案】 【分析】此题考查了算术平方根的定义，求一个数的近似数，掌握算术平方根的定义是本题的关键．根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可． 【详解】解：∵， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）若，，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，立方根的规律问题．根据被开立方的数的小数点向左每移动3位，则开立方的结果的小数点向左移动1位，被开立方的数的小数点向右每移动3位，则开立方的结果的小数点向右移动1位；据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴． 故答案为： ；． 【变式2-3】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．先求出的平方根，再求出的平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 【典例3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_____． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的小数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)图见详解； (3)1； 【分析】本题考查平方根的定义及正方形边长与平方根的应用，根数小数部分规律题： （1）根据正方形图形得到的面积即可得到边长； （2）根据边长为的格点正方形得到面积为8，即可得到减去的三角形面积和也为8，每个三角形面积为2，即可得到边长为2即可得到答案； （3）根据得到与的小数部分代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由图形可得， ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵画边长为的格点正方形， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的两直角边为2，故图形如图所示， （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式3-1】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 【变式3-2】（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 【答案】（1）10；；（2）；2； 【分析】本题考查了作图，无理数等知识． （1）根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积即可； （2）令正方形的边长为即可，再根据算术平方根的估算即可求解． 【详解】解：（1）面积为， 边长为：； 故答案为：10；； （2）正方形如图所示， 面积为， 边长为：； ， 该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为． 故答案为：；2； 类型四、平方根与立方根的综合应用 【典例4】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是，算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根． （1）根据立方根和算术平方根的定义得出，，求解即可； （2）先求出的值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，算术平方根是3． ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴的平方根为． 【变式4-1】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义； （1）根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【详解】（1）解：是的算术平方根， ， 解得：， 的立方根是， ∴，即 解得：； （2），， ， 的立方根是． 【变式4-2】（24-25八年级上·全国·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根据立方根和算术平方根求原数，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此列式求出a、b的值即可； （2）根据（1）所求得到的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵的算术平方根是3， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【变式4-3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是3，求： (1)a和b； (2)的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的综合应用，熟记相关定义即可． （1）平方根是，的立方根是3，即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解： 的平方根是， ， 的立方根是3， ， 将代入，解得； （2）解： ，， ， 的算术平方根是， 的算术平方根是 类型五、平方根与立方根的实际应用 【典例5】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【答案】(1) (2)解：不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析 【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键． （1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案； （2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形， 大正方形的边长为； （2）解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解得或（负值，舍去），即长方形的长为，宽为， ∵，不符合题意， ∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 【变式5-1】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 坐标系中两点间的距离公式 如果平面直角坐标系内有两点，那么两点的距离． 例如：若点，则． 任务： (1)若点，则A，B两点间的距离为______． (2)若点，点B在y轴上，且A，B两点间的距离是5，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)点B的坐标为或 【分析】本题考查了两点间的距离公，算术平方根的应用； （1）直接根据两点间的距离公式求解即可； （2）设点B的坐标为，再利用两点间的距离公式列方程求解即可． 【详解】（1）由两点间距离公式得： ∴点，则A，B两点间的距离为 （2）设点B的坐标为 由两点间距离公式得：，解得： ∴点B的坐标为或 【变式5-2】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【答案】(1)大约需要4秒 (2)大约2.8秒 【分析】本题考查了平方根的应用，理解公式，正确代入求值是解此题的关键． （1）将米代入得：，即，计算即可得解； （2）先求出米，再将米代入得，即，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：把米代入得：，即， 解得：（负值舍去）， 答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入得：，即， 解得（负值舍去）， ∴秒， 答：该物品坠落地面用了大约2.8秒． 【变式5-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一个底面积为、高为的长方体容器中装满水，现需要清洗该容器，把水全部倒入一个正方体容器中．如果正方体容器正好被装满，求正方体容器的棱长． 【答案】正方体容器的棱长为 【分析】本题考查了立方根的应用．设正方体容器的棱长为，依题意列方程求解即可． 【详解】解：设正方体容器的棱长为． 依题意，得， 解得． 故正方体容器的棱长为． 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由得到，即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·北京顺义·期中）已知：，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了乘方、算术平方根的非负性、代数式的值，熟练掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 解得，，， ∴． 故答案为：7． 3．（22-23八年级上·湖南郴州·期末）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 【答案】35 【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的最大整数为35． 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键． 4．（22-23七年级下·广东广州·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如： ，，． (1)仿照以上方法计算：_________；_________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1． (2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？ 【答案】(1)5，7 (2)4次之后结果为1． 【分析】（1）先计算和估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义对290进行连续求根整数，可得4次之后结果为1． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：5，7； （2）解：第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， 答：对290连续求根整数，4次之后结果为1． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的算术平方根的计算能力． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，为有理数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了被开方数的非负性，熟练掌握被开方数的非负性是解答本题的关键． 根据被开方数的非负性，求出、的值，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得， ． 6．（23-24七年级下·江西宜春·期末）【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法； （1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数，可把原式化为，再结合算术平方根的含义可得答案． 【详解】解：（1），则a的取值范围是； 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：， ∴； （3）∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 7.（22-23七年级下·福建莆田·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． 8．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______； (2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______； (3)已，，，则______，______． 【答案】(1)倍 (2)； (3)； 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． （1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵ （精确到）， ∴ ； ； （3）解：∵ ∴；； 9．（23-24七年级下·吉林白山·期末）已知的算术平方根为3，的立方根为4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由算术平方根的定义得出，即可得出的值，由立方根的概念得出，即可得出的值； （2）先求出的值，再由平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：的算术平方根为3， ， 解得， 的立方根为4， ， ， 解得， ，． （2）解：，， ， 的平方根是． 10．（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是4，求： (1)a、b的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义，准确计算． （1）根据的算术平方根是，的立方根是，得出，，求出结果即可； （2）把，代入求出，然后求出的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 11．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1)或 (2)秒 【分析】本题考查平方根及应用， （1）由平方根的知识可得，从而求出方程的解； （2）将代入，得到，再根据平方根的定义求出t的值即可； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ∴或； （2）根据题意，得：， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 12．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，是一块体积为的立方体铁块． (1)求这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为，求另一个小立方体铁块的棱长． 【答案】(1)这个铁块的棱长为 (2)另一个小立方体铁块的棱长为 【分析】本题考查立方根的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （2）根据题意列出式子再进行计算即可． 【详解】（1）根据题意，得 铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）设另一个小立方体铁块的棱长为， 则． ∵， ∴． 答：另一个小立方体铁块的棱长为． 13．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）如图所示正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为． (1)求正方形纸板的边长； (2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为的正方体，求剩余纸板的面积． 【答案】(1)正方形纸板的边长为 (2)剩余纸板的面积为108cm2 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式. （1）根据正方形的面积公式进行解答； （2）由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答. 【详解】（1）解：正方形纸板的面积为， 所以正方形纸板的边长为． （2）拼成的体积为的正方体的棱长为， 所以剩余纸板的面积为． 14．（23-24七年级下·广东东莞·期末）我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？ 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27 216 729 103 106 (1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格： (2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数： ①确定立方根的位数：由猜想是 位数； ②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ； ③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ； ④确定立方根的值：由可得的值为 ． (3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程． 【答案】(1) (2)①两；②7；③2；④27 (3)这个正方形棱长是72 【分析】本题考查立方根的应用，理解立方根的定义是正确解答的前提． （1）根据立方根的意义进行计算即可； （2）利用题目提供的方法进行计算即可； （3）利用立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：要得到的结果，可以按如下步骤思考： ①∵，而， ∴， 由此得是两位数； ②∵19683的个位上的数是3，而只有7的立方的个位上的数是3， ∴的个位上的数是7； ③∵，且， 所以的十位上的数字是2； ④综合以上可得，； （3）解：设这个正方形棱长是x， 根据题意得：， 故， 求解如下： 第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为373248的个位上的数是8，而2的立方的个位上的数是8，所以的个位上的数是2； 第三步：确定十位数字，划去373248后面的三位248得到373，因为，而，所以的十位上的数字是7； 综合以上可得，， 故这个正方形棱长是72． 15．（23-24七年级下·广西柳州·期中）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据以上式子的规律，写出一个类似的等式：______． (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，，若______，则；反之也成立． (3)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：观察规律可写出类似的等式，如， 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （3）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平方根与立方根压轴五大类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、平方根的非负性 1 类型二、探究性问题 3 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 5 类型四、平方根与立方根的综合应用 7 类型五、平方根与立方根的实际应用 10 压轴能力测评（15题） 12 考点1：平方根的的性质 考点2：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 考点3：立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 例如：，，则 类型一、平方根的非负性 【典例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【变式1-1】（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）若，则的算术平方根为 ． 【变式1-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足关系式，求的值． 【变式1-3】（24-25八年级上·河南开封·期中）已知． (1)求a的值． (2)求的平方根． 类型二、探究性问题 【典例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 【变式2-1】（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中），则 ． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）若，，则 ， ． 【变式2-3】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 【典例3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_____． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的小数部分，是的小数部分，求的值． 【变式3-1】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【变式3-2】（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 类型四、平方根与立方根的综合应用 【典例4】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是，算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【变式4-1】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 【变式4-2】（24-25八年级上·全国·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 【变式4-3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是3，求： (1)a和b； (2)的算术平方根． 类型五、平方根与立方根的实际应用 【典例5】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【变式5-1】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 坐标系中两点间的距离公式 如果平面直角坐标系内有两点，那么两点的距离． 例如：若点，则． 任务： (1)若点，则A，B两点间的距离为______． (2)若点，点B在y轴上，且A，B两点间的距离是5，求点B的坐标． 【变式5-2】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【变式5-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一个底面积为、高为的长方体容器中装满水，现需要清洗该容器，把水全部倒入一个正方体容器中．如果正方体容器正好被装满，求正方体容器的棱长． 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京顺义·期中）已知：，则的值为 ． 3．（22-23八年级上·湖南郴州·期末）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 4．（22-23七年级下·广东广州·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如： ，，． (1)仿照以上方法计算：_________；_________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1． (2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？ 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，为有理数，且，求的值． 6．（23-24七年级下·江西宜春·期末）【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 7.（22-23七年级下·福建莆田·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 8．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______； (2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______； (3)已，，，则______，______． 9．（23-24七年级下·吉林白山·期末）已知的算术平方根为3，的立方根为4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 10．（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是4，求： (1)a、b的值； (2)的平方根． 11．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 12．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，是一块体积为的立方体铁块． (1)求这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为，求另一个小立方体铁块的棱长． 13．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）如图所示正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为． (1)求正方形纸板的边长； (2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为的正方体，求剩余纸板的面积． 14．（23-24七年级下·广东东莞·期末）我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？ 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27 216 729 103 106 (1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格： (2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数： ①确定立方根的位数：由猜想是 位数； ②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ； ③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ； ④确定立方根的值：由可得的值为 ． (3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程． 15．（23-24七年级下·广西柳州·期中）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据以上式子的规律，写出一个类似的等式：______． (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，，若______，则；反之也成立． (3)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$