广东省深圳市福田区西交利物浦大学基础教育集团2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

西浦教育集团外国语高中2024 -2025学年度第一学期高二年级期末考试 西浦教育集团外国语高中2024-2025学年度第一学期 高二年级 期末考试 数学学科试题 答题注意事项:命题人:汪琼华 1.本试卷满分150分;考试用时120分钟; 2.本试卷分二卷,不按要求答卷不得分。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线垂直,则( ) A. 1 B. 2 C. D. 2. 在等差数列中, ,则( ) A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 3. 若,,则( ) A. B. C. 8 D. 10 4. 与曲线共焦点,且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 5. 已知两条直线与被圆截得的线段长均为2,则圆的面积为( ) A. B. C. D. 6. 设是等比数列的前项和,若,则( ) A. B. C. D. 7. 数学与建筑的结合造就建筑艺术,如图,吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,若将校门轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成抛物线的一部分,其焦点坐标为,校门最高点到地面距离约为18米,则校门位于地面宽度最大约为( ) A. 18米 B. 21米 C. 24米 D. 27米 8. 已知为正方形的中心,分别为的中点,若将正方形沿对角线翻折,使得二面角的大小为,则此时的值为( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中,已知,,下列结论正确的有( ) A. B. C. 若,且,则 D. 若且,则 10. 已知点是椭圆上一点,为其左、右焦点,且 的面积为3,则下列说法正确的是( ) A. P点到轴的距离为 B. C. 的周长为 D. 的内切圆半径为 11. 如图,已知正方体中,E,F,M,N分别是CD,,,BC的中点,则下列说法正确的有( ) A. E,F,M,N四点共面 B. BD与EF所成的角为 C. 在线段BD上存在点P,使平面EFM D. 在线段上任取点Q,三棱锥的体积不变 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 已知空间向量,则向量在向量上的投影向量的坐标是_. 13. 已知抛物线焦点为,抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离,则_ 14. 对于等差数列和等比数列,我国古代很早就有研究成果,北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”,就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆,从上向下查,第一层有2个货物,第二层比第一层多3个,第三层比第二层多4个,以此类推,记第层货物的个数为,则数列的前项和_. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知等差数列的前项和为,且. (1)求数列的通项公式; (2)设数列满足,求的前项和. 16.(本小题满分15分) 已知圆心为的圆被直线截得的弦长为. (1)求圆N的方程; (2)点与点C关于直线对称,求以C为圆心且与圆N外切的圆的方程. 17.(本小题满分15分) 记数列的前项和为,已知 (1)证明:数列为等比数列,并求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和. 18.(本小题满分17分) 如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,,为正三角形,为的中点,且平面平面,是线段上的点. (1)求证:; (2)是否存在点,使得直线与平面的夹角的正弦值为,若存在;求出此时的值;若不存在,请说明理由. 19.(本小题满分17分) 若椭圆的长轴长,短轴长分别等于双曲线的实轴长,虚轴长,且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上,则称椭圆是双曲线的共轭椭圆,双曲线是椭圆的共轭双曲线.已知椭圆的共轭双曲线为. (1)求双曲线的标准方程; (2)已知点,直线(不过点)与相交于、两点,且,求点到直线的距离的最大值. 高二年级 数学科试卷 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$ 西浦教育集团外国语高中2024 -2025学年度第一学期高二年级期末考试答案 西浦教育集团外国语高中2024-2025学年度第一学期 高二年级 期末考试 数学学科试题答案 答题注意事项：命题人：汪琼华 1.本试卷满分150分；考试用时120分钟； 2.本试卷分二卷,不按要求答卷不得分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. B；2. A；3. A；4. A. 5. 【答案】A 【详解】因为两条直线与，所以，所以与间的距离为，所以圆心到直线的距离为1，因为直线被圆截得的弦长为2，所以圆的半径为，所以圆的面积为. 6. 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，若，则，矛盾，所以， 故，则， 所以， ，因此， 7. 【答案】C 【详解】解：抛物线，即，因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以， 所以抛物线即为，令，则，解得，所以校门位于地面宽度最大约为米. 8. 【答案】A 【详解】如图所示，易知，所以结合已知有， 易知， 设正方形边长为2，所以， , 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.【答案】BC 【详解】对于A，因为，，所以，可得，所以A错误； 对于B，因为，，所以，所以B正确； 对于C，若，且，则，解得，所以C正确， 对于D，若且，因为，可得，解得，所以D错误. 10. 【答案】ACD 【详解】由已知条件得，，， 设，则，解得，则P点到轴的距离为，故正确； 将代入得， 则， 则，且两向量所成角的范围为，则为锐角，故错误； 由椭圆的定义可知，， △的周长为，故正确； 设△的内切圆半径为，圆心为, 则 ，解得 ，故正确； 11. 【答案】ABD【详解】以D为原点，以DA，DC，所在直线分别为x轴、 y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，，，，，， ，，，设， 则，所以， 解得故，即E，F，M，N四点共面，选项A正确； 因为．，所以， 所以BD与EF所成的角为，选项B正确； 假设线段BD上存在点P，符合题意.设，则， 若平面EFM，则，． 因为，，所以， 此方程组无解，所以在线段BD上不存在点P，使平面EFM，选项C错误； 因为，所以，又平面EFM，平面EFM，所以平面EFM，故上的所有点到平面EFM的距离均相等，即在线段上任取点Q， 三棱锥的体积不变，选项D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.【答案】 13. 【答案】 【详解】点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离， 点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离，，解得； 14.【答案】 【详解】由题意可知：，， 所以，所以，所以，当时，满足的情况，所以； 因为， 所以， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分) 15． 【详解】（1）设的公差为，由可得， 解得，所以. .....................................................................5分 （2）由（1）可知，.....................................................................................8分 易知是公比为4的等比数列，..................................................................................10分 所以可得......................................................................................13分 16.(本小题满分15分) 【小问1详解】 圆心到直线的距离等于， ....................................................2分 圆N被直线截得的弦长为， 则圆N的半径， ........................................................................5分 圆N的方程为． ......................................................................7分 【小问2详解】 点与点C关于直线对称，点C的坐标为．.................. ..10分 设所求圆的方程为， 圆C与圆N外切，故，得．................. ....13分 圆C的方程为．............................................... . ....... ..... ... ..15分 17.(本小题满分15分) 【小问1详解】 因为， 当时，，解得得；.....................................................................1分 当时，由，得， 两式相减得，即，...............................................3分 则，即， 又，故，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，...............................................7分 所以，即， 所以．.............................................................................................................9分 【小问2详解】 由（1）得， 所以,................................................11分 所以， 则，..................................................13分 两式相减，得 ， 所以．.........................................................................................15分 18.(本小题满分17分) 【小问1详解】 证明：连接，，如图所示， 因为四边形是菱形，所以， 因为，所以为等边三角形， 又因为为的中点，所以，.....................................................................................1分 因为是等边三角形，为中点，所以，...................................................2分 因为，平面，所以平面，..................................4分 又因为，所以平面，..................................................................................5分 因为平面，所以..........................................................................................6分 【小问2详解】存在，，理由如下： 因为平面平面，平面平面， 由(1)知，，平面，所以平面， 因为，以点为坐标原点，，，所在直线分别 为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，......................................................................7分 则，，，， ，，........................................................9分 设，， ，...............................10分 设平面的一个法向量， ，取，得：，......................................................12分 因为直线与平面的夹角的正弦值为， 所以：，...................................14分 整理得：，由，解得： 故存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，此时：.....................17分 19.(本小题满分17分) 【小问1详解】 解：由题意可设的标准方程为，则，， 所以双曲线的标准方程为．..................................3分 【小问2详解】 解：当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设点、， 联立，得，............................................................5分 所以且， 即且， 由韦达定理可得，，.............................................................6分 ．..............................7分 因为，且，， 所以..................................8分 ． 所以或．..............................................................................................................10分 当时，直线恒过点，不合题意， 当时，直线恒过点，合乎题意；..............................11分 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 则、 因为，所以，解得或（舍去）．..............................................................................................................................................13分 所以直线恒过点，......................................................................................................................14分 所以当直线时，点到直线的距离最大，距离的最大值为．.................................17分 高二年级 数学科试卷 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$