专题13 图形的性质——四边形（7类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（湖北专用）

专题11 图形的性质---四边形 课标要求 考点 考向 1. 了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式。 2. 理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。 3. 探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。探索并证明平行四边形的判定定理：一 组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4. 理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离。 5. 探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直。探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。 6. 探索并证明三角形的中位线定理。 多 边 形 考向一 多边形的内角和与外角和 考向二 正多边形的性质 平行四边形的性质与判定 考向三 平行四边形的性质与判定 考向四 三角形的中位线+直角三角形斜边上的中线 考向五 矩形的性质与判定 考向六 菱形的性质与判定 考向七 正方形的性质与判定 考点一 多边形 ►考向一 多边形的内角和与外角和 解题技巧： ★1、n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数） ★2、多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180° . ★3、多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°． 【注意】 （1）多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和. （2）多边形的外角和恒等于360°，与边数无关. 1．（2023•襄阳）五边形的外角和等于（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 【分析】根据多边形的外角和等于360°解答． 【解答】解：五边形的外角和是360°． 故选：B． 【点评】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°． ►考向二 正多边形的性质 解题技巧： ★正n边形的性质 (1)边：正n边形的各条边都相等； (2)内角：正n边形的每一个内角都等于； (3)外角：正n边形的各个外角都相等，都等于； (4)对称性：正n边形都是轴对称图形，其中边数为偶数的正n边形也是中心对称图形，正n边形有n条对称轴． 2．（2023•湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝　 　． 【分析】根据正多边形的性质及其外角和为360°列式计算即可． 【解答】解：∵正n边形的一个外角为72°， ∴n＝360÷72＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查多边形的外角和与正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 3．（2021•孝感）正五边形的一个内角是 　 　度． 【分析】因为n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而代入公式就可以求出内角和，再用内角和除以内角的个数就是一个内角的度数． 【解答】解：（5﹣2）•180°＝540°，540°÷5＝108°，所以正五边形的一个内角的度数是108度． 【点评】本题考查正多边形的基本性质，解题时应先算出正n边形的内角和再除以n即可得到答案． 4．（2021•襄阳）正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【分析】由正多边形的外角和为360°，及正多边形的一个外角等于60°，可得结论． 【解答】解：∵正多边形的外角和为360°， ∴此多边形的边数为：360°÷60°＝6． 故选：B． 【点评】本题主要考查正多边形的外角，熟知多边形外角和为360°是解题关键． 考店二 平行四边形的性质与判定 ►考向三 平行四边形的性质与判定 解题技巧： ★平行四边形的性质 1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等． 2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补. 3、对角线：平行四边形的对角线互相平分． ★平行四边形的判定 (1)从边的角度： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． (2)从角的角度：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)从对角线的角度：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形． 5．（2022•荆州）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是 　 　．（只需写一种情况） 【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，∠A＝∠C，AB＝CD，根据全等三角形的判定可得出结论． 【解答】解：添加BE＝DF． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠A＝∠C，AB＝CD， ∴∠E＝∠F， ∵BE＝DF， ∴BE+AB＝CD+DF， 即AE＝CF， 在△AEG和△CFH中， ， ∴△AEG≌△CFH（ASA）． 故答案为：BE＝DF（答案不唯一）． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 6．（2021•荆门）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠FHE＝45°，求出∠NHB＝∠FHE＝45°，根据三角形内角和定理求出∠HNB＝105°，根据平行四边形的性质得出CD∥AB，根据平行线的性质得出∠2+∠HNB＝180°，再求出答案即可． 【解答】解：延长EH交AB于N， ∵△EFH是等腰直角三角形， ∴∠FHE＝45°， ∴∠NHB＝∠FHE＝45°， ∵∠1＝30°， ∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠2+∠HNB＝180°， ∴∠2＝75°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质等知识点，能根据平行四边形的性质得出CD∥AB是解此题的关键． 7．（2024•湖北）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF， 求证：BE＝DF． 【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD即∠BAE＝∠DCF，根据SAS可得△ABE≌△CDF，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴BE＝DF． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证的△ABE≌△CDF是解答本题的关键． 8．（2024•武汉）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由） 【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D．再证明DF＝BE，然后由SAS证明△ABE≌△CDF即可； （2）证明AF＝BE，再由平行四边形的性质得AD∥BC，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D． ∵AF＝CE， ∴AD﹣AF＝BC﹣CE， ∴DF＝BE， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：如图，添加BE＝CE，理由如下： ∵AF＝CE，BE＝CE， ∴AF＝BE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴四边形ABEF是平行四边形． 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． ►考向四 三角形的中位线+直角三角形斜边上的中线 解题技巧： ★1、三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. ★2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半. ★3、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 9．（2021•十堰）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 　 　． 【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长． 【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点， ∴OMCDAB＝2.5， ∵AB＝5，AD＝12， ∴AC13， ∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点， ∴BOAC＝6.5， ∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20， 故答案为：20． 【点评】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大． 10．（2022•宜昌）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，矩形ABCD的面积为 　 　． 【分析】由矩形的性质得出∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC，由直角三角形斜边上中线的性质及三角形中位线的性质求出BE＝6，CE＝8，BC＝10，由勾股定理的逆定理得出△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，进而求出24，即可求出矩形ABCD的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC， ∵F，G分别是BE，CE的中点，AF＝3，DG＝4，FG＝5， ∴BE＝2AF＝6，CE＝2DG＝8，BC＝2FG＝10， ∴BE2+CE2＝BC2， ∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°， ∴24， ∵AD∥BC， ∴S矩形ABCD＝2S△BCE＝2×24＝48， 故答案为：48． 【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理的逆定理等知识是解决问题的关键． ►考向五 矩形的性质与判定 解题技巧： ★矩形的性质 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等. ★矩形的判定 方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 方法二：对角线相等的平行四边形是矩形； 方法三：有三个角是直角的四边形是矩形； 11．（2023•襄阳）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，下列结论一定正确的是（　　） A．AC平分∠BAD B．AB＝BC C．AC＝BD D．AC⊥BD 【分析】根据矩形的对角线相等，以及矩形与菱形性质的区别判断即可． 【解答】解：由矩形ABCD的对角线相交于点O， 根据矩形的对角线相等， 可得AC＝BD． 故选：C． 【点评】本题主要考查了矩形的对角线相等，关键是注意矩形与菱形性质的区别． 12．（2022•十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝　 °． 【分析】利用矩形的性质可得∠DBC＝90°，从而利用平角定义求出∠ABC的度数，然后利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝35°，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解答】解：∵四边形BDEC为矩形， ∴∠DBC＝90°， ∵∠FBD＝55°， ∴∠ABC＝180°﹣∠DBC﹣∠FBD＝35°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝35°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝110°， 故答案为：110． 【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 13．（2022•十堰）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：BE＝DF； （2）设k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． 【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可得到BO＝OD，EO＝FO，进而得出四边形BFDE是平行四边形，进而得到BE＝DF； （2）先确定当OE＝OD时，四边形DEBF是矩形，从而得k的值． 【解答】（1）证明：如图，连接DE，BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝OD，AO＝OC， ∵E，F分别为AO，OC的中点， ∴EOOA，OFOC， ∴EO＝FO， ∵BO＝OD，EO＝FO， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴BE＝DF； （2）解：当k＝2时，四边形DEBF是矩形；理由如下： 当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形， ∴当OD＝OE时，四边形DEBF是矩形， ∵AE＝OE， ∴AC＝2BD， ∴当k＝2时，四边形DEBF是矩形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，注意对角线互相平分的四边形是平行四边形． ►考向六 菱形的性质与判定 解题技巧： ★菱形的性质 1.菱形具有平行四边形的一切性质. 2.菱形的四条边都相等. 3.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 4.菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线. 5、菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式=底×高． ②菱形面积＝ ab．（a、b是两条对角线的长度） ③ 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； ★菱形的判定 1、定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. 2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形. 14．（2022•襄阳）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∵OA＝OD， ∴AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键． 15．（2023•随州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若BC＝3，DC＝2，求四边形OCED的面积． 【分析】（1）证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形性质可得：OC＝OD，利用菱形的判定即可证得结论； （2）先求出矩形面积，再根据矩形性质可得S△OCDS矩形ABCD，再由菱形性质可得菱形OCED的面积＝2S△OCD可解答． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴AC＝BD，OCAC，ODBD， ∴OC＝OD， ∴四边形OCED是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝3，DC＝2， ∴OA＝OB＝OC＝OD，S矩形ABCD＝3×2＝6， ∴S△OCDS矩形ABCD6＝1.5， ∵四边形OCED是菱形， ∴菱形OCED的面积＝2S△OCD＝2×1.5＝3． 【点评】本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，矩形面积和菱形面积等基础知识，能综合运用相关知识点进行推理和计算是解此题的关键． 16．（2021•十堰）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长． 【分析】（1）由题意可得△AFD≌△CED（AAS），则AF＝EC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF是平行四边形；又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的性质可得AF＝CF，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得结论； （2）过点A作AG⊥BC于点G，根据题意可得∠AEG＝60°，AE＝2，则BG＝AG，ABBG． 【解答】解：（1）证明：如图， 在△ABC中，点D是AC的中点， ∴AD＝DC， ∵AF∥BC， ∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED， ∴△AFD≌△CED（AAS）， ∴AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， 又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC， ∴平行四边形AECF是菱形． （2）如图，过点A作AG⊥BC于点G， 由（1）知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°， ∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°， ∴∠AEB＝∠FAE＝60°， ∵AG⊥BC， ∴∠AGB＝∠AGE＝90°， ∴∠GAE＝30°， ∴GEAE＝1，AGGE， ∵∠B＝45°， ∴∠GAB＝∠B＝45°， ∴BG＝AG， ∴ABBG． 【点评】本题主要考查菱形的性质与判定，含30°角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据45°，30°等特殊角作出正确的垂线是解题关键． 17．（2021•随州）如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形BEDF是菱形． 【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CDF； （2）由菱形的性质可得BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，可求EO＝FO，可得结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）如图，连接BD，交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO， ∵AE＝CF， ∴EO＝FO， ∴四边形BEDF是平行四边形， 又∵BD⊥EF， ∴平行四边形BEDF是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． ►考向七 正方形的性质与判定 解题技巧： ★正方形的性质 1、具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即 ①边：四条边相等，邻边垂直，对边平行； ②角：四个角都是直角； ③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； ④正方形式轴对称图形，有四条对称轴； 2、正方形的面积计算 ①边长的平方；②对角线平方的一半； ★正方形判定方法： 定义法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 四边形法 有四条边相等，三个角都是直角的四边形是正方形. 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形. 平行四边形法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形. 矩形法 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相互垂直的矩形是正方形. 菱形法 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 18．（2022•黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（　　） A．（，0） B．（，0） C．（0，） D．（0，2） 【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB＝2，再由旋转的性质得B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，即可得出结论． 【解答】解：如图，连接OB， ∵正方形OABC的边长为， ∴OC＝BC，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°， ∴OB2， ∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置， ∴B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2， ∴点B1的坐标为（0，2）， 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键． 19．（2022•随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的 有（　　） ①图中的三角形都是等腰直角三角形； ②四边形MPEB是菱形； ③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的． A．只有① B．①② C．①③ D．②③ 【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题； ②利用①的结论可以证明OM≠MP解决问题； ③如图，过M作MG⊥BC于G，设AB＝BC＝x，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出BE和MG即可判定是否正确． 【解答】解：①如图，∵E，F分别为BC，CD的中点， ∴EF为△CBD的中位线， ∴EF∥BD， ∵AP⊥EF， ∴AP⊥BD， ∵四边形ABCD为正方形， ∴A、O、P、C在同一条直线上， ∴△ABC、△ACD、△ABD、△BCD、△OAB、△OAD、△OBC、△OCD、△EFC都是等腰直角三角形， ∵M，N分别为BO，DO的中点， ∴MP∥BC，NF∥OC， ∴△DNF、△OMP也是等腰直角三角形． 故①正确； ②根据①得OM＝BMPM，∴BM≠PM ∴四边形MPEB不可能是菱形．故②错误； ③∵E，F分别为BC，CD的中点， ∴EF∥BD，EFBD， ∵四边形ABCD是正方形，且设AB＝BC＝x， ∴BDx， ∵AP⊥EF， ∴AP⊥BD， ∴BO＝OD， ∴点P在AC上， ∴PEEF， ∴PE＝BM， ∴四边形BMPE是平行四边形， ∴BOBD， ∵M为BO的中点， ∴BMBDx， ∵E为BC的中点， ∴BEBCx， 过M作MG⊥BC于G， ∴MGBMx， ∴四边形BMPE的面积＝BE•MGx2， ∴四边形BMPE的面积占正方形ABCD面积的． ∵E、F是BC，CD的中点， ∴S△CEFS△CBDS四边形ABCD， ∴四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的（1）． 故③正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了中位线的性质，也考查了正方形的面积公式和三角形的面积公式，综合性比较强，能力要求比较高． 20．（2021•湖北）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①连接BE，易知四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H，由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG； ③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE； ④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2； 【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H，∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE． ∴∠OFB＝∠ADE． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°． ∴∠OFB+∠AHD＝90°． 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG． ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ∴AC． ∴DEAC＝2． 由①知：FG＝DE， ∴FG的最小值为2， ∴④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故选：C． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，垂直的定义．根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 21．（2022•恩施州）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F．求证：DF＝BE+EF． 【分析】由“AAS”可证△CBE≌△DCF，可得CF＝BE，CE＝DF，可得结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∵CE⊥BG，DF⊥CE， ∴∠BEC＝∠DFC＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BCE+∠DCF， ∴∠CBE＝∠DCF， 在△CBE和△DCF中， ， ∴△CBE≌△DCF（AAS）， ∴CF＝BE，CE＝DF， ∵CE＝EF+CF， ∴DF＝BE+EF． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 22．（2023•十堰）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP． （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ 【分析】（1）由平行四边形的性质得出OC＝OAAC，OB＝ODBD，证出OB＝CP，BP＝OC，则可得出结论； （2）由正方形的判定可得出结论． 【解答】解：（1）四边形BPCO为平行四边形． 理由：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OC＝OAAC，OB＝ODBD， ∵以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P， ∴OB＝CP，BP＝OC， ∴四边形BPCO为平行四边形； （2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形． ∵AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∵AC＝BD，OBBD，OCAC， ∴OB＝OC， ∵四边形BPCO为平行四边形， ∴四边形BPCO为正方形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 23．（2023•黄石）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM＝CN，AN与DM相交于点P． （1）求证：△ABN≌△DAM； （2）求∠APM的大小． 【分析】（1）利用SAS证明全等即可； （2）根据全等的性质，得到∠MAP＝∠ADM，由∠MAP+∠AMP＝∠ADM+∠AMP＝90°，从而求出∠APM＝90°． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC，∠DAM＝∠ABN＝90°， ∵BM＝CN， ∴BC﹣CN＝AB﹣BM，即BN＝AM， 在△ABN和△DAM中， ∴△ABN≌△DAM（SAS）； （2）解：由（1）知△ABN≌△DAM， ∴∠MAP＝∠ADM， ∴∠MAP+∠AMP＝∠ADM+∠AMP＝90°， ∴∠APM＝180°﹣（∠MAP+∠AMP）＝90°． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关图形的性质和判定是解题的关键． 1．（2024•宣恩县二模）一个多边形的内角和与外角和相等，则它是（　　） A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不确定 【分析】根据多边形的外角和为360°，可得这个多边形的内角和也为360°，即可进行解答． 【解答】解：∵多边形的外角和为360°， ∴这个多边形的内角和也为360°， 设这个多边形为n边形， 180°×（n﹣2）＝360°， 解得：n＝4， ∴它是四边形， 故选：B． 【点评】本题主要考查了多边形的外角和以及内角和，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°，多边形的内角和为180°×（n﹣2）． 2．（2024•湖北模拟）若正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则此多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和与外角和列得方程，解得n的值即可． 【解答】解：设多边形的边数为n， 则（n﹣2）•180°＝360°×2， 解得：n＝6， 即此多边形的边数为6， 故选：A． 【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． 3．（2024•五峰县模拟）已知一个正多边形的一个内角是一个外角的两倍，则这个正多边形是（　　） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 【分析】根据题意求得多边形的一个外角的度数，然后利用平角的定义列式计算即可． 【解答】解：设这个正多边形的一个外角是x°，则它的一个内角是2x°， 那么x°+2x°＝180°， 解得：x＝60， 则360°÷60°＝6， 即这个正多边形是正六边形， 故选：A． 【点评】本题考查多边形的内角和外角，结合已知条件求得多边形的一个外角的度数是解题的关键． 4．（2024•钟祥市模拟）小聪利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己一共走了72米，则θ的度数为（　　） A．60° B．75° C．30° D．45° 【分析】小聪第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．计算这个正多边形的边数和外角即可． 【解答】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形， ∴多边形的边数为：72÷6＝12． 根据多边形的外角和为360°， ∴他每次转过的角度θ＝360°÷12＝30°． 故选：C． 【点评】本题考查多边形的外角和．解题的关键时判断出小丽第一次返回点A时，所经过的路径构成一个正多边形． 5．（2024•十堰一模）如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的外角，则∠1+∠2+∠3的度数为（　　） A．180° B．210° C．240° D．270° 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到以点A、点E为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解． 【解答】A解：延长BA，DE， ∵AB∥ED， ∴∠4+∠5＝180°， 根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°， ∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键． 6．（2024•南漳县一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，则下列结论中不一定成立的是（　　） A．OA＝OC B． C．AC＝BD D．AC⊥BD 【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝CD，AC⊥BD，由直角三角形的性质可得OE＝DE＝CECDAB，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD，AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，故选项A、D不合题意，C符合题意； ∵点E是CD的中点， ∴OE＝DE＝CECDAB，故选项B不合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 7．（2024•钟祥市模拟）在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A在x轴上，顶点B，C在y轴上，若点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，3），则顶点D的坐标为（　　） A．（﹣4，5） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣4，5）或（﹣4，﹣5） D．（﹣4，5）或（﹣4，﹣2） 【分析】利用勾股定理求出，利用菱形的性质得到BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC，即可解决问题． 【解答】解：如图， ∵A（﹣4，0），B（0，3），点B，C在y轴上， ∴OA＝4，OB＝3， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC， ∵0+5＝5，0﹣5＝﹣5， ∴D点的坐标为（﹣4，﹣5）或（﹣4，5）， 故选：C． 【点评】本题考查菱形的性质、坐标与图形，勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 8．（2024•襄州区模拟）如图，在正方形ABCD中，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE，BE得到△ABE，则△ABE与正方形ABCD的面积比为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D． 【分析】过E作EF⊥AB于F，根据等边三角形的性质得到求得∠EBC＝60°，得到∠ABE＝30°，求得EFBE，根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：过E作EF⊥AB于F， 由题意得，△BCE是等边三角形， ∴∠EBC＝60°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝30°， ∴EFBE， 设正方形的边长为a，则AB＝BE＝BC＝a， ∴EFa， ∴S△ABEAB•EF•aaa，S正方形ABCD＝a2， ∴△ABE与正方形ABCD的面积比为1：4， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，正方形和三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键． 9．（2024•咸宁二模）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第100秒时，菱形的对角线交点D的坐标为 　 　． 【分析】根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得D点的坐标． 【解答】解：∵菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2）， ∴D点坐标为（1，1）． ∵每秒旋转45°，则第100秒时，得45°×100＝4500°，4500°÷360＝12.5周， ∴OD旋转了12周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1）， 故答案为：（﹣1，﹣1）． 【点评】本题考查了规律性点的坐标，旋转的性质，菱形的性质，利用旋转的性质是解题关键． 10．（2024•恩施市校级一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知BC＝10，则OE＝　 　． 【分析】由平行四边形的性质可得，点O是线段AC的中点，可得OE是△ABC的中位线，由中位线定理可得OE的长． 【解答】解：在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∴点O是AC的中点， ∵点E是边AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OEBC＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线的定义及性质，得出线段OE是△ABC的中位线是本题解题关键． 11．（2024•江夏区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，且DE＝4，CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是 　　． 【分析】证明△AEG≌△BFG（ASA），根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，EG＝FG，设AE＝x，表示出CF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD． 【解答】解：∵矩形ABCD中，G是AB的中点，AB＝8， ∴AG＝BG＝×8＝4， 在△AEG和△BFG中， ， ∴△AEG≌△BFG（ASA）， ∴AE＝BF，EG＝FG， 设AE＝x， 则CF＝BC+BF＝AD+BF＝4+x+x＝4+2x， 在Rt△AEG中，EG， ∴EF＝2， ∵FH垂直平分CE， ∴CF＝EF， ∴4+2x＝2， 解得：x＝3， ∴AD＝AE+DE＝4+3＝7， ∴BC＝AD＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 12．（2024•云梦县校级一模）如图，已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DE＝BF，连接AE，DF，若，则AE+DF的最小值为 　 　． 【分析】如图，延长DC到P使CD＝CP，连接AP，交BC于F，利用SAS证明△ADE≌△ABF，根据垂直平分线的性质可得DF＝PF，可得AE+DF＝AF+PF＝AP，根据点A、F、P在一条直线上可得AP的长为AE+DF的最小值，利用勾股定理求出AP的长即可得到答案． 【解答】解：如图，延长DC到P使CD＝CP，连接AP，交BC于F， 在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴AE＝AF， ∵∠BCD＝90°，CD＝CP， ∴DF＝PF， ∴AE+DF＝AF+PF＝AP， ∵点A、F、P在一条直线上， ∴AP的长为AE+DF的最小值， ∵AB＝2， ∴AD＝CD＝2，DP＝2DC＝4， ∴AP10，即AE+DF的最小值为10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质以及定理是解题关键． 13．（2024•茅箭区校级一模）如图，矩形ABCD的边AB、BC是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个解（其中BC＞AB）．点E在BC边上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，点B落在点B'处．当△ECB'为直角三角形时，则B'C的长是 　 　． 【分析】由矩形的性质和折叠的性质可得AB＝AB'＝3，BE＝B'E，∠ABC＝∠AB'E＝90°，分∠CEB'＝90°，∠EB'C＝90°两种情况讨论，由勾股定理可求B'C的长． 【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0， ∴（x﹣3）（x﹣4）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣4＝0， 解得x＝3或x＝4， ∵BC＞AB， ∴BC＝4，AB＝3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝3，∠DAB＝∠ABC＝90°， 由折叠知AB＝AB'＝3，BE＝B'E，∠ABC＝∠AB'E＝90°， 若∠CEB'＝90°，且∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABEB'是矩形，且AB＝AB'＝3， ∴四边形ABEB'是正方形， ∴BE＝B'E＝3， ∴EC＝BC﹣BE＝1， ∴B'C； 若∠EB'C＝90°，且∠AB'E＝90°， ∴∠AB'E+∠EB'C＝180°， ∴点A，点B'，点C三点共线， 在Rt△ABC中，AC5， ∴B'C＝AC﹣AB'＝5﹣3＝2； 综上，B'C的长是或2． 故答案为：或2． 【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 14．（2024•荆州一模）如图，在△ABC中，点D，点E分别为AB，AC边的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于F，连接CD．若AB⊥CD，求证：DF＝AC． 【分析】由点D，点E分别为AB，AC边的中点，根据三角形的中位线定理得DE∥BC，而CF∥AB，则四边形DBCF为平行四边形，所以FC＝BD＝AD，由AB⊥CD，得∠ADC＝∠BDC＝90°，则∠FCD＝∠BDC＝90°＝∠ADC，而CD＝DC，即可根据“SAS”证明△FCD≌△ADC，得DF＝AC． 【解答】证明：∵点D，点E分别为AB，AC边的中点， ∴DE∥BC，AD＝BD， ∵CF∥AB， ∴DF∥BC，CF∥BD， ∴四边形DBCF为平行四边形， ∴FC＝BD， ∴FC＝AD， ∵AB⊥CD， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴∠FCD＝∠BDC＝90°， ∴∠FCD＝∠ADC， 在△FCD和△ADC中， ， ∴△FCD≌△ADC（SAS）， ∴DF＝AC． 【点评】此题重点考查三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△FCD≌△ADC是解题的关键． 15．（2024•茅箭区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．连结BF．求证：四边形ADBF是矩形． 【分析】证明△AEF≌△DEC（AAS），得AF＝DC，再证明四边形ADBF是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB＝90°，即可得出结论． 【解答】证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF＝DC， 又∵D是BC的中点， ∴AF＝BD＝DC， ∴四边形ADBF是平行四边形， 在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴平行四边形ADBF是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 16．（2024•武汉模拟）如图，点E，F是平行四边形ABCD的对角线BD上两点，且AE∥CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接AF，CE．请添加一个条件，使四边形AECF为矩形（不需要说明理由）． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，由平行线的性质可求得∠AEB＝∠CFD，根据三角形全等的判定方法即可证明△ABE≌△CDF； （2）根据平行四边形的判定定理和矩形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE∥CF， ∴∠AED＝∠BFC， ∴∠AEB＝∠CFD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）当AE⊥CE时，四边形AECF为矩形， 理由：∵△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE⊥CE， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AECF为矩形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的判定方法，题目的综合性较强，难度不大． 17．（2024•黄石模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若∠B＝60°，AB＝6，求四边形ADCE的面积． 【分析】（1）先证四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得ADBC＝CD，即可得出结论； （2）由已知得BC＝2AB＝12，再由勾股定理得AC的长，然后由菱形的性质和三角形面积关系得S菱形ABCD＝2S△ACD＝S△ABC，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AE∥BC，CE∥AD， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点， ∴ADBC＝CD， ∴平行四边形ADCE是菱形； （2）解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°， ∴BC＝2AB＝6， ∴AC6， ∵四边形ADCE是菱形，点D是BC的中点， ∴S菱形ABCD＝2S△ACD＝S△ABCAB×AC3×6． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形ADCE为菱形是解题的关键． 18．（2024•青山区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠BAD＝∠DAC．证出∠ADC＝∠CEA＝90°，由矩形的判定可得出结论； （2）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．证出DC＝AD，由正方形的判定可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC． ∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE＝∠CAE， ∴∠DAC+∠CAE＝∠BAD+∠MAE， ∵∠DAC+∠CAE+∠BAD+∠MAE＝180°， ∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝90°， ∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°， ∴四边形ADCE为矩形． （2）解：答案不唯一，如：当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形． 证明：∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B＝45°， ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠ACD＝45°， ∴DC＝AD， ∵四边形ADCE为矩形， ∴矩形ADCE是正方形． 故当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形． 【点评】本题考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用． 19．（2024•樊城区二模）如表是小芸同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC边的中点． 求证：． 方法一：（如图2） 证明：延长BO至D，使OD＝OB， 连接AD，CD． 方法二（如图3）： 证明：过点O作OD⊥BC于点D． 【分析】方法一：延长BO至D，使OD＝OB，连接AD，CD，根据线段中点的定义得到AO＝CO，根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的性质得到AC＝BD，于是得到BOBDAC；方法二：过点O作OD⊥BC于点D，根据平行线的性质得到OD∥AB，根据线段中点的定义得到AO＝CO，根据中位线的性质得到BD＝CD，于是得到BO＝OCAC． 【解答】解：方法一：延长BO至D，使OD＝OB， 连接AD，CD， ∵点O是AC边的中点， ∴AO＝CO， ∵BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∴BOBDAC； 方法二：过点O作OD⊥BC于点D， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠ODC＝90°， ∴OD∥AB， ∵点O是AC边的中点， ∴AO＝CO， ∴BD＝CD， ∴BO＝OCAC． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 20．（2024•建始县一模）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB延长线上一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD． （1）求证：四边形DBEC是平行四边形． （2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中： ①当BE＝　 时，四边形BECD是矩形； ②当BE＝　 时，四边形BECD是菱形． 【分析】（1）证△EBF≌△DCF（AAS），得DC＝BE，再由DC∥AB，即可得出结论； （2）①由矩形的在得∠CEB＝90°，再求出∠ECB＝30°，则BEBC＝2； ②由菱形的性质得BE＝CE，再证△CBE是等边三角形，即可得出BE＝BC＝4． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF， ∵点F是BC的中点， ∴BF＝CF， 在△DCF和△EBF中， ， ∴△EBF≌△DCF（AAS）， ∴DC＝BE， 又∵DC∥AB， ∴四边形BECD是平行四边形； （2）解：①BE＝2； ∵四边形BECD是矩形， ∴∠CEB＝90°， ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBE＝60°， ∴∠ECB＝30°， ∴BEBC＝2， 故答案为：2； ②BE＝4， ∵四边形BECD是菱形， ∴BE＝CE， ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBE＝60°， ∴△CBE是等边三角形， ∴BE＝BC＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明∴△EBF≌△DCF是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 图形的性质---四边形 课标要求 考点 考向 1. 了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式。 2. 理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。 3. 探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。探索并证明平行四边形的判定定理：一 组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4. 理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离。 5. 探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直。探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。 6. 探索并证明三角形的中位线定理。 多 边 形 考向一 多边形的内角和与外角和 考向二 正多边形的性质 平行四边形的性质与判定 考向三 平行四边形的性质与判定 考向四 三角形的中位线+直角三角形斜边上的中线 考向五 矩形的性质与判定 考向六 菱形的性质与判定 考向七 正方形的性质与判定 考点一 多边形 ►考向一 多边形的内角和与外角和 解题技巧： ★1、n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数） ★2、多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180° . ★3、多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°． 【注意】 （1）多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和. （2）多边形的外角和恒等于360°，与边数无关. 1．（2023•襄阳）五边形的外角和等于（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° ►考向二 正多边形的性质 解题技巧： ★正n边形的性质 (1)边：正n边形的各条边都相等； (2)内角：正n边形的每一个内角都等于； (3)外角：正n边形的各个外角都相等，都等于； (4)对称性：正n边形都是轴对称图形，其中边数为偶数的正n边形也是中心对称图形，正n边形有n条对称轴． 2．（2023•湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝　 　． 3．（2021•孝感）正五边形的一个内角是 　 　度． 4．（2021•襄阳）正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 考店二 平行四边形的性质与判定 ►考向三 平行四边形的性质与判定 解题技巧： ★平行四边形的性质 1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等． 2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补. 3、对角线：平行四边形的对角线互相平分． ★平行四边形的判定 (1)从边的角度： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． (2)从角的角度：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)从对角线的角度：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形． 5．（2022•荆州）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是 　 　．（只需写一种情况） 6．（2021•荆门）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 7．（2024•湖北）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF， 求证：BE＝DF． 8．（2024•武汉）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由） ►考向四 三角形的中位线+直角三角形斜边上的中线 解题技巧： ★1、三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. ★2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半. ★3、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 9．（2021•十堰）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 　 　． 10．（2022•宜昌）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，矩形ABCD的面积为 　 　． ►考向五 矩形的性质与判定 解题技巧： ★矩形的性质 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等. ★矩形的判定 方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 方法二：对角线相等的平行四边形是矩形； 方法三：有三个角是直角的四边形是矩形； 11．（2023•襄阳）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，下列结论一定正确的是（　　） A．AC平分∠BAD B．AB＝BC C．AC＝BD D．AC⊥BD 12．（2022•十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝　 °． 13．（2022•十堰）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：BE＝DF； （2）设k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． ►考向六 菱形的性质与判定 解题技巧： ★菱形的性质 1.菱形具有平行四边形的一切性质. 2.菱形的四条边都相等. 3.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 4.菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线. 5、菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式=底×高． ②菱形面积＝ ab．（a、b是两条对角线的长度） ③ 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； ★菱形的判定 1、定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. 2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形. 14．（2022•襄阳）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 15．（2023•随州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若BC＝3，DC＝2，求四边形OCED的面积． 16．（2021•十堰）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长． 17．（2021•随州）如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形BEDF是菱形． ►考向七 正方形的性质与判定 解题技巧： ★正方形的性质 1、具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即 ①边：四条边相等，邻边垂直，对边平行； ②角：四个角都是直角； ③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； ④正方形式轴对称图形，有四条对称轴； 2、正方形的面积计算 ①边长的平方；②对角线平方的一半； ★正方形判定方法： 定义法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 四边形法 有四条边相等，三个角都是直角的四边形是正方形. 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形. 平行四边形法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形. 矩形法 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相互垂直的矩形是正方形. 菱形法 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 18．（2022•黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（　　） A．（，0） B．（，0） C．（0，） D．（0，2） 19．（2022•随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的 有（　　） ①图中的三角形都是等腰直角三角形； ②四边形MPEB是菱形； ③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的． A．只有① B．①② C．①③ D．②③ 20．（2021•湖北）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（2022•恩施州）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F．求证：DF＝BE+EF． 22．（2023•十堰）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP． （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ 23．（2023•黄石）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM＝CN，AN与DM相交于点P． （1）求证：△ABN≌△DAM； （2）求∠APM的大小． 1．（2024•宣恩县二模）一个多边形的内角和与外角和相等，则它是（　　） A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不确定 2．（2024•湖北模拟）若正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则此多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（2024•五峰县模拟）已知一个正多边形的一个内角是一个外角的两倍，则这个正多边形是（　　） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 4．（2024•钟祥市模拟）小聪利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己一共走了72米，则θ的度数为（　　） A．60° B．75° C．30° D．45° 5．（2024•十堰一模）如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的外角，则∠1+∠2+∠3的度数为（　　） A．180° B．210° C．240° D．270° 6．（2024•南漳县一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，则下列结论中不一定成立的是（　　） A．OA＝OC B． C．AC＝BD D．AC⊥BD 7．（2024•钟祥市模拟）在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A在x轴上，顶点B，C在y轴上，若点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，3），则顶点D的坐标为（　　） A．（﹣4，5） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣4，5）或（﹣4，﹣5） D．（﹣4，5）或（﹣4，﹣2） 8．（2024•襄州区模拟）如图，在正方形ABCD中，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE，BE得到△ABE，则△ABE与正方形ABCD的面积比为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D． 9．（2024•咸宁二模）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第100秒时，菱形的对角线交点D的坐标为 　 　． 10．（2024•恩施市校级一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知BC＝10，则OE＝　 　． 11．（2024•江夏区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，且DE＝4，CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是 　　． 12．（2024•云梦县校级一模）如图，已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DE＝BF，连接AE，DF，若，则AE+DF的最小值为 　 　． 13．（2024•茅箭区校级一模）如图，矩形ABCD的边AB、BC是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个解（其中BC＞AB）．点E在BC边上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，点B落在点B'处．当△ECB'为直角三角形时，则B'C的长是 　 　． 14．（2024•荆州一模）如图，在△ABC中，点D，点E分别为AB，AC边的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于F，连接CD．若AB⊥CD，求证：DF＝AC． 15．（2024•茅箭区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．连结BF．求证：四边形ADBF是矩形． 16．（2024•武汉模拟）如图，点E，F是平行四边形ABCD的对角线BD上两点，且AE∥CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接AF，CE．请添加一个条件，使四边形AECF为矩形（不需要说明理由）． 17．（2024•黄石模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若∠B＝60°，AB＝6，求四边形ADCE的面积． 18．（2024•青山区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明． 19．（2024•樊城区二模）如表是小芸同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC边的中点． 求证：． 方法一：（如图2） 证明：延长BO至D，使OD＝OB， 连接AD，CD． 方法二（如图3）： 证明：过点O作OD⊥BC于点D． 20．（2024•建始县一模）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB延长线上一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD． （1）求证：四边形DBEC是平行四边形． （2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中： ①当BE＝　 时，四边形BECD是矩形； ②当BE＝　 时，四边形BECD是菱形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$