精品解析：河北省保定市徐水区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学卷

2024-2025学年第一学期学业质量评价 八年级数学试题（XS） 本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号在答题卡上填写清楚，将条形码准确贴在条形码粘贴区．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米的黑色碳素笔书写． 3．请按题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效，在草稿纸上、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色碳素笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把这个正确的选项涂在答题卡的相应位置）． 1. 下列各组线段能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，5，11 C. 5，6，11 D. 6，8，13 2. 如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，五边形公园中，，张老师沿公园由A点经散步，张老师共转了（ ） A. B. C. D. 7. 不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点E，C，F，B在一条直线上，，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E．连接，将分成两个角，且．则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A. B. C. D. 12. 我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ） A. 64 B. 128 C. 256 D. 612 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．把最简答案填在答题卡的相应位置）． 13. 当________时，分式的值为0． 14. 如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是________． 15. 分解因式：=___________________________． 16. 我国建造的港珠澳大桥全长千米，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索的建设运用的数学原理是________． 17. 如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为_____． 18. “回文诗”就是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊体裁，如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”．在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．在所有三位数中，“回文数”共有________个． 三、解答题（本大题共8小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并把解答过程写在答题卡的相应位置）． 19. 计算 （1） （2） （3） （4） 20. 解分式方程 （1） （2） 21. 计算 （1）已知，求代数式的值； （2）先化简，再从0，1，2三个数中，选择一个合适的数作为a的值代入求值． 22. 如图，在中，，．在线段上求作一点D，使得．小明发现作的平分线交于点D，点D即为所求． （1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：， ________． 平分， ． ． ________． 在中，， （________）（填推理依据）． ． 23. 利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把中看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； （3）结合本题知识，分解因式：． 24. 已知：如图，，，，． （1）求证：； （2）求的度数． 25. 2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？ 26. 如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线沿向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于，于．设点的运动时间为 （1）用含的代数式表示的长． （2）当点在边上时，求证：． （3）连结，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，直接写出值． （4）当与全等时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期学业质量评价 八年级数学试题（XS） 本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号在答题卡上填写清楚，将条形码准确贴在条形码粘贴区．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米的黑色碳素笔书写． 3．请按题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效，在草稿纸上、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色碳素笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把这个正确的选项涂在答题卡的相应位置）． 1. 下列各组线段能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，5，11 C. 5，6，11 D. 6，8，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：A、，长度是1、2、3的线段不能组成三角形，故A不符合题意； B、，长度是5、5、11的线段不能组成三角形，故B不符合题意； C、，长度是5、6、11的线段不能组成三角形，故C不符合题意； D、，长度是6、8、13的线段能组成三角形，故D符合题意． 故选：D． 2. 如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 3. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是； 故选C． 4. 杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 5. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 6. 如图，五边形公园中，，张老师沿公园由A点经散步，张老师共转了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和，用五边形的外角和，减去的邻补角的度数即可． 【详解】解：∵五边形的外角和为：， ∴张老师共转了； 故选D． 7. 不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识．根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于的整式，分式值不变，即可得出答案． 【详解】解：A、，原选项变形错误，不符合题意； B、，原选项变形错误，不符合题意； C、，原选项变形错误，不符合题意； D、，原选项变形正确，符合题意； 故选：D． 8. 如图，点E，C，F，B在一条直线上，，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定条件进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，此时无法证明，故A符合要求； 当时，，故B不符合要求； 当时，则，，故C不符合要求； 当时，，故D不符合要求； 故选：A． 9. 如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E．连接，将分成两个角，且．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，三角形的内角和定理，根据中垂线的性质，得到，等边对等角，得到，根据角的数量关系和三角形的内角和定理，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 10. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，等式不成立，不是因式分解，不符合题意； B、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、，是因式分解，符合题意； D、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选C 11. 如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力．根据题意分别表示出两个图形中阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵图1中阴影部分的面积表示为：， 图2中阴影部分的面积表示为：， ∴， 故选：A． 12. 我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ） A. 64 B. 128 C. 256 D. 612 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，求出已有展开式的系数和，推出的展开式的系数和为，进而求出展开式的系数和即可． 【详解】解：∵的展开式的系数和为：； 的展开式的系数和为：； 的展开式的系数和为：； ， ∴的展开式的系数和为， ∴展开式的系数和是； 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．把最简答案填在答题卡的相应位置）． 13. 当________时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件为分子为零成为解题的关键． 直接根据分式为零的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 即． 故答案为：． 14. 如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答即可． 【详解】解：（1）当2为腰长时，三边分别为2、2、7，因为2+2=4＜7，根据三角形三边关系得，此三边不能组成三角形． （2）当7为腰长时，三边分别为2、7、7，根据三角形三边关系得，此三边能组成三角形．所以三角形的周长=7+7+2=16； 综上，此三角形的周长为16． 故答案为：16 【点睛】本题主要考查等腰三角形三边关系，解题的关键是先分类讨论确定腰长，再根据三角形任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，最后算出周长即可． 15. 分解因式：=___________________________． 【答案】． 【解析】 【详解】原式==． 故答案为． 16. 我国建造的港珠澳大桥全长千米，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索的建设运用的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据图示，有三角形构成，结合三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：根据图示，运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性 ． 17. 如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题重点考查了等腰三角形的性质定理，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确画辅助线，同时熟练掌握等腰三角形、垂直平分线的性质定理是解题的关键． 先作辅助线，连接，过点作于点，利用等腰三角形的性质得到垂直平分，根据线段的垂直平分线的性质定理得到，再利用垂线段最短原理得到最小值即为的值，通过三角形的面积公式计算得到的值，完成求解． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线，则， ∴， 根据“垂线段最短”得， 即当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵的面积为，， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 18. “回文诗”就是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊体裁，如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”．在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．在所有三位数中，“回文数”共有________个． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，根据回文数百位数和个位数相同，得到百位数为1时，共有10个回文数，依次类推得到百位数分别为2，3，4，5，6，7，8，9时，各有10个回文数，求解即可． 【详解】解：由题意，当百位数为1时，回文数有，共10个， 同理：百位数分别为2，3，4，5，6，7，8，9时，各有10个回文数， ∴所有三位数中，“回文数”共有个； 故答案为：90． 三、解答题（本大题共8小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并把解答过程写在答题卡的相应位置）． 19. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，分式的加减乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据零次幂、负整数指数幂以及绝对值的性质进行计算，即可得到答案； （2）根据积的乘方、同底数幂的乘法以及单项式的除法法则进行计算，即可得到答案； （3）根据完全平方公式、平方差公式以及整式的加减运算法则进行计算，即可得到答案； （4）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 解分式方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程： （1）去分母，将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）去分母，将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可． 【小问1详解】 解：， 两边同乘得： 解得． 检验：把代入， 所以是原方程的解． 原方程的解为． 【小问2详解】 解：， 等号两边同时乘，可得， 移项，合并同类项，可得， 系数化为1，可得， 检验：把代入， 该分式方程的解为． 21. 计算 （1）已知，求代数式的值； （2）先化简，再从0，1，2三个数中，选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】（1） （2），当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，整式的混合运算． （1）将代数式去括号，整理得到，再整体代入求解即可； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后确定a的值，把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解： ； ∵， ∴， 将代入，得：原式． 22. 如图，在中，，．在线段上求作一点D，使得．小明发现作的平分线交于点D，点D即为所求． （1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：， ________． 平分， ． ． ________． 在中，， （________）（填推理依据）． ． 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） 证明：， ． 平分， ． ． ． 在中，， （在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）（填推理依据）． ． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形： （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，推出，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把中看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； （3）结合本题知识，分解因式：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ， ； 【小问3详解】 解： ， ． 24. 已知：如图，，，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） ∵， ∴， ∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）利用，证明即可； （2）根据全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理以及对顶角相等，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ． ， ， ． 25. 2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？ 【答案】A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元 【解析】 【分析】设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元，，再利用“采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元”，列方程，解方程即可． 【详解】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元， 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是所列方程的根． （元）． 所以，A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设出恰当的未知数，确定相等关系是解题的关键． 26. 如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线沿向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于，于．设点的运动时间为 （1）用含的代数式表示的长． （2）当点在边上时，求证：． （3）连结，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，直接写出值． （4）当与全等时，直接写出的值． 【答案】（1）或 （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）t的值为或 （4）t的值为1或或 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）分两种情况情况，点在上，在上，由题意可得出答案； （2）由直角三角形的性质可得出结论； （3）当点在边上，且时，是等边三角形，当点Q在边上，时，是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案； （4）由全等三角形的性质列出方程可得出答案． 【小问1详解】 解：当点到点时， 当点到点时， 当时，在上，， ∴； 当时，点在上， ∵， ∴； ∴的长为或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， 当点在边上，且时，是等边三角形， 此时， ∴； 当点Q在边上，时，是等边三角形， 此时， ∴， 综上所述，当图中存在等边三角形时，t的值为或； 【小问4详解】 解：当点到点时， 当点到点时， 当时，点在边上，点Q在边上，，， 此时，，，则有， ∴， ∴ 解得：； 当时，点P，Q都在边上时，，， 点P，Q重合，此时， ∴， ∴， 解得：； 当时，点到终点停止不动，点P在边上此时两个三角形不全等； 当时，点到终点停止不动，点P在边上，，，此时， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当与全等时，t的值为1或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $