精品解析：山东省烟台市莱山区（五四制）2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

6学科网 命组卷网 2024-2025学年度第一学期第二阶段检测练习题 初三数学 注意事项： 1.本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交 回. 2.答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自已的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题 卡规定的位置上. 3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置： 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带. 5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效， 6.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验. 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分)每小题都给出标号为A,B,C,D四 个备选答案，其中有且只有一个是正确的. 1.下列品牌公司的图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是() 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部 第1页/共35页 学科网命组卷网 分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合.根据轴对称图形和中心 对称图形的定义即可解答. 【详解】解：A,既是中心对称图形也是轴对称图形，故该选项不符合题意； B.是中心轴对称图形，但不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C ,既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故该选项不符合题意： D.不是中心对称图形是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：B 2把多项式灯少- 因式分解正确的是() A.x(-1) B.x(y-1)2 c.x(x+y(y-1)D.x(y+1y-1) 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算.先提公因式，然 后再用平方差公式进行计算即可， 【详解)解：y-x=x(少-)=x(0+10y-1) 故选：D 3.下列等式一定成立的是() a_a+1 aa a ab a ac A.bb+1 B.b b3 C.bb D.b bc 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的性质即可一一判定即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握和运用分式的性质是解决 本题的关键， a atl a≠da-ab a ac 士 一丰 【详解】解：bb+1,bb,bb2,当c=0时，bbc不成立， 故选：C 4.在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=80°，则∠A等于() 第2页/共35页 6学科网 命组卷网 40° B.800 c1000 D1400 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的两个对角相等，邻角互补求解即可. 【详解】解：如图， D B C ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠B=∠D,AB∥CD. .∠A+∠D=180°. .∠B+∠D=2∠D=80°， .∠D=40°， .∠A=180°-∠D=140°， 故选：D. 5.射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图。其皮锁的方差分别记为和，则 S和S2的大小关系是() 第3页/共35页 命学科网命组卷网 成绩/环 成绩/环乙 10 10 ● ● 8 6 6 --● -●--●- ● 012345678次数 012345678次数 A. Sm2<S22 B.S2>S22 cp2=5&2 D.无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果 【详解】解：方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线 图可知乙选手的成绩波动较小， :>暖 故选：B 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，从①AC=BD,②AC⊥BD,③AB=BC,这三个条件中任 意选取两个，能使口ABCD是正方形的概率为() D O B 2 1 5 1 A.3 B.2 C.3 D.6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键. 第4页/共35页 6学科网命组卷网 根据从①AC=BD,②AC⊥BD,③AB=BC,这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③， 3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形.再根据概率公式 求解即可， 【详解】解：从①AC=BD,②AC⊥BD,③AB=BC,这三个条件中任意选取两个，共有①②、① ③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形. ∴.ABCD,从①AC=BD,②AC⊥BD,③AB=BC,这三个条件中任意选取两个，能使口ABCD 2 是正方形的概率为3. 故选：A。 7.把如图中的三角形A()可以得到三角形B. A.先向右平移5格，再向上平移2格 B.先向右平移7格，再以直角顶点为中心逆时针旋转90°，然后向上平移1格. C.先以直角顶点为中心顺时针旋转90°，再向右平移5格. D.先向右平移5格，再以直角顶点为中心逆时针旋转90°】 【答案】B 【解析】 【分析】把直角项点当作关键点，可以借助直角项点的移动位置判断移动后是否重合， 【详解】解：先向右平移7格，再以直角顶点为中心逆时针旋转90°，然后向上平移1格，三角形A可以得 到三角形B.故选项B符合题意； 其他三个选项，都向右只平移5格，三角形A不能得到三角形B. 第5页/共35页 6学科网6组卷网 故选：B 【点睛】根据选项的描述操作，判断移动和旋转后的图形是否能够重合， 8.如图，小明同学按如下步骤作四边形ABCD:①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧， AM,AN B,D B,D 分别交 于点 ；③分别以点 ,”为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C;④连接 BC,CD,BD ∠A=46 .若 ,则 ∠CBD 的大小为() M B C D 64° B660 C670 D 68° A. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形ABCD是菱形，进而根据菱形 的性质，即可求解。 【详解】解：由作图可得AB=AD=BC=DC ∴.四边形ABCD是菱形， ADI∥BC,∠ABD=∠CBD :∠A=46°， ∴.∠MBC=∠A=46°. A28D-0s0-∠MBC)=0s0-46)-67 第6页/共35页 命学科网组卷网 故选：C 9.如图，已知AB,BC,CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作 正方形BCMN.若∠ABN=120°，则n的值为() A B C N M A.12 B.10 C.8 D.6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多 边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案 【详解】解：正方形BCMN, .∠WBC=90°， .∠ABN=120°， :.∠ABC=360°-90°-120°=150° ∴正n边形的一个外角为180°-150°=30°， 360 .n的值为30° =12 故选A 10.如图，0是坐标原点，菱形AB0C的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为3,4)，则顶点A的 坐标为() 第7页/共35页 6学科网可组卷网 A.（-4,2) B.（V5,4) c.(-2,4) D（4,5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形.结合菱形的性质求出 AC=OC=5 AC=OC=5 是解题关键.由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出 ,从而可求出 AD=2,即得出顶点A的坐标为-2,4)】 【详解】解：如图， :点C的坐标为(34)】 :.0C=V32+42=5 :四边形ABOC为菱形， .AC=0C=5 :AD=AC-CD=AC-xc=5-3=2 六顶点1的坐标为(2,4) 故选C 第8页/共35页 学科网 命组卷网 11.为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施.如图，小少分别表示燃油汽车和燃气汽车所 需费用y(单位：元)与行驶路程$（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车 每千米所需的费用的3倍少01元，设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为() y元 25---- -7y1 10 y2 0 Sy千米 2510 2510 25 10 25 10 A.x3x-0.1 B.x3x+0.1 C.3x+0.1x D.3x-0.1x 【答案】D 【解析】 【分析】先求出燃油汽车每千米所需的费用为(3x-0.)元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25 元时与燃气汽车所需费用为0元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得. 【详解】解：由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为(3x-0.1)元， 由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等， 2510 则可列方程为3x-0.1x, 故选：D 【点睛】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键， 12.如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点 P作P21CD,垂足为9.设点P的运动路程为，P吧-D0为'，'与'的函数图家如图2，则4D的 长为() 第9页/共35页 命学科网组卷网 P -2--- 图1 图2 4v2 8 7V5 11 A.3 B.3 C.4 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键， 根据函数的图象与坐标的关系确定CD的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解. 【详解】解：由图象得：CD=2,当BD+BP=4时.P=CD=2 此时点P在BC边上， 设此时BP=a,则BD=4-a,AD=BC=2+a, 在R△BCD中，BD2-BC2=CD2 即：(4-a°-(a+2}=2, 解得： AD=a+2=8 , 故选：B. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分） 1 13.若式子√2-x在实数范围内有意义，则x的取值范围是 【答案】x<2 第10页/共35页 命学科网组卷网 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；根据这两个条件得2-x>0,即可求解。 【详解】解：由题意得：2-x>0, 解得：x<2; 故答案为：x<2 14.若多项式 4x2-my+9y2 能用完全平方公式因式分解，则”的值是 【答案】±12 【解析】 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.利用完全平方公式的 结构特征判断即可确定出m的值， 【详解】解：“多项式4r-my+9y 能用完全平方公式因式分解， :4r2-my+9y2=(2x-my+(3y}=(2.x±3y. .m=±2×(2×3)=±12 故答案为：±12 15.如图，“L”形图形的面积为45，如果a-b=3,那么a+b= 不口 b ◇ b ◇ a 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法与图形的面积，以及因式分解的应用.将图形分成两个长方形，根据图形的 第11页/共35页 命学科网命组卷网 面积列出算式，然后因式分解即可得到答案. 【详解】解：如图， b b a 由题意，得： b(a-b)+a(a-b)=45 即(a+b(a-b)=45 a-b=3, .a+b=15, 故答案为：15 16.如图， Rt△ABC,AC=6BC=8 中， ,则其内部五个小直角三角形的周长之和为 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、勾股定理，根据图形得到内部五个小直角三角形的周长等于直角△ABC 的周长是解题的关键 由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角△ABC直角边重合，故内部五个小直角三角形的周 长等于直角△ABC的周长，利用勾股定理得到AB的长度，然后计算△ABC周长即可. 第12页/供35页 命学科网命组卷网 【详解】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角△ABC直角边平移得到的， Rt△ABC中，AC=6,BC=8」 :AB=VAC2+BC2=V6+82=10 由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角△ABC直角边重合， AABC ”内部五个小直角三角形的周长等于直角 的周长， AB+AC+BC=10+6+8=24 内部五个小直角三角形的周长为： 故答案为：24 k +2=七 17.已知关于x的分式方程x-11-x的解是非负数，则k的取值范围是 【答案】k≤2且k≠-1 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提.将分式方程化 为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可. k+2= 【详解】解：关于x的分式方程x-11-x化为整式方程得， k+2(x-1)=-x 2-k 尤= 解得3， 第13页/共35页 6学科网命组卷网 2-k20 由于分式方程的解为非负数，即3 所以k≤2， 当x=1时，k=-1, 因此k的取值范围为k≤2且k≠-1， 故答案为：k≤2且k≠-1 18如图，矩形4BCD中，点G是4D边上任意一点，连接 GB,GC E,F GB,GC ·点分别是 的中点， 连接EF.若AB:AD=2:3,Scc=12,则EF的值为 G 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理.先求得矩形ABCD的边长，根据三角形中位线定 EF=1BC-1x6-3 1 理得 2 2 【详解】解：四边形ABCD是矩形，AB:AD=2:3, 设AB=CD=2a,AD=BC=3a, SAawc =12 第14页/供35页 6学科网命组卷网 BC×AB=3a-2a=12 .2 2 解得a=2, .AB=CD=4,AD=BC=6. E,F GB,GC 点分别是 的中点， ×6=3 2 2 故答案为：3. 19如图，直角坐标系中，等边三角形MBC的顶点A的坐标为(0,3)，点B,C均在x轴上，将△ABC绕顶 A 30°，△AB'C' C 点“逆时针旋转得到 ,则点的坐标为 B C方 【答案】(3,3-√3)#3，-V5+3 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.作CF⊥AO,求出 OF CF 的值即可得到答案. 【详解】解：作CF⊥AO,交y轴于点F, 第15页/供35页 6学科网可组卷网 B OB 由题可得：OA=3, △ABC AO⊥BC 是等边三角形， :AO是∠BAC的角平分线，∠BAC=60°， ∴.∠OAC=30° 1 0c=21C 在Rt△M0C中，A02+0C2=AC2 即9+(40=4C 解得AC=2V5 :由旋转得4C'=AC=2V5,∠BAC=∠B4C'=60 .∠AC"F=90°-60°=30°， :4r-号4C=5rc=C-r-I2-3=3. .OF=AO-AF=3-3 C"(3,3-3) 故答案为： (3,3-V5) 第16页/供35页 学科网组卷网 20.将一张矩形纸片（四边形ABCD)按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C'处，折痕为 MN 点D落在点D处，CD交AD于点E,若BM=3,BC=4.AC=3,则DW= D N.D 3 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出 CM=CM=5 △BC'M≌AAEC' BC=AE=4 MC"=CE=5 ,即可得到 DE=4 然后证明 ，得到 DE=2,然后在 t△D'EN 中，利用NE=DE2+Dw2 题即可. 【详解】解：在RtaC"BM中，C"M=VC"B2+BM2=V42+32=5 由折叠可得C"M=CM=5,∠D'C"M=∠D'=∠D=∠C=90°， 又：ABCD是矩形， .∠A=∠B=90°， :.∠BC'M+∠ACE=∠AEC'+∠AC'E=90°， .∠BC"M=∠AEC', 又AC=BM=3, 第17页/供35页 6学科网命组卷网 .△BC'M≌△AEC', .BC'=AE=4,MC'=C"E=5, .AB=CD=C'D'=7,BC=AD=BM+CM=3+5=8. .DE=AD-AE=8-4=4,DE=CD'-C"E=7-5=2, 设D'N=DW=a,则EN=4-a, 在RADEN中，NE2=D'E+D'N2,即(4-a'=a+22 a=- 解得：42， 3 故答案为2 三、解答题（本大题共8个小题，满分60分） 21.(1)因式分解：(x+2)(x+4)+1 31 (2)解方程：5x+12x 【答案】4(x+3到，2)x=1. 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解和分式方程的解法，灵活运用完全平方公式进行 因式分解和熟练进行分式方程求解是解题关键， （)将x+2(x+4)+1变形为2+6x+9,符合完全平方公式，即可进行因式分解， (2)按照去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1的步骤解分式方程，注意检验分式方程的根. 【详解】解：1)(x+2)(x+4)+1 第18页/供35页 命学科网命组卷网 =x2+6x+8+1 =x2+6x+9 =(x+3}: 31 (2)5x+12x 去分母，得6x=5x+1, 移项，合并同类项并系数化为1，解得x=1, 经检验，x=1是该分式方程的解， 故该方程的解为x=1 22.在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可对“商家服务”给予分值评价（分值为1分、2分、 3分、4分和5分)，该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户 对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分 析.根据样本数据制作了不完整的统计图和统计表 “商家服务”评价分值的条形统计图 “商家服务”评价分值的扇形统计图 评价分值个数/个 1分×2分 1分 15 5分 5分 2分 10 3分 3分 15% 4分 40% 4分 45 评价分值/分 口甲商家口乙商家 甲商家 乙商家 统计量 商家 中位 众 平均 方 数 数 数 差 a 甲商 3 3.5 1 第19页/共35页 可学科网命组卷网 家 05 乙商 b 家 24 (1)甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数为. (2)表格中a= b= X= (3)小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫.你认为小亮应该选择哪一 家？说明你的观点。 【答案】(1)120°； (2)3.5,4,3.6 (3) 解：小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差 较接近， 小亮应该选择乙商家. 【解析】 【分析】(I)用甲商家3分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲商家抽取的评价分值个数，进而 用360°乘以甲商家4分的占比即可求解： (2)用乙商家3分的评价分值个数除以其百分比即可求出从乙商家抽取的评价分值个数，求出甲、乙商 家4分的评价分值个数，再根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解： (3)根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解： 本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键， 【小问1详解】 解：由题意可得，平台从甲商家抽取了12÷40%=30个评价分值， 第20页/供35页 6学科网6组卷网 =360°× 10=120° 30 故答案为：120°，： 【小问2详解】 解：从乙商家抽取了3÷15%=20个评价分值， 甲商家4分的评价分值个数为30-2-1-12-5=10个， 乙商家4分的评价分值个数为20-1-3-3-4=9个， ,甲商家共有30个数据， ∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数， +4=3.5 .as 2 乙商家4分的个数是9个，最多， ∴众数b=4, =1x1+2×3+3×3+4×9+5x4-3.6 乙商家平均数 20 故答案为：3.5,4,3.6： 【小问3详解】 略 23.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,∠ABD=∠CDB,BE⊥AC于点E, DF⊥AC BE=DF 于点F,且 第21页/供35页 6学科网命组卷网 (1)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)若AB=BO,当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 【答案】(1) 证明：：∠ABD=∠CDB, ,ABI‖CD .∠BAE=∠CDF, :BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F, .∠AEB=∠CFD=90° BE=DF, :△MBE≌CDF(AAS) .AB=CD .四边形ABCD是平行四边形： (2) 解：当∠ABE=30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下： ,AB=BO,BE⊥AO, .∠ABO=2∠ABE=60°， .△ABO是等边三角形， 第22页/供35页 命学科网 命组卷网 .AO=BO, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AC=2AO,BD=2B0 :.AC=BD, 四边形ABCD是矩形. 【解析】 【分析】I)由∠ABD=∠CDB得出ABCD,再证明△MBE≌aCDF(AAS)得出AB=CD,即可 得证： (2)证明△ABO是等边三角形，得出AO=BO,结合平行四边形的性质得出AC=BD,即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩 形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. 24.先阅读材料，再回答问题： 分解因式：(a-b)}2-2(a-b)+1 解：将“a-b”看成整体，令a-b=M,则原式=M2-2M+1=(M-,再将a-b=M还原，得到： 原式=(a-6-1).上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想。请你用整体思想 解决下列问题： (1)因式分解：9+6(x+y)+(x+y}= (2)因式分解： x2-2xy+y2-z2= 第23页/供35页 学科网组卷网 (3)若n为正整数，试说明(a+1+4n+5m+4的值为某个正整数的平方. 【答案】(1)B+x+ (2)(x-y+zx-y-2) (3) 解：(n+l(n+4)(n2+5n)+4 =(n+5n+4)(n2+5n）+4 令n+5n=M 则原式=M(M+4)+4 =M2+4M+4 =(M+2}, 原式=(m+5n+2}. .n为正整数 :r2+5n+2也为正整数， 代数式(n+(n+4m+5n)+4的值一定是某一个正整数的平方. 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法， (山把任+》看作一个整体，直接利用完全平方公式因武分解即可； （2)原式变形为x-少-，再用平方差公式因武分解即可： (3)将原式转化为+5n+4n+5n)+4,令2+5n=M,则原式=M(M+4)+4,=(M+2 第24页/供35页 6学科网可组卷网 =(r2+5n+2, 根据n为正整数得到n2+5n+2也为正整数，从而说明原式是整数的平方. 【小问1详解】 解：9+6(x+y)+(x+y)} =(3+x+y)2 故答案为： (3+x+y)2 【小问2详解】 x2-2xy+y2-22 =(x--z2】 =(x-y+z(x-y-z） 故答案为： (x-y+z(x-y-z） 【小问3详解】 略 25.近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电 动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 纯电动汽车 油价：7.5元/升 电池容量：80千瓦时 续航里程：m千米 电价：0.55元/千瓦时 每千米行驶费用： 续航里程：m千米 40×7.5 每千米行驶费用： 元 m元 (1)用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用 元 第25页/供35页 命学科网命组卷网 (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元： ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元.小明家要购置新车，他们家每年行驶 里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 44 【答案】(1)m (2)①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动车的每千米行驶费用为0.11元；②购买纯电动车年费用 更低 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，有理数四则混合运算的应用，列代数式等知识，根据题意准确列分 式方程是解题的关键 (1)根据题意列出代数式即可； (2)①纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元，据此列出分式方程，解方程并检验即可：②分别 计算燃油车年费用和纯电动车年费用，计算后即可得到答案 【小问1详解】 80×0.5544 纯电动汽车的每千米行驶费用为： m m (元) 【小问2详解】 40×7.5_44=0.64 ①由题意得： m m 300-44=0.64m m=256÷0.64 m=400 经检验：m=400是该分式方程的根： 40×7.5 =0.75 ∴.燃油车每千米行驶费用为： 400 (元)： 44 =0.11 纯电动车的每千米行驶费用为：400 (元) 第26页/供35页 学科网组卷网 答：燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动车的每千米行驶费用为0.11元. 6000km ②当行驶里程为 时， 燃油车年费用为：0.75×6000+3600=8100（元） 纯电动车年费用为：0.11×6000+6800=7460（元） 7460<8100 ∴选纯电动车年费用更低。 答：它们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买纯电动车年费用更低. 26已知△ABC是等腰三角形，AB=AC, ∠MAN=I∠BAC 2 ∠MAN在∠BAC的内部，点M,N 在BC上，点M在点 N BM,NC,MN 的左侧，探究线段 之间的数量关系。 【阅读理解】 如图①，当∠BAC=90°时，探究思路如下： 图① 图② 图③ 将△ACN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABP,易证△AMP≌△AMN,∠PBM=90°，在 RtAPBM中，BM2+BP2=MP,则有BM2+NC2=MN2 【类比探究】 (1)如图@，当∠B1C=60 BM,NC,MN 时，线段 之间的数量关系是 -:如图③，当 第27页/供35页 命学科网命组卷网 ∠BAC=120° BM,NC,MN 时，线段 之间的数量关系是 (2)在(1)中得到的结论，请选择图②或图③中的一个进行证明. 【答案】(1) BM2+NC2+BM.NC=MN2 BM2+NC2-BM.NC=MN2 (2) 证明：选图②： :4B=AC,∠BAC=60, .△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°， ,连接eAQM 以点B为顶点在△MBC外作∠1BK=60,在K上截取B0=CN, 过点Q作 QH⊥BC ,垂足为H, K HB M N :AB=AC∠C=∠ABO CN=BQ .△ACN≌△ABQ ∴.AN=AQ∠CAN=∠QAB 又：∠CAN+∠BAM=60°-∠MAW=60°-30°=30°. ∴.∠BAM+∠QAB=30° 第28页/供35页 6学科网6组卷网 :∠AM=∠MaN 又：AM=AM, ∴.△AQM≌△ANM ∴.MN=QM :∠AB0=60°，∠ABC=600 :∠0BH=180°-60°-60°=60 :∠B0H=90°-600=300 BH-B0 OH-Y6O :HM=BM+BH=BM+号BO 在Rt△QHM ，根据勾股定理可得：QH+HM2=QM BM2+BQ+BM·BQ=QM2 整理得 ∴.BM2+NC2+BM.NC=MW2 选图③： 正明：以点B为顶点在△MBC外作∠4BK=30°，在BK上我取B0=CN,连接O1QM, 过点Q作 OH⊥BC ,垂足为H, 第29页/供35页 可学科网命组卷网 K B H/M .AB=AC∠C=∠ABO CN=BQ ∴.△ACN≌△ABQ ∴AN=AQ∠CAN=∠QAB 又：∠CAN+∠BAM=60°， ∴.∠BAM+∠QAB=60° 即<OAM-∠MaN 又：AM=AM, ∴.△AQM≌△ANM ∴.MN=QM t△BQH,∠QBH=60°∠BQH=30° 在 中， m=号0.QH=Be】 2 2 HM -BM-BII-BM-TBQ 2 在Rt△OMM中，可得.OI+M=OM, 第30页/供35页 6学科网命组卷网 no-j-w 整理得BM2+BO-BM,B0=QM? ∴.BM2+NC2-BM.NC=MN2 【解析】 【分析】(1)根据题目中给出的图形和结论，得出答案即可： (2)选②，以点B为顶点在AMBC外作∠MBK=60°，在BK上裁取B0=CN,连接OA、2M,过点 .QH⊥BC AN=AQ∠CAN=∠QAB 0作1 垂足为H,构造全等三角形，得出 ，再证明 △4OM≌△4NM,得到N=OM,在Rt△OM中由勾股定理得OH+M2=OM2, 即 【小问1详解】 解：当∠BAC=60° BM,NC,MN 时，线段 之间的数量关系是： BM2+NC2+BM NC MN2 当∠BAC=120 BM,NC,MN 时，线段 之间的数量关系是： BM2+NC2-BM.NC=MN2 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一 半，勾股定理等知识，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质. 27.如图，O为原点，四边形0ABC为矩形，已知 10,0)，C0,3》,点D是OA的中点，动点P在线段 第31页/供35页 6学科网组卷网 BC 上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动.设动点P的运动时间为t秒. P C B B B O D D D A 备用1 备用2 (1)当t=」 时，四边形PODB是平行四边形： (2)在线段BC上是否存在一点O,使得O,D,Q,P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值， 并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由： (3)在线段PB上有一点M,且PM=5,求四边形OAMP周长的最小值. 【答案】(1)2.5 (2)存在， t=22(9,3)t=4.5Q(4,3) 或 (3)15+V67 【解析】 【分析】(1)根据平行四边形的判定与性质，即可解答； (2)分点P在点Q的左侧和右侧两种讨论，利用菱形的判定与性质及勾股定理即可求得答案： (3)连结PD,过点O作直线BC的对称点E,连结PE,先证明四边形ADPM是平行四边形，得到 AM∥PDAM=PD OP+AM=EP+DP DE ,然后证明 ，再根据两点之间线段最短，可得到点P在 上时，OP+AM=EP+DP取最小值DE,求出此最小值，由此即可求得答案. 【小问1详解】 A10,0) OA 解： 点D是的中点， ∴.0A=10OD=5 第32页/供35页 6学科网可组卷网 “四边形 OABC 为矩形， ∴.BC=OA=10 由已知，CP=2t,则PB=10-2t, 若四边形PODB是平行四边形， 则PB=OD. ∴.10-2t=5 ∴t=2.5 故答案为：2.5： 【小问2详解】 解：存在：理由如下： 当点P在点Q的左侧时， 若O,D,Q,P四点为顶点的四边形是菱形， OP=OD=PO=5 则 在RtAOCP中，OC=3. .CP=V0p2-0C2=V52-32=4 =含2，C0=C+P0=4+5=9 9,3) “Q点的坐标为 当点P在点Q的右侧时， 若O,D,O,P四点为顶点的四边形是菱形， 00=OD=PO=5 则9 第33页/供35页 学科网命组卷网 在 t△OC2中，0C=3 .C0=V002-0C2=V52-32=4 ∴.Q(4,3)CP=CQ+PQ=4+5=9 9 1=245, 综上所述，在线段上存在一点Q,使得0，D,Q,P四点为顶点的四边形是菱形，且1=2.9,3) BC 或1=4.50(4,3) 【小问3详解】 D A 解：连结PD,过点O作直线BC的对称点E,连结PE,DE, .PM=5 AD=5 :PM=AD, 又PM∥AD ∴.四边形ADPM是平行四边形， .AM∥PD,AM=PD, BC “点0和点B关于直线心的对称， ∴BC OE 垂直平分 ∴.OP=EP, .OP+AM=OP+DP=EP+DP, 当点P在DE上时，OP+AM=EP+DP取最小值DE,此时DE=VOD+OE=VS3+6=6 第34页/供35页 6学科网 列组卷网 即当点P在 DE上时，四边形 OAMP 周长的最小值为OA+PM+OP+AM=10+5+v6=15+6 yA P 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，线段和的最 值问题等知识，平移线段AM是解题的关键. 第35页/共35页 2024-2025学年度第一学期第二阶段检测练习题 初三数学 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A,B,C,D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列品牌公司的图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把多项式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 把如图中的三角形A（ ）可以得到三角形B． A. 先向右平移5格，再向上平移2格． B. 先向右平移7格，再以直角顶点为中心逆时针旋转，然后向上平移1格． C. 先以直角顶点为中心顺时针旋转，再向右平移5格． D. 先向右平移5格，再以直角顶点为中心逆时针旋转． 8. 如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 10. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 12. 如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 14. 若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是__________． 15. 如图，“”形图形的面积为45，如果，那么_________． 16. 如图，中，，，则其内部五个小直角三角形的周长之和为____________． 17. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_________. 18. 如图，矩形中，点是边上任意一点，连接．点分别是的中点，连接．若，，则的值为_________． 19. 如图，直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点均在轴上，将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为__________． 20. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分60分） 21. （1）因式分解： （2）解方程： 22. 在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可对“商家服务”给予分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．根据样本数据制作了不完整的统计图和统计表． 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 3 3．5 1．05 乙商家 4 1．24 （1）甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数为_________， （2）表格中__________，__________，__________； （3）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点． 23. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？ 24. 先阅读材料，再回答问题： 分解因式： 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式．上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： （1）因式分解：___________； （2）因式分解：____________； （3）若为正整数，试说明的值为某一个正整数的平方． 25. 近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用________元； （2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元： ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 26. 已知是等腰三角形，，，在的内部，点在上，点在点的左侧，探究线段之间的数量关系． 【阅读理解】 如图①，当时，探究思路如下： 将绕点顺时针旋转，得到，易证，，在中，，则有． 【类比探究】 （1）如图②，当时，线段之间的数量关系是__________；如图③，当时，线段之间的数量关系是___________； （2）在（1）中得到的结论，请选择图②或图③中的一个进行证明． 27. 如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当 时，四边形是平行四边形； （2）在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $