专题05 平面直角坐标系中压轴三大类型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（人教版2024）

专题05 平面直角坐标系中压轴三大类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、点的坐标规律 1 类型二、周期性规律 8 类型三、坐标与图形综合 11 压轴能力测评（13题） 17 考点1：点的坐标规律 题型特点:给出一系列点的坐标，要求学生找出点的坐标变化规律。 考点2：图形的周期性规律题 题型特点:给出一系列图形的周期性变化，要求学生找出周期规律。 类型一、点的坐标规律 【典例1】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图．四边形是正方形，曲线…叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按，，，循环．当时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，…依图中所示规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，从点，．依次扩展下去，则的坐标为 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000架无人机编队划破夜空，展示了中国“智造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合．这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“”方向飞行，，，，…根据这个规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2025个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到，然后接着按图中箭头所示方向跳动即，且每秒跳动一个单位，那么第115秒时跳蚤所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，根据这个规律，第2025个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动个单位长度，那么在第分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）在平面直角坐标系上有个点，点P第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第2024次跳动至的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位长度至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位长度至点，…以此规律跳动下去，点第2025次跳动至点，则点的坐标是 ． 类型二、周期性规律 【典例4】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，长方形的两边分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为……依此类推，经过2022次翻滚后点A对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第99次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知按这样的规律，则点的坐标为（） A． B． C． D． 类型三、坐标与图形综合 【典例5】（24-25七年级下·全国·期末）如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接． (1)点的坐标为_______，点的坐标为_______； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，若是直线上的一个动点，连接，当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 【变式5-2】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，O为原点，已知点，且，将点B向右平移8个单位长度，得到对应点D． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为______； (2)求的面积； (3)若点P为x轴上的一个动点，是否存在点P，使的面积等于面积的2倍，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图1，在平面直角坐标系中，是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，轴交y轴负半轴于，且，． (1)求点C的坐标． (2)如图2，设D为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数（点E在x轴的正半轴）． (3)如图3，当点D在线段上运动时，作交于M点，，的平分线交于N点，则点D在运动过程中，∠N的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中排列，每个正整数对应一个整点坐标，且，均为整数．如数10对应的坐标为，则数对应的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽·期中）如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到长方形的边时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，点A从原点出发，先向右平移1个单位至点，接着又向上平移1个单位至点，然后再向右平移1个单位至点，继续向上平移1个单位至点，…若按此规律进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期中）将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中排列，每个正整数对应一个整点坐标，且，均为整数．如数10对应的坐标为，则数对应的坐标为（   ） A． B． C． D． 6.（24-25八年级上·安徽·期中）如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到长方形的边时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·全国·期末）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8.（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，点A从原点出发，先向右平移1个单位至点，接着又向上平移1个单位至点，然后再向右平移1个单位至点，继续向上平移1个单位至点，…若按此规律进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·云南大理·期末）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点坐标分别为，，，将点右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点． (1)直接写出点的坐标； (2)求的面积； (3)点是一个动点，若的面积等于的面积，请求出点坐标． 10．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，为直线a上一点．点P从点M出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线a向左移动；同时，点Q从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右移动，设运动的时间为t秒． (1)当点P在线段上运动时，______，______（用含t的式子表示）； (2)当点P在线段上移动时，几秒后？ (3)若以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10，求点P的坐标． 11．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）如图，已知四边形是一个长方形，其中顶点A，B的坐标分别和，又点在线段上． (1)如图① ，若点E在线段上，，点，且的面积为21，求出点B的坐标； (2)如图② ，若点F在线段上，，的面积为15，求出a､b之间所满足的关系式． (3)若长方形的面积为54，点B的坐标为，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 12．（22-23七年级下·广西钦州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，分别得到点，的对应点，，连接，，． (1)求点，的坐标； (2)在轴上是否存在一点，使的面积等于四边形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，设点是直线上一动点（点不与点，重合），连接，请直接写出，和之间的数量关系． 13．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，且a，b满足，现将线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位，分别得到A、B的对应点C、D，连接、． (1)求a，b的值； (2)点P是线段上的一个动点（不与B、D重合），求证：； (3)若点Q在线段上，且把四边形分成的两部分，求点Q的坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面直角坐标系中压轴三大类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、点的坐标规律 1 类型二、周期性规律 8 类型三、坐标与图形综合 11 压轴能力测评（13题） 17 考点1：点的坐标规律 题型特点:给出一系列点的坐标，要求学生找出点的坐标变化规律。 考点2：图形的周期性规律题 题型特点:给出一系列图形的周期性变化，要求学生找出周期规律。 类型一、点的坐标规律 【典例1】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图．四边形是正方形，曲线…叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按，，，循环．当时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律的探究．由题得点的位置每4个一循环，经计算得出在第二象限，与，，，…符合同一规律，探究出，，...的规律即可． 【详解】解：由图得，，，，，，，，… 点C的位置每4个一循环， ， ∴在第二象限，与，，，… 符合规律， ∴坐标为． 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，…依图中所示规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标变化的规律，根据所给信息寻求规律是解题的关键．观察坐标的值和变化的情况，找出规律后求解即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，… 观察可知：每4个点为一组， 点，，，． ， 点的纵坐标是0，横坐标是， 点的坐标为． 故选A． 【变式1-2】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，从点，．依次扩展下去，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标．解答此题的关键是首先要确定点所在的象限，和该象限内点的规律，然后进一步推理得出点的坐标． 根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点在第一象限，再根据第一项象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ∵， ∴点在第一象限， 又∵第一象限的点，点，点，…… ∴点． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000架无人机编队划破夜空，展示了中国“智造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合．这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“”方向飞行，，，，…根据这个规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律． 根据各个点的位置关系，可得点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上，且，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，……， 由此发现：点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴点在第四象限的角平分线上， ∴点． 故选：C． 【典例2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2025个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，得出规律第列有个点，且第列最下面的点的坐标为，结合得出第2016个点的坐标为，第2017个点的坐标为，即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：把第一个点作为第一列，点，作为第二列，点，，作为第三列，依次类推，第一列有1个点，第二列有2个点，第三列有3个点，…， 故第列有个点，且第列最下面的点的坐标为， ∵， ∴第2016个点的坐标为，第2017个点的坐标为， ∵， ∴第2025个点的坐标是， 故选：D． 【变式2-1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到，然后接着按图中箭头所示方向跳动即，且每秒跳动一个单位，那么第115秒时跳蚤所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题较难，主要考查了点的坐标的探究性规律，解决本题的关键是正确读懂题意，确定跳蚤运动的顺序及运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间． 根据题意可得到点时，用时秒，到点时，用时秒，到点时，用时秒，到点时，用时秒，依次类推，到点时，用时秒，再确定运动方向，即可求解． 【详解】解：根据题意可得到点时，用时秒， 到点时，用时秒， 到点时，用时秒， 到点时，用时秒， 依次类推，到点时，用时秒， 且当为偶数时，则下面开始向左运动，当为奇数时，则下面开始向下运动， ∵， ∴第110秒时位于的位置， ∵10为偶数，， ∴接下来向左运动5个单位到， 故选：D． 【变式2-2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，根据这个规律，第2025个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标的规律变化，以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右边上点的横坐标的平方，且横坐标为奇数时最后一个点在x轴上，为偶数时，从x轴上的点开始排列，由可写出第2025个点的坐标． 【详解】解：从正方形的观点考虑，∵， ∴第2025个点是横坐标45时，在x轴上的点， ∴第2025个点的坐标为． 故选：B． 【变式2-3】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动个单位长度，那么在第分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型点的坐标．先找出坐标轴上的点所用的时间的规律，再按照运动方向推断求解． 【详解】解：在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向右、向下移动， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向上、向左移动， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向右、向下移动， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向上、向左移动， ， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向上、向左移动， 在第2024分钟时，这个粒子所在位置的坐标是， 故选：A． 【典例3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）在平面直角坐标系上有个点，点P第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第2024次跳动至的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型中点的坐标．设第n次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，”，依此规律即可得出点和的坐标． 【详解】解：设第n次跳动至点， 观察发现： ， ， ，…， ∴，，，（n为自然数）． ∵， ∴，即， 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位长度至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位长度至点，…以此规律跳动下去，点第2025次跳动至点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标规律探索，解决本题的关键是寻找点的变化规律．根据给出的图形可得：点的坐标为，点的坐标为，最后得出答案即可． 【详解】解：观察题中图形可知，点，，，… 依次类推，可得点的坐标为； 点，，，… 依次类推，可得点的坐标为， ， 点的坐标是． 故答案为：． 类型二、周期性规律 【典例4】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是求出运动后的坐标，由题意易知半圆的弧长为，然后可得点每秒走个半圆，即可求解． 【详解】半径为1个单位长度的半圆的弧长为 点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， 点每秒走个半圆． 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动， 运动时间为1秒时，点的坐标为； 运动时间为2秒时，点的坐标为； 运动时间为3秒时，点的坐标为； 运动时间为4秒时，点的坐标为； 运动时间为5秒时，点的坐标为； 运动时间为6秒时，点的坐标为 点的横坐标等于运动时间，纵坐标以四个数为一个循环组循环． 第2025秒时，点的坐标是， 故选C． 【变式4-1】（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，长方形的两边分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为……依此类推，经过2022次翻滚后点A对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是正确求得前几个点的坐标，找出规律．求得前几个点的坐标，找出规律，根据规律求解即可． 【详解】解：如图所示： 点，进过一次翻滚后，再经过一次翻滚后，，再经过一次翻滚后，再经过一次翻滚后 可得：经过4次翻滚后点对应点一循环， ∵，矩形的周长为 ∴经过2022次翻滚后点A对应点的坐标为，即 故选：D 【变式4-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第99次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的规律探究，观察可知，点的横坐标为，纵坐标以四个数为一个循环节进行循环，据此进行求解即可． 【详解】解：观察可知：点的横坐标为，纵坐标以四个数为一个循环节进行循环， ∵， ∴经过第99次运动后，动点的横坐标为，纵坐标为2，即； 故选C． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知按这样的规律，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是点的坐标的规律，找出规律是解题的关键．先得出点为正整数)的横坐标为，纵坐标每6个一循环，再求解即可． 【详解】解：点为正整数的横坐标为，纵坐标每6个一循环 点的横坐标为， 点的纵坐标与的纵坐标相同，为0， 点的坐标为， 故选：C． 类型三、坐标与图形综合 【典例5】（24-25七年级下·全国·期末）如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接． (1)点的坐标为_______，点的坐标为_______； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，若是直线上的一个动点，连接，当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或 (3)当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时， 【分析】本题主要考查了平移变换、坐标与图形、平行线的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接根据平移规律即可解答； （2）先求出、，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半列方程求得，然后再根据点A的坐标确定点D的坐标即可； （3）点在线段上、的延长线、的延长线上三种情况，分别做辅助线、构造平行线并运用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得，点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为；点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 故答案为：，． （2）解：存在．由（1）可知，点到轴的距离为4， ． 点到轴的距离为4， ， ， ． 点A的坐标为， ∴点D的横坐标为或 点的坐标为或． （3）解：①如图①，当点在线段上时，过点作轴，则， ，． 又， ． ②如图②，当点在的延长线上时，过点作轴，则， ． 又， ； ③如图③，当点在的延长线上时，过点作轴，则， ． 又， ． 综上，当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)秒 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质求解； （2）设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可； （3）设点的坐标为，由进行分类讨论并分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ，； （2）解：设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同， 即， 解得， 点同时出发，秒后轴； （3）解：设点的坐标为， ， 当在的左侧时， ， 解得， 此时； 当在到3之间时， ， 解得， 此时； 当在3的右侧时， ， 解得（舍）． 综上所述，点的坐标为或． 【变式5-2】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，O为原点，已知点，且，将点B向右平移8个单位长度，得到对应点D． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为______； (2)求的面积； (3)若点P为x轴上的一个动点，是否存在点P，使的面积等于面积的2倍，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为4 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形的面积，非负数的性质和坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）直接根据非负数的性质得出的值即可得出答案； （2）根据题意得出点的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可； （3）设点，分情况进行讨论：当点位于点左侧时，不合题意；当点位于之间时；当点位于点右侧时；根据题意表示出和的面积，根据的面积等于面积的2倍列式求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ∵点， ∴点，点， 故答案为：； （2）解：将点向右平移8个单位长度，得到点， 则； （3）解：设点的坐标为， 当点位于点左侧时，，不符合题意； 当点位于之间时， ，， 根据题意得：， 解得：， ∴点的坐标为； 当点位于点右侧时， ，， 根据题意得：， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 【变式5-3】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图1，在平面直角坐标系中，是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，轴交y轴负半轴于，且，． (1)求点C的坐标． (2)如图2，设D为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数（点E在x轴的正半轴）． (3)如图3，当点D在线段上运动时，作交于M点，，的平分线交于N点，则点D在运动过程中，∠N的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据实数的非负性，结合图形的面积，点所在象限，计算点C的坐标即可． （2）根据角的平分线定义，直角三角形的性质，三角形内角和定理计算即可． （3）过点D作，过点N作，利用平行线的判定和性质，角的平分线的定义，解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴． ∴． ∵， ∴， 解得． ∵C在第四象限， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． （3）如图，，大小不会发生变化，理由如下： 如图，过点D作，过点N作，则． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理：， ∴． 【点睛】本题考查了实数的非负性，平行线的判定和性质，垂直的应用，角的平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中排列，每个正整数对应一个整点坐标，且，均为整数．如数10对应的坐标为，则数对应的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标的规律，观察图的结构找规律，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上；接下来根据，可得到的坐标为；根据图的结构可以发现和位于同一条平行于轴的直线上，由此可以确定，点与具有相同的纵坐标，而横坐标则相差，因此可以确定点的坐标． 【详解】解：观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上． ∵， 由得， 所以数对应的坐标为．　 所以数对应的坐标为． 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽·期中）如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到长方形的边时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标规律探究，根据题意找到规律是解题的关键； 根据反射角与入射角的性质作出图形；由图可知，每次反弹为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图所示： 经过次反弹后动点回到出发点， ∵， ∴的坐标与第次的坐标相同， 即为：； 故选：A 3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的变化规律，结合题意确定点的变化规律是解题关键．由图可得，点的位置变化有4种可能的位置，除第1点外分别是在四个象限内，并确定点在第三象限，然后结合，的坐标，即可获得答案． 【详解】解：由图可得，点的位置变化有4种可能的位置，除第1点外分别是在四个象限内， ， 点在第三象限， ，，…， ． 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，点A从原点出发，先向右平移1个单位至点，接着又向上平移1个单位至点，然后再向右平移1个单位至点，继续向上平移1个单位至点，…若按此规律进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，， ，…，得到规律是当右下角的角码是奇数时，横坐标为，纵坐标为；当右下角的角码是偶数时，横坐标为，纵坐标为；按照规律计算解答即可． 本题考查了坐标系中点的坐标规律问题，熟练掌握规律探索的方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ，…， 故规律是当右下角的角码是奇数时，横坐标为，纵坐标为； 当右下角的角码是偶数时，横坐标为，纵坐标为； 故点的坐标是． 故选：B． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期中）将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中排列，每个正整数对应一个整点坐标，且，均为整数．如数10对应的坐标为，则数对应的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标的规律，观察图的结构找规律，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上；接下来根据，可得到的坐标为；根据图的结构可以发现和位于同一条平行于轴的直线上，由此可以确定，点与具有相同的纵坐标，而横坐标则相差，因此可以确定点的坐标． 【详解】解：观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上． ∵， 由得， 所以数对应的坐标为．　 所以数对应的坐标为． 故选：C． 6.（24-25八年级上·安徽·期中）如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到长方形的边时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标规律探究，根据题意找到规律是解题的关键； 根据反射角与入射角的性质作出图形；由图可知，每次反弹为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图所示： 经过次反弹后动点回到出发点， ∵， ∴的坐标与第次的坐标相同， 即为：； 故选：A 7．（24-25七年级下·全国·期末）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的变化规律，结合题意确定点的变化规律是解题关键．由图可得，点的位置变化有4种可能的位置，除第1点外分别是在四个象限内，并确定点在第三象限，然后结合，的坐标，即可获得答案． 【详解】解：由图可得，点的位置变化有4种可能的位置，除第1点外分别是在四个象限内， ， 点在第三象限， ，，…， ． 故选：D． 8.（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，点A从原点出发，先向右平移1个单位至点，接着又向上平移1个单位至点，然后再向右平移1个单位至点，继续向上平移1个单位至点，…若按此规律进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，， ，…，得到规律是当右下角的角码是奇数时，横坐标为，纵坐标为；当右下角的角码是偶数时，横坐标为，纵坐标为；按照规律计算解答即可． 本题考查了坐标系中点的坐标规律问题，熟练掌握规律探索的方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ，…， 故规律是当右下角的角码是奇数时，横坐标为，纵坐标为； 当右下角的角码是偶数时，横坐标为，纵坐标为； 故点的坐标是． 故选：B． 9．（23-24七年级下·云南大理·期末）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点坐标分别为，，，将点右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点． (1)直接写出点的坐标； (2)求的面积； (3)点是一个动点，若的面积等于的面积，请求出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查坐标与图形的变化，三角形的面积，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用坐标平移方法即可得； （2）连接，根据求解即可； （3）构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将点右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点， ∴， 即； （2）解：如图，连接． ； （3）解：如图，点的纵坐标为， 由的面积等于的面积 得：， 解得：或， 或． 10．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，为直线a上一点．点P从点M出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线a向左移动；同时，点Q从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右移动，设运动的时间为t秒． (1)当点P在线段上运动时，______，______（用含t的式子表示）； (2)当点P在线段上移动时，几秒后？ (3)若以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)秒后 (3)或 【分析】本题考查坐标与图形，一元一次方程的实际应用，代数式表示式． （1）根据题意得：，，由即可解答； （2）根据题意先表示出和的长，再列式即可； （3）对于点的不同位置分类讨论列式即可得到本题答案． 【详解】（1）解：点P在线段上运动，点，， ，， ，， ； （2）解：设秒后， 由题意得：，则，， ∴，解得：， ∴当点P在线段上移动时，秒后； （3）解：设点P的坐标为， ①当点在轴右侧时： ∵以A，O，Q，P为顶点的四边形为直角梯形，， ∴，此时点P运动时间为：， ∴此时， ∵以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10， ∴，解得：， ∴； ②当点在轴左侧时： ∵以A，O，Q，P为顶点的四边形可分为两个直角三角形，， ∴，，此时点P运动时间为：， ∴， ∴，解得：， ∴， 综上，点P的坐标为或． 11．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）如图，已知四边形是一个长方形，其中顶点A，B的坐标分别和，又点在线段上． (1)如图① ，若点E在线段上，，点，且的面积为21，求出点B的坐标； (2)如图② ，若点F在线段上，，的面积为15，求出a､b之间所满足的关系式． (3)若长方形的面积为54，点B的坐标为，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】该题主要考查了坐标与图形，三角形面积计算，一元一次方程等知识点，解题的关键是注意分类讨论． （1）根据列方程求解即可； （2）根据求解即可； （3）设，分为当点在上方时，和当点在x轴下方时，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别和，，点，的面积为21， ∴ ， 解得：， ； （2）解： ， 化简得：． （3）解：， ∴， ∵长方形的面积为54， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 设，连接， ∵， ∴分为当点在上方时， 则 ， 解得：， ∴； 当点在x轴下方时， 连接， 则 ， 解得：， ∴， 综上，或． 12．（22-23七年级下·广西钦州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，分别得到点，的对应点，，连接，，． (1)求点，的坐标； (2)在轴上是否存在一点，使的面积等于四边形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，设点是直线上一动点（点不与点，重合），连接，请直接写出，和之间的数量关系． 【答案】(1)点，点； (2)点的坐标为或； (3)或或 【分析】（1）由点，点坐标及平移的性质可求点，点坐标； （2）先求出四边形的面积，再由三角形面积公式可解； （3）分三种情况讨论，由平行线的性质可求解． 【详解】（1）解：点，，将点、分别上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，分别得到点、的对应点，， 点，点； （2）解：在轴上存在一点，使的面积等于四边形的面积；理由如下： 点，点， ， 四边形的面积， 四边形的面积， 设点， 的面积等于四边形的面积， ， ， 点或； （3）解：或或；理由如下： 如图2，当点在点的上方时，过点作， 将点、分别上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，分别得到点、的对应点，， ， 又 ， ， ，， ， ； 如图3，当点在线段上时，过点作， 将点、分别上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，分别得到点、的对应点，， ， 又 ， ， ，， ， ； 如图4，当点在点下方时，过点作， 将点、分别上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，分别得到点、的对应点，， ， 又 ， ， ，， ， ． 【点睛】本题查了坐标与图形的性质，线段平移与点的坐标的关系，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 13．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，且a，b满足，现将线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位，分别得到A、B的对应点C、D，连接、． (1)求a，b的值； (2)点P是线段上的一个动点（不与B、D重合），求证：； (3)若点Q在线段上，且把四边形分成的两部分，求点Q的坐标． 【答案】(1)；4 (2)见解析 (3)点Q的坐标为 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，平行线的性质， （1）根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算即可得； （2）过点P作，根据得，根据平行线的性质得，，即，即可得； （3）由（1）知，，根据平移的性质得，，根据梯形的面积公式得，根据题意得当点Q在CD上时，，设点Q的横坐标为m，则，计算得，即可得； 掌握坐标与图形，平移的性质，平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：如图所示，过点P作， ∵ 则， ∴，， ∴， ∴； （3）解：由（1）知，，由平移知：，， ∴， ∴当点Q在CD上时，， 设点Q的横坐标为m，则， 解得：， ， 解得：， ，不合题意， 此时点Q的坐标为． 综上所述．满足条件的点Q的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$