精品解析：山东省烟台市莱山区（五四制）2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期第二阶段检测练习题 初三数学 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A,B,C,D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列品牌公司的图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把多项式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形概率为（ ） A. B. C. D. 7. 把如图中的三角形A（ ）可以得到三角形B． A. 先向右平移5格，再向上平移2格． B. 先向右平移7格，再以直角顶点为中心逆时针旋转，然后向上平移1格． C. 先以直角顶点为中心顺时针旋转，再向右平移5格． D. 先向右平移5格，再以直角顶点为中心逆时针旋转． 8. 如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 10. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A B. C. D. 11. 为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，矩形中，为对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则值可以是_________． 14. 若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是__________． 15. 如图，“”形图形的面积为45，如果，那么_________． 16. 如图，中，，，则其内部五个小直角三角形的周长之和为____________． 17. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_________. 18. 如图，矩形中，点是边上任意一点，连接．点分别是的中点，连接．若，，则的值为_________． 19. 如图，直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点均在轴上，将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为__________． 20. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分60分） 21. （1）因式分解： （2）解方程： 22. 在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可对“商家服务”给予分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．根据样本数据制作了不完整的统计图和统计表． 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 3 3．5 1．05 乙商家 4 1．24 （1）甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数为_________， （2）表格中__________，__________，__________； （3）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点． 23. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？ 24. 先阅读材料，再回答问题： 分解因式： 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式．上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用一种思想．请你用整体思想解决下列问题： （1）因式分解：___________； （2）因式分解：____________； （3）若为正整数，试说明的值为某一个正整数的平方． 25. 近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用：________元 （1）用含m代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； （2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 26. 已知是等腰三角形，，，在的内部，点在上，点在点的左侧，探究线段之间的数量关系． 【阅读理解】 如图①，当时，探究思路如下： 将绕点顺时针旋转，得到，易证，，在中，，则有． 【类比探究】 （1）如图②，当时，线段之间的数量关系是__________；如图③，当时，线段之间的数量关系是___________； （2）在（1）中得到的结论，请选择图②或图③中的一个进行证明． 27. 已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动． 设动点的运动时间为秒． （1）当 时（直接写出的值），四边形是平行四边形； （2）在线段上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点且，求四边形的周长最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期第二阶段检测练习题 初三数学 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A,B,C,D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列品牌公司的图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答． 【详解】解：．既是中心对称图形也是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心轴对称图形，但不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是中心对称图形是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：B． 2. 把多项式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．先提公因式，然后再用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 3. 下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的性质即可一一判定即可．本题考查了分式的性质，熟练掌握和运用分式的性质是解决本题的关键． 【详解】解：，，，当时，不成立， 故选：C． 4. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的两个对角相等，邻角互补求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果． 【详解】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小， ∴； 故选：B． 6. 如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键． 根据从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．再根据概率公式求解即可． 【详解】解：从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形． ∴，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为． 故选：A． 7. 把如图中的三角形A（ ）可以得到三角形B． A. 先向右平移5格，再向上平移2格． B. 先向右平移7格，再以直角顶点为中心逆时针旋转，然后向上平移1格． C. 先以直角顶点为中心顺时针旋转，再向右平移5格． D. 先向右平移5格，再以直角顶点为中心逆时针旋转． 【答案】B 【解析】 【分析】把直角顶点当作关键点，可以借助直角顶点的移动位置判断移动后是否重合． 【详解】解：先向右平移7格，再以直角顶点为中心逆时针旋转90°，然后向上平移1格，三角形A可以得到三角形B．故选项B符合题意； 其他三个选项，都向右只平移5格，三角形A不能得到三角形B． 故选：B． 【点睛】根据选项的描述操作，判断移动和旋转后的图形是否能够重合． 8. 如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案. 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴正边形的一个外角为， ∴的值为； 故选A 10. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出，从而可求出，即得出顶点的坐标为． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴．　 ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为． 故选C． 11. 为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．先求出燃油汽车每千米所需的费用为元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得． 【详解】解：由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为元， 由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等， 则可列方程为， 故选：B． 12. 如图，矩形中，为对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解． 【详解】解：由图象得：，当时，，此时点P在边上， 设此时，则，， 在中，， 即：， 解得：， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则的值可以是_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式及二次根式有意义的条件，掌握分式及二次根式有意义的条件是解题的关键．根据分式及二次根式有意义的条件即可得出答案． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ， ， ∴的值可以是1． 故答案为：1． 14. 若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 15. 如图，“”形图形的面积为45，如果，那么_________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法与图形的面积，以及因式分解的应用．将图形分成两个长方形，根据图形的面积列出算式，然后因式分解即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意，得：， 即 ∵， ∴， 故答案为：15． 16. 如图，中，，，则其内部五个小直角三角形的周长之和为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、勾股定理，根据图形得到内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长是解题的关键． 由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合，故内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长，利用勾股定理得到的长度，然后计算周长即可． 【详解】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角直角边平移得到的， ∵在中，，， ∴， 由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合， 内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长， 内部五个小直角三角形的周长为：． 故答案为：24． 17. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_________. 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得， ， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以， 当时，， 因此k的取值范围为且， 故答案为：且． 18. 如图，矩形中，点是边上任意一点，连接．点分别是的中点，连接．若，，则的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理．先求得矩形的边长，根据三角形中位线定理得． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴设，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵点分别是的中点， ∴， 故答案为：3． 19. 如图，直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点均在轴上，将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案． 【详解】解：作，交y轴于点F， 由题可得：， 是等边三角形，， ∴是的角平分线，, ， ， 在中，， 即， 解得， ∴由旋转得，, ∴， ∴,， ∴， ， 故答案为：． 20. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为． 三、解答题（本大题共8个小题，满分60分） 21. （1）因式分解： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解和分式方程的解法，灵活运用完全平方公式进行因式分解和熟练进行分式方程求解是解题关键． （1）将变形为，符合完全平方公式，即可进行因式分解； （2）按照去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1的步骤解分式方程，注意检验分式方程的根． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母，得， 移项，合并同类项并系数化为1，解得， 经检验，是该分式方程的解， 故该方程的解为 22. 在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可对“商家服务”给予分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．根据样本数据制作了不完整的统计图和统计表． 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 3 3．5 1．05 乙商家 4 1．24 （1）甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数为_________， （2）表格中__________，__________，__________； （3）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点． 【答案】（1）； （2），，； （3）小亮应该选择乙商家，理由见解析． 【解析】 【分析】（）用甲商家分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲商家抽取的评价分值个数，进而用乘以甲商家分的占比即可求解； （）用乙商家分的评价分值个数除以其百分比即可求出从乙商家抽取的评价分值个数，求出甲、乙商家分的评价分值个数，再根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解； （）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，平台从甲商家抽取了个评价分值， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：从乙商家抽取了个评价分值， 甲商家分的评价分值个数为个， 乙商家分的评价分值个数为个， ∵甲商家共有个数据， ∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第位和第位数的平均数， ∴， 乙商家分的个数是9个，最多， ∴众数， 乙商家平均数， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近， ∴小亮应该选择乙商家． 23. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？ 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由得出，再证明得出，即可得证； （2）证明是等边三角形，得出，结合平行四边形的性质得出，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 24. 先阅读材料，再回答问题： 分解因式： 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式．上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： （1）因式分解：___________； （2）因式分解：____________； （3）若为正整数，试说明的值为某一个正整数的平方． 【答案】（1）； （2）； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （1）把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （2）原式变形，再用平方差公式因式分解即可； （3）将原式转化为，令，则原式，，根据为正整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解： 令， 则原式， ， ， 原式． 为正整数， 也为正整数， 代数式的值一定是某一个正整数的平方． 25. 近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：75元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用：________元 （1）用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； （2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】（1）（或）； （2）①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动汽车每千米行驶费用为0.11元；②他们购买纯电动汽车的年费用更低． 【解析】 【分析】（1）根据表中的信息，可以表示新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.64元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②先分别算出购买燃油车的年费和购买纯电动汽车的年费，再进行比较，即可作答． 本题考查列代数式的问题，分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 【小问1详解】 解：新能源车的每千米行驶费用为：（元）； 故答案为：（或）． 【小问2详解】 解：①， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（元），（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.75元，新能源车的每千米行驶费用为0.11元； ②购买燃油车的年费：（元） 购买纯电动汽车的年费：（元） ∵ ∴他们购买纯电动汽车的年费用更低． 26. 已知是等腰三角形，，，在的内部，点在上，点在点的左侧，探究线段之间的数量关系． 【阅读理解】 如图①，当时，探究思路如下： 将绕点顺时针旋转，得到，易证，，在中，，则有． 【类比探究】 （1）如图②，当时，线段之间的数量关系是__________；如图③，当时，线段之间的数量关系是___________； （2）在（1）中得到的结论，请选择图②或图③中的一个进行证明． 【答案】（1）； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目中给出的图形和结论，得出答案即可； （2）选②，以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，构造全等三角形，得出，，再证明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得结论；选③方法同②． 【小问1详解】 解：当时，线段之间的数量关系是： ； 当时，线段之间的数量关系是： ； 【小问2详解】 证明：选图②； ∵ ∴是等边三角形， ∴， 以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H， ，，， ， ，， 又， ∴ 又， ， ， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， 中，根据勾股定理可得： 即 整理得 ； 选图③： 证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H， ，，， ， ，， 又， ， 即， 又， ， ， 在中，，， ，， ， 在中,可得：， 即， 整理得 ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识 ，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 27. 已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动． 设动点的运动时间为秒． （1）当 时（直接写出的值），四边形是平行四边形； （2）在线段上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点且，求四边形的周长最小值． 【答案】（1）秒 （2）秒时，；秒时， （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，进而求出，再由运动知，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论； （2）分两种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论； （3）先判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点M的位置，再用勾股定理求出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵动点在线段上以每秒个单位长速度由点向运动，点的运动时间为， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：秒； 【小问2详解】 解：①如图，当点在的右边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，当点在的左边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，秒时，；秒时，； 【小问3详解】 如图，由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形的周长为： ∴最小时，四边形的周长最小， ∴作点关于的对称点，连接交于， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴的最小值为：， ∴四边形的周长最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$