精品解析：广东深圳市沙井中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

沙井中学2025—2026学年度第二学期期中考试 高一年级数学试卷 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可求得的值. 【详解】由题意可得，故. 故选：B. 2. 汕尾4个国家级名录特色农产品（城区东涌镇宝楼村红灯笼荔枝、华侨管理区红杨桃、陆河县河口镇油柑、陆丰市桥冲镇及内湖镇莲藕）种植户众多．现有荔枝户40户、杨桃户50户、油柑户60户、莲藕户50户．用分层抽样抽取容量为20的样本，应抽取油柑户（ ） A. 2户 B. 4户 C. 6户 D. 15户 【答案】C 【解析】 【分析】先计算总体数量，再求出抽样比，最后用抽样比乘以油柑户的数量得到应抽取的户数. 【详解】总体户数（户）， 抽样比 ， 应抽取油柑户数量 = （户）. 故选：C. 3. 已知中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，从而求出. 【详解】由正弦定理，得，解得， 又，所以或. 故选：D 4. 如图，在中，，点是的中点．设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，计算，计算. 【详解】， 由，得： ， ， 因为点是的中点，所以： ， ， 5. 已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面位置关系中平行的有关判定和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则或异面或相交，故A错误； 对于B，，则或异面，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，且，则或，故D错误. 故选：C. 6. 在中，为的中点，则（ ） A. 0 B. 16 C. 40 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算得解. 【详解】在中，由，得，则， 由为的中点，得， 所以. 故选：D 7. 圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据六安市（北纬32°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知六安市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米，则表高（即的长）约为（ ）（已知，） A. 3.26米 B. 4.73米 C. 5.37米 D. 6.31米 【答案】C 【解析】 【分析】利用表高表示出冬至和夏至时圭面上的影长 CB 和 CD，根据两者之差 BD=7米列出方程，解出 表高。 【详解】设表高，在中，，， 在中，，， 已知冬至线和夏至线之间的距离米，所以，解得， 因此，表高约为米， 故选：C. 8. 如图在正方体中，过直线且平行于平面的平面交平面于直线l，则直线与l所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设，交点为O，由题可得直线与l所成角为与所成角，据此可得答案. 【详解】由题可得，则四边形为平行四边形，则， 从而四点共面，则平面即为平面. 设，交点为O，则平面平面. 因平面平面，则平面与平面交线l平行于平面与平面交线. 则与l所成角为与所成角，又， 则与所成角为与所成锐角（空间中两直线夹角范围为） 设正方体边长为，则，又易得， 则. 故选：B 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的概念求解选项A，利用复数的几何意义求解选项B，利用共轭复数的概念求解选项C，利用复数的模求解选项D. 【详解】若为纯虚数，则且，解得，故A错误； 若在复平面内对应的点位于第四象限， 则且， 解得，即，故B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确， 故选:BCD． 10. 下列说法中正确的是（ ）． A. 若．则有两组解 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若满足，则与的夹角为 D. 在中，若 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理，求得，得到或，可判定A正确；根据与的夹角为锐角，得到且向量与不共线，求得的范围，可判定B错误；根据向量加法的几何意义，可得，结合向量的夹角公式，可判定C正确；根据，利用正弦定理得，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为， 由正弦定理，可得，解得， 因为，所以或，此时三角形有两解，所以A正确； 对于B中，由向量，且与的夹角为锐角， 则且向量与方向不相同， 由，解得， 设，即，可得，解得， 所以向量与的夹角为锐角时，实数的取值范围是，所以B错误； 对于C中，由，有，则， 则且， 设与的夹角为，可得， 因为，所以，即与的夹角为，所以C正确； 对于D中，由，可得，由正弦定理得，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 存在点，使平面 C. 二面角的正切值为 D. 当为的中点时，四面体的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用等体积法进行转化即可判断；B选项找到点的位置再进行证明；C选项作出二面角的平面角进行求解；D选项利用直接法找到外接球的球心位置进行求解即可. 【详解】对于A选项，在正方体中，，，， ，四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面， 为上一动点，， 正方体的棱长为2， ， 四面体的体积为定值，故A正确； 对于B选项，当为中点时，平面，证明如下： 取的中点，的中点，连接， 分别为中点，， 平面，平面，平面，， 分别为中点，， 在正方形中，，， ，平面， 平面，平面，， 分别为中点，， 平面，平面，平面，， 分别为中点，， 在正方形中，，， ，平面，平面， 平面，， ，平面，平面， 即存在点，使平面，故B正确； 对于C选项，过作于点，过作于点， 在直角三角形中，，，， ，， 在中，，，， ，， ，， ，点与重合， 是二面角的平面角， ，故C错误； 对于D选项，取的中点，连接， 在直角三角形中，， 又由B选项中可知， 平面，平面， ， ，，，为四面体的外接球的球心， 外接球半径为，外接球的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上） 12. 现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是________.（下面摘取了随机数表第7行至第9行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【答案】704 【解析】 【分析】根据随机数表读取编号的方法，即可求得答案. 【详解】按照所给随机数表，依次读取的个体编号为157，245，506，704， 所以得到的第4个样本个体的编号是704. 故答案为：704 13. 我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为________平方分米． 【答案】 【解析】 【分析】由棱台的体积公式求得棱台的高，进一步求得棱台的侧棱的长度，结合勾股定理以及梯形的面积公式即可求解. 【详解】 如图所示，高线为，由方斗的容积为28升， 可得，解得． 由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得，，， 侧面梯形面积为， 所以方斗的表面积为． 故答案为：. 14. 南宋数学家秦九韶在数书九章中提出“三斜求积木”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅．开平方得积．现设中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为面积，则“三斜求积木”可用公式表示．若，且，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理对已知等式进行化简，可得，代入S中，将其转化为关于c的函数，再根据二次函数的图象与性质，即可得解． 【详解】， 由余弦定理知，， ， ， 化简得，， ， 当，即时，S取得最大值 故答案为： 四、解答题（本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，其中． （1）设，若是纯虚数，求实数m的值； （2）设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）计算出，根据纯虚数得到方程和不等式，求出； （2）求出和，利用向量夹角余弦公式求出余弦值，进而得到投影向量 【小问1详解】 ，因为是纯虚数， 所以且，解得； 【小问2详解】 当时，，故， ，故． 设，则； 所以在上的数量投影向量为． 16. 已知向量与向量不共线， （1）若，，，求的值 （2）若，，，求的坐标； （3）若，，，且，，三点共线，求实数的值． 【答案】（1）；（2）或；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标公式求出； （2）利用向量平行设，利用向量模的坐标公式求出，从而得到； （3）利用，，三点共线得到，，建立的等式，计算得解. 【详解】（1）因为，，所以， 因为，，，所以， 所以． （2）因为，设， 则，解得． 因此或． （3）， 因为，，三点共线，所以，， 即，又与不共线，所以，解得， 即实数的值为． 17. 如图，已知平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，E，F分别是BC和PB的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）由题可得，再根据线面平行的判定即可证明； （2）通过证明平面PBC，再根据线面的性质即可证得； （3）根据题意知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，又平面ABCD，再根据锥体体积公式即可求解. 【小问1详解】 ，F是BC，PB的中点．． 又平面，平面， 平面． 【小问2详解】 平面ABCD，平面ABCD，． ，平面PAB， 平面PAB， 平面PAB，， ，F是PB中点，， ，EB、平面PBC， 平面PBC， 平面PBC， ； 【小问3详解】 三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 平面ABCD，ABCD是矩形，， ， 三棱锥的体积为． 18. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【小问1详解】 在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； 【小问2详解】 因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. 【小问3详解】 由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，，、分别为棱、的中点. （1）求证：平面； （2）已知为棱上的点，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值； （3）在（2）已知的条件下，设点在延长线上，且.判断直线是否在平面内，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）是，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，先证明四边形是平行四边形，得出.，进而根据线面平行的判定定理，即可得出结论； （2）过作于，连接，可证为二面角的平面角，求解即可； （3）根据已知分别求出，判断是否成立，结合平面的基本性质可得结论. 【小问1详解】 如图，取中点，连接， 因为为的中点，所以且.， 因为底面四边形是矩形，为棱的中点，所以且． 所以且，故四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 过作于，连接， 平面平面，平面平面，平面， 因为，所以平面，又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，所以为二面角的平面角或其补角， 设，由余弦定理得， 又， 所以，所以， 所以， 所以， 因为平面PMB与平面SAD所成角的余弦值为， 所以，平方得， 所以，整理得， 所以，解得或（舍去）， 所以． 【小问3详解】 因为是正三角形，，则，， 所以，，，由（2）知，则， 在中， 在中， 而， 综上，，又都在平面内，则三点共线， 由平面，即平面，，则平面， 又平面，而，则平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沙井中学2025—2026学年度第二学期期中考试 高一年级数学试卷 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则为（ ） A. B. C. D. 2. 汕尾4个国家级名录特色农产品（城区东涌镇宝楼村红灯笼荔枝、华侨管理区红杨桃、陆河县河口镇油柑、陆丰市桥冲镇及内湖镇莲藕）种植户众多．现有荔枝户40户、杨桃户50户、油柑户60户、莲藕户50户．用分层抽样抽取容量为20的样本，应抽取油柑户（ ） A. 2户 B. 4户 C. 6户 D. 15户 3. 已知中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 如图，在中，，点是的中点．设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 6. 在中，为的中点，则（ ） A. 0 B. 16 C. 40 D. 32 7. 圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据六安市（北纬32°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知六安市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米，则表高（即的长）约为（ ）（已知，） A. 3.26米 B. 4.73米 C. 5.37米 D. 6.31米 8. 如图在正方体中，过直线且平行于平面的平面交平面于直线l，则直线与l所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法中正确的是（ ）． A. 若．则有两组解 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若满足，则与的夹角为 D. 在中，若 11. 已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 存在点，使平面 C. 二面角的正切值为 D. 当为的中点时，四面体的外接球表面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上） 12. 现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是________.（下面摘取了随机数表第7行至第9行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 13. 我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为________平方分米． 14. 南宋数学家秦九韶在数书九章中提出“三斜求积木”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅．开平方得积．现设中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为面积，则“三斜求积木”可用公式表示．若，且，则面积的最大值为______． 四、解答题（本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，其中． （1）设，若是纯虚数，求实数m的值； （2）设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量． 16. 已知向量与向量不共线， （1）若，，，求的值 （2）若，，，求的坐标； （3）若，，，且，，三点共线，求实数的值． 17. 如图，已知平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，E，F分别是BC和PB的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积． 18. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，，、分别为棱、的中点. （1）求证：平面； （2）已知为棱上的点，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值； （3）在（2）已知的条件下，设点在延长线上，且.判断直线是否在平面内，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $