精品解析：宁夏回族自治区银川市贺兰县贺兰县第一中学2024-2025学年高三下学期2月开学检测数学试题

贺兰一中2025届高三年级第二学期2月开学检测试卷 数 学 命题教师：李 薇 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知过原点的直线的倾斜角为，若点在直线上，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 66 B. 77 C. 88 D. 99 5. 已知双曲线一个焦点到一条渐近线的距离为，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 6 已知向量，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 7. 文娱晚会中，学生的节目有6个，已经排好出场顺序，现临时增加2个教师的节目，如果教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，并且6个学生的节目先后出场顺序不变，则晚会的出场顺序的种数为（ ） A. 30 B. 42 C. 56 D. 3960 8. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分. 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（不包括端点），则（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得平面 C. 对于任意点Q，均不成立 D. 三棱锥的体积是定值 11. 数学与音乐有紧密的关联，每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数. 像我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等，这些音叫谐音，因为振幅较小，我们一般不易单独听出来. 所以我们听到的声音的函数是，记，则（ ） A. 的最大值为 B. 在上单调递增 C. 的周期为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的虚部为__________. 13. 过抛物线焦点的直线与交于两点，且点在点的上方，已知，若点在线段的垂直平分线上，则直线的斜率为__________. 14. 已知函数若关于x的方程有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，为钝角，，． （1）求； （2）若，求的面积． 16. 据统计，某地一特色饭店年月份共有个网上点餐订单，好评率为.为了提高服务质量，饭店进行了服务改进，已知服务改进后该饭店月份共有个网上点餐订单，其中好评订单有个. （1）根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为该饭店月份订单的好评与服务改进有关； 好评订单个数 非好评订单个数 合计 服务改进前 服务改进后 合计 （2）若从月、月这两个月网上点餐的订单中按照是否好评对总体进行分层，用分层随机抽样的方法抽取个订单分析顾客的意见，再从这个订单中随机抽取个订单进行电话访谈，求其中恰好有个订单为好评订单的概率. 附：. 17. 在边长为2的正方形中，将沿折起，使平面平面，如图所示，分别是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知椭圆短轴长与焦距相等，且椭圆过点，斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点，是线段的中点，射线与椭圆于点． （1）求椭圆方程； （2）是否存在正数，使四边形是平行四边形？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由 19 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贺兰一中2025届高三年级第二学期2月开学检测试卷 数 学 命题教师：李 薇 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项分布期望值公式，即可求得结果. 【详解】因为，所以，解得. 故选：A. 2. 已知过原点的直线的倾斜角为，若点在直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数定义可得，结合二倍角公式求结论. 【详解】由题意知，点到原点的距离为， 由三角函数定义可得， 所以. 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对每个数找中间值求解，即可比较出来大小. 【详解】因为，故； 所以. 故选：D. 4. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 66 B. 77 C. 88 D. 99 【答案】C 【解析】 【分析】利用计算出答案. 【详解】由可得， 故． 故选：C． 5. 已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设的右焦点为，利用点到渐近线的距离为求出可得答案. 【详解】设的右焦点为，则， 点到渐近线的距离为， 所以的离心率. 故选：B. 6. 已知向量，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件求的坐标，结合向量垂直的坐标表示列方程求. 【详解】依题意，， 故， 因为，故. 故选：A. 7. 文娱晚会中，学生的节目有6个，已经排好出场顺序，现临时增加2个教师的节目，如果教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，并且6个学生的节目先后出场顺序不变，则晚会的出场顺序的种数为（ ） A. 30 B. 42 C. 56 D. 3960 【答案】A 【解析】 【分析】将教师的两个节目按照题目要求依次安排到学生的节目中，再利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】根据题意，学生的节目有6个，已经排好出场顺序，这6个节目之间有5个空位， 因为教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，则先将第一个教师节目安排到5个空位中，有5种方法； 再将第二个教师的节目安排到7个节目之间的6个空位中，有6种方法， 由分步乘法计数原理可得，共有种方法. 故选：A. 8. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为的二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得，解得，即二项式为， 则该二项式展开式的通项为， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分. 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断. 【详解】依题，，解得故A错误，B正确； 则，，故C错误，D正确. 故选：BD. 10. 如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（不包括端点），则（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得平面 C. 对于任意点Q，均不成立 D. 三棱锥的体积是定值 【答案】BC 【解析】 【分析】在正方体中建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断ABC；利用点到平面距离的向量求法计算判断D. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则，， 令，则点，， 对于A，，若，则，必有，即与矛盾，A错误； 对于B，，若平面，则， 即，解得，则点是中点时，， 而平面，因此平面，B正确； 对于C，，即对任意，向量与都不垂直，C正确； 对于D，，设平面的法向量， 则，令，得， 于是点到平面的距离，，不是常数， 又点是三个定点，面积是定值，因此三棱锥的体积不是定值，D错误. 故选：BC 11. 数学与音乐有紧密的关联，每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数. 像我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等，这些音叫谐音，因为振幅较小，我们一般不易单独听出来. 所以我们听到的声音的函数是，记，则（ ） A. 的最大值为 B. 在上单调递增 C. 的周期为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦函数性质得到和无法同时取得最大值判断A，利用正弦函数性质分别判断得，，的单调性求解B，利用周期性的定义求解C，利用导数结合分类讨论证明，再结合绝对值三角不等式放缩证明D即可. 【详解】对于A，， 若的最大值为，则和必须同时取得最大值， 由正弦函数性质得和无法同时取得最大值， 则的最大值不为，故A错误； 对于B，由题意得， 因为，所以，， 由正弦函数性质得，，在上单调递增， 由函数的性质得，多个增函数相加，结果一定是增函数， 得到在上单调递增，故B正确； 对于C，令， 而， ， ， 得到的周期为，故C正确； 对于D，欲证，则证即可， 令，而， ，则是偶函数， 则证当时，即可，此时， 当时，，， 故在上单调递减，得到 则成立，当时，同理可得成立， 综上，结合是偶函数，可得恒成立， 故 ， 则对于时，成立，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的虚部为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数运算法则求的代数形式，结合虚部定义求结论. 【详解】， 所以复数的虚部为. 故答案为：. 13. 过抛物线的焦点的直线与交于两点，且点在点的上方，已知，若点在线段的垂直平分线上，则直线的斜率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得的横坐标为，代入抛物线方程求其纵坐标，再利用两点斜率公式求结论. 【详解】抛物线的焦点为，又， 所以线段的垂直平分线方程为， 由点在线段的垂直平分线上可得点的横坐标为， 代入的方程可得， 所以点的纵坐标为，故， 故直线ME即直线的斜率为. 故答案为：. 14. 已知函数若关于x的方程有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】转化为函数与图象有四个不同的交点，结合图象可得答案. 【详解】， 当时，， 且当时有最大值1， 当时，， 且当时有最大值2， 若关于x方程有四个不相等的实数根， 则函数与有四个不同的交点， 画出函数与的图象，结合图象可得 . 则实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，为钝角，，． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式以及正弦定理计算可得； （2）结合余弦定理和三角形面积公式计算可得面积. 【小问1详解】 由题意得，因为为钝角， 得，则， 由正弦定理得， 解得， 因为为钝角，则. 【小问2详解】 当时，由余弦定理， 得，即，解得， 则. 16. 据统计，某地一特色饭店年月份共有个网上点餐订单，好评率为.为了提高服务质量，饭店进行了服务改进，已知服务改进后该饭店月份共有个网上点餐订单，其中好评订单有个. （1）根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为该饭店月份订单的好评与服务改进有关； 好评订单个数 非好评订单个数 合计 服务改进前 服务改进后 合计 （2）若从月、月这两个月网上点餐的订单中按照是否好评对总体进行分层，用分层随机抽样的方法抽取个订单分析顾客的意见，再从这个订单中随机抽取个订单进行电话访谈，求其中恰好有个订单为好评订单的概率. 附：. 【答案】（1）答案见解析，有关 （2） 【解析】 【分析】（1）由条件计算出月的好评订单个数及非好评订单个数，完成列联表，提出零假设，计算，根据与临界值大小关系判断结论； （2）根据分层抽样性质确定抽取的订单中好评订单的个数，利用古典概型概率公式求结论. 【小问1详解】 月份的订单中，好评订单有个， 非好评订单有个. 月份的订单中，非好评订单有个. 故补全的列联表如下表所示： 好评订单个数 非好评订单个数 合计 服务改进前 服务改进后 合计 零假设：该饭店月份订单的好评与服务改进无关. ， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即该饭店9月份订单的好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 利用分层随机抽样的方法抽取个订单，则好评订单应抽取个， 非好评订单应抽取个. 设“从这个订单中随机抽取个订单进行电话访谈，其中恰好有个订单为好评订单”为事件， 则. 所以事件恰好有个订单为好评订单的概率为. 17. 在边长为2的正方形中，将沿折起，使平面平面，如图所示，分别是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形、面面垂直的性质有，结合，应用线面垂直的判定定理证结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 由题设为等腰直角三角形，为的中点，则， 由平面平面，平面平面，面， 所以面，面，则， 由分别是的中点，则，又，即， 由且都在面内，则平面. 【小问2详解】 由题设易知，且面，可构建如图示空间直角坐标系， 则， 所以，， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的短轴长与焦距相等，且椭圆过点，斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点，是线段的中点，射线与椭圆于点． （1）求椭圆方程； （2）是否存在正数，使四边形是平行四边形？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）由条件列出的等式，求解即可； （2）设，设，，联立椭圆方程，由韦达定理结合求得坐标，由其在椭圆上代入求解即可； 【小问1详解】 由题可得，解得：，所以椭圆方程为 【小问2详解】 存，理由如下：由题意可得，设，， 设存在正数，使四边形是平行四边形，则， 联立，化简得， 则，所以， 则， 因为，所以， 由点在椭圆上，所以， 化简可得，即，由，所以， 所以存在正数，使四边形是平行四边形，直线的方程为． 19. 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围. 【答案】（1）当时，函数在单调递减，当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，讨论和两种情况导数的符号，进而可求函数的单调区间； （2）将已知条件转化为恒成立，构造函数，求出，转化为成立，然后构造函数，借助导数判断的单调性，从而得出满足条件的的取值范围. 【小问1详解】 因为函数， 所以， 当时，，所以函数在单调递减， 当时，令，得， 当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 综上所述，当时，函数在单调递减， 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增； 【小问2详解】 若不等式恒成立，又 则有恒成立 设函数，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，不合题意 当时，令，解得 当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 所以， 由恒成立，则成立， 即成立 令，则 所以函数在上单调递增， 又，， 所以当时，成立. 综上所述，实数的取值范围为 【点睛】关键点：第（1）问的关键是分和讨论；第（2）问的关键是构造两个函数和，借助导数求出最值和单调性，即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$