专题12 图形的性质——相交线与平行线+三角形（8类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（湖北专用）

专题12 图形的性质---相交线与平行线+三角形 课标要求 考点 考向 一．相交线与平行线 1. 理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质。 2. 探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截， 3. 如果内错角相等(或同旁内角互补),那么这两条直线平行。 4. 掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等(或同旁内角互补)。 二、三角形 1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角. 2.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。三边分别相等的两个三角形全等。两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 3.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 相 交 线 与 平 行 线 考向一 直接利用平行线的性质求角度 考向二 与直角三角板的结合 求角度 考向三 平行线的性质与判定的综合运用 三 角 形 考向四 利用三角形的内角和定理求角度 考向五 全等三角形的性质与判定 考向六特殊三角形的性质与判定 考向七 勾股定理 考向八 勾股定理的实际应用 考点一 图形的性质---相交线与平行线 ►考向一 直接利用平行线的性质求角度 1．（2024•湖北）如图，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通，若∠1＝120°，则∠2的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补进行计算，即可解答． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1+∠2＝180°， ∵∠1＝120°， ∴∠2＝180°﹣∠1＝60°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 2．（2023•随州）如图，直线l1∥l2，直线l与l1，l2相交，若图中∠1＝60°，则∠2为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝60°， ∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣60°＝120°． 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 3．（2023•鄂州）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠BGE＝60°，则∠EFD的度数是（　　） A．60° B．30° C．40° D．70° 【分析】过点E作AB的平行线，利用平行线的性质即可求解． 【解答】解：过点E作直线HI∥AB． ∵AB∥CD，AB∥HI， ∴CD∥HI． ∴∠BGE＝∠GEH＝60°， ∴∠HEF＝∠GEF﹣∠GEH＝90°﹣60°＝30°． ∴∠EFD＝∠HEF＝30°． 故选：B． 4．（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 【分析】过点C作CD∥l1，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而可求解． 【解答】解：过点C作CD∥l1，如图， ∵l1∥l2， ∴l1∥l2∥CD， ∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD， ∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∵∠BAC＝40°， ∴∠ACB（180°﹣∠BAC）＝70°， ∴∠1+∠2＝70°． 故选：B． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，解答的关键是由平行线的性质得∠1+∠2＝∠ACB． ►考向二 与直角三角板的结合求角度 5．（2023•湖北）如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（　　） A．55° B．45° C．35° D．25° 【分析】由平行线的性质可得∠ABC＝∠1＝55°，再由三角形的内角和即可求∠2． 【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°， ∴∠ABC＝∠1＝55°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝35°． 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 6．（2023•恩施州）将含60°角的直角三角板按如图方式摆放，已知m∥n，∠1＝20°，则∠2＝（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 【分析】由题意可得∠3＝30°，∠A＝90°，从而可得∠ABC＝50°，由平行线的性质可得∠ADE＝∠ABC＝50°，再由三角形的内角和即可求∠2． 【解答】解：如图， 由题意得：∠3＝30°，∠A＝90°， ∴∠ABC＝∠1+∠3＝50°， ∵m∥n， ∴∠ADE＝∠ABC＝50°， ∴∠2＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝40°． 故选：A． 【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 7．（2023•襄阳）将含有45°角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2度数（　　） A．30° B．20° C．15° D．10° 【分析】依题意得：AB∥CD，∠EFH＝45°，再根据平行线的性质得∠EFG＝∠1＝30°，然后∠2＝∠EFH﹣∠EFG即可得出答案． 【解答】解：如图所示： 依题意得：AB∥CD，∠EFH＝45°， ∴∠1＝∠EFG， 又∵∠1＝30°， ∴∠EFG＝∠1＝30°， ∴∠2＝∠EFH﹣∠EFG＝45°﹣30°＝15°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键． 8．（2023•宜昌）如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A．110° B．70° C．40° D．30° 【分析】根据平行线的性质得到∠3＝∠1＝70°，三角形的外角的性质得到∠3＝∠4+∠5＝70°，由∠2＝∠5即可解答． 【解答】解：如图，由题意得，∠4＝30°，b∥c， ∴∠3＝∠1＝70°， ∵∠3＝∠4+∠5＝70°， ∴∠5＝40°， ∴∠2＝∠5＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角定理，掌握平行线的性质是解题关键． ►考向三 平行线的判定与性质的综合运用 9．（2021•武汉）如图，AB∥CD，∠B＝∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F，求证：∠DEF＝∠F． 【分析】由平行线的性质得到∠DCF＝∠B，进而推出∠DCF＝∠D，根据平行线的判定得到AD∥BC，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠DCF＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠DCF＝∠D， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠F． 【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟记两直线平行，同位角相等，内错角相等和内错角相等，两直线平行是解决问题的关键． 10．（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°． （1）求∠BAD的度数； （2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAD； （2）根据角平分线的定义求出∠DAE，根据平行线的性质求出∠AEB，得到∠AEB＝∠BCD，根据平行线的判定定理证明结论． 【解答】（1）解：∵AD∥BC， ∴∠B+∠BAD＝180°， ∵∠B＝80°， ∴∠BAD＝100°； （2）证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝50°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE＝50°， ∵∠BCD＝50°， ∴∠AEB＝∠BCD， ∴AE∥DC． 【点评】本题考查的是平行线的判定和性质、角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 考点二 图形的性质---三角形 ►考向四 利用三角形内角和定理求角度 11．（2023•十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝　 　． 【分析】由题意可得∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，由平角的定义可求得∠CAD＝85°，再由三角形的内角和可求得∠AGD＝50°，利用对顶角相等得∠CGF＝50°，再利用三角形的内角和即可求∠DFC． 【解答】解：如图， 由题意得：∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°， ∵∠EAB＝35°， ∴∠CAD＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝85°， ∴∠AGD＝180°﹣∠D﹣∠CAD＝50°， ∴∠CGF＝∠AGD＝50°， ∴∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CGF＝100°． 故答案为：100°． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180°． 12．（2022•宜昌）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的大小是 　 　． 【分析】过点C作CF∥AD，根据平行线的性质，求得∠ACF与∠BCF，再由角的和差可得答案． 【解答】解：过点C作CF∥AD，如图， ∵AD∥BE， ∴AD∥CF∥BE， ∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠EBC， ∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝∠DAC+∠EBC， 由C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，得 ∠DAC＝50°，∠CBE＝35°． ∴∠ACB＝50°+35°＝85°， 故答案为：85°． 【点评】本题考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质得出得出∠ACF＝50°，∠BCF＝35°是解题关键． ►考向五 全等三角形的性质与判定 13．（2022•湖北）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个条件 　 ，使△ABC≌△DEF． 【分析】添加条件：∠A＝∠D，根据ASA即可证明△ABC≌△DEF． 【解答】解：添加条件：∠A＝∠D． ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEC， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， 故答案为：∠A＝∠D．（答案不唯一） 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 14．（2021•黄石）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长． 【分析】（1）利用角角边定理判定即可； （2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF． 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）． （2）∵△ADE≌△CFE， ∴AD＝CF＝4． ∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选择合适的判定方法是解题的关键． 15．（2023•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE． （1）求证：∠E＝∠ECD； （2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状． 【分析】（1）由平行线的性质得到∠EAD＝∠B．而∠B＝∠D，因此∠EAD＝∠D．推出BE∥CD，得到∠E＝∠ECD． （2）由平行线的性质，角平分线定义得到∠BCE＝60°，由三角形内角和定理得到∠B＝60°，即可推出△BCE是等边三角形． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠EAD＝∠D， ∴BE∥CD， ∴∠E＝∠ECD． （2）解：△BCE是等边三角形，理由如下： ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠ECD， ∵EB∥CD， ∴∠ECD＝∠E＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠E﹣∠BCE＝60°， ∴∠B＝∠BCE＝∠E， ∴△BCE是等边三角形． 【点评】本题考查平行线的性质和判定，等边三角形的判定，关键是由平行线的性质推出BE∥CD． ►考向六 特殊三角形的性质与判定 16．（2023•湖北）如图，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，点E在△ABC内，BE＞AE，连接DF交AE于点G，DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA＝∠EBC；②∠BHE＝∠EGF；③AB＝DF；④AD＝CF．其中所有正确结论的序号是 　 　． 【分析】由等腰直角三角形的性质可得出∠ABC＝∠DBE＝45°，可得出①正确；证明△BEA≌△DEF（SAS），由全等三角形的性质得出AB＝DF，可得出③正确；由直角三角形的性质可判断②不正确；证明四边形DFCA为平行四边形，由平行四边形的性质可得出DA＝CF，则可得出答案． 【解答】解：∵△BAC，△DEB都是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠DBE＝45°， ∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE， ∴∠EBC＝∠DBA， 故①正确； ∵△DEB和△AEF都是等腰直角三角形， ∴BE＝DE，AE＝EF，∠BED＝∠AEF＝90°， ∴∠BEA＝∠DEF， ∴△BEA≌△DEF（SAS）， ∴AB＝DF，∠ABE＝∠EDF，∠BAE＝∠DFE． 故③正确； ∵∠BEH＝∠GEF＝90°， ∴∠ABE+∠BHE＝90°，∠EGF+∠DFE＝90°， ∵BE＞AE， ∴∠ABE≠∠BAE， ∴∠ABE≠∠DFE， ∴∠BHE≠∠EGF； ∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠FAC＝45°， 又∵∠AFD+∠EFG＝45°，∠BAE＝∠DFE， ∴∠DFA＝∠FAC， ∴DF∥AC， ∵AB＝DF，AB＝AC， ∴DF＝AC， ∴四边形DFCA为平行四边形， ∴DA＝CF． 故④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△BEA≌△DEF． 17．（2023•荆州）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD＝CE． 【分析】根据等边三角形的性质得到BD⊥AC，∠ACB＝60°，求得∠DBC＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠DBC＝30°，求得∠E＝∠DBC＝30°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：∵BD是等边△ABC的中线， ∴BD⊥AC，∠ACB＝60°， ∴∠DBC＝30°， ∵BD＝DE， ∴∠E＝∠DBC＝30°， ∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°， ∴∠E＝∠CDE＝30°， ∴CD＝CE． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 18．（2022•黄石）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数． 【分析】（1）可利用SAS证明结论； （2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，进而可求可求解 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：∵△ABD≌△ACE， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°， ∵∠EAC＝60°， ∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． ►考向七 勾股定理 19．（2023•荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝　 　． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AB＝2CD＝10，根据勾股定理得到BC6，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝5， ∴AB＝2CD＝10， ∵∠ACB＝90°，AC＝8， ∴BC6， ∵E为AC的中点， ∴AE＝CE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 20．（2022•荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CEAE＝1，则CD＝　 　． 【分析】如图，连接BE，根据作图可知MN为AB的垂直平分线，从而得到AE＝BE＝3，然后利用勾股定理求出BC，AB，最后利用斜边上的中线的性质即可求解． 【解答】解：如图，连接BE， ∵CEAE＝1， ∴AE＝3，AC＝4， 而根据作图可知MN为AB的垂直平分线， ∴AE＝BE＝3， 在Rt△ECB中，BC2， ∴AB2， ∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线， ∴CDAB． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，同时也利用勾股定理进行计算． 21．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝　 　． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到CD＝DE，再通过HL证明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根据勾股定理可求出AB＝10，进而求出AE＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°， ∴CD⊥BC， ∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB， ∴CD＝DE， 在Rt△BCD和Rt△BED中， ， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴BC＝BE＝6， 在Rt△ABC中，10， ∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4， 设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x， 在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴AD＝8﹣x＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解二元一次方程，解题关键是正确作出辅助线，利用角平分线的性质和勾股定理解决问题． 22．（2021•鄂州）如图，四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于点D．若BD＝2，CD＝4，则线段AB的长为 　 　． 【分析】过点C作CE⊥CD交AD于E，判断出∠ACE＝∠BCD，进而利用ASA判断出△ACE≌△BCD，得出AE＝BD＝2，CE＝CD，进而利用勾股定理求出DE＝8，即AD＝10，最后用勾股定理即可得出结论． 【解答】解：如图，过点C作CE⊥CD交AD于E， ∴∠ECD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠ECD， ∴∠ACB﹣∠BCE＝∠ECD﹣∠BCE， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵AC＝BC， BC与AD的交点记作点F， ∵∠ACB＝90°， ∴∠AFC+∠CAE＝90°， ∵∠AFC＝∠DFB， ∴∠DFB+∠CAE＝90°， ∵∠ADB＝90°， ∴∠DFB+∠CBD＝90°， ∴∠CAE＝∠CBD， ∴△ACE≌△BCD（ASA）， ∴AE＝BD，CE＝CD， 在Rt△DCE中，CE＝CD＝4， ∴DECD8， ∵BD＝2， ∴AE＝2， ∴AD＝AE+DE＝2+8＝10， 在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB2， 故答案为． 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 23．（2023•湖北）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则　 　． 【分析】根据题意得出a2＝b2﹣ab，即，解方程得到（负值舍去）代入进行计算即可得到结论． 【解答】解：方法一：∵图中AF＝a，DF＝b， ∴ED＝AF＝a，EH＝EF＝DF﹣DE＝b﹣a， ∵△ADE与△BEH的面积相等， ∴， ∴a2（b﹣a）b， ∴a2＝b2﹣ab， ∴1＝（）2， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 方法二：∵a2＝b2﹣ab， ∴b2﹣a2＝ab， ∴（b2﹣a2）2＝a2b2， ∴b4+a4＝3a2b2， ∴3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的解法，根据题意得出关于的方程是解题的关键． ►考向八 勾股定理的实际应用 24．（2022•荆门）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为（　　） A．20 B．60 C．30 D．30 【分析】根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°， ∴∠B＝∠A＝45°， ∴BC＝AC＝30， ∴AB， 故选：C． 【点评】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长是解题的关键． 25．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【分析】设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理列方程，解出h即可． 【解答】解：设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺， 根据勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2， 解得h＝12， ∴水深为12尺， 故选：C． 【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键． 26．（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 　 　尺． 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【解答】解：设门对角线的长为x尺，则门高为（x﹣2）尺，门宽为（x﹣4）尺， 根据勾股定理可得： x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4， 解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝10， 10﹣2＝8（尺）， 10﹣4＝6（尺）． 答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺． 故答案为：8，6，10． 【点评】本题考查勾股定理的应用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般． ► 相交线与平行线 1．（2024•随州一模）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，∠1＝70°，则∠3的度数为（　　） A．70° B．80° C．40° D．30° 【分析】先利用角平分线的定义可得∠BEF＝140°，然后利用平行线的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵EG平分∠BEF， ∴∠BEF＝2∠1＝140°， ∵AB∥CD， ∴∠3＝180°﹣∠BEF＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 2．（2024•茅箭区一模）如图，是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB＝（　　） A．90° B．75° C．100° D．60° 【分析】根据三角形外角的性质解答即可． 【解答】解：如图， 由图可知∠ACB＝30°，∠DBC＝45°， ∵∠AEB＝∠DBC+∠ACB， ∴∠AEB＝30°+45°＝75°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形外角的性质．解题的关键是掌握三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．要注意：一副三角尺的度数：30°，45°，60°，90°． 3．（2024•江汉区二模）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（　　） A．45° B．50° C．60° D．75° 【分析】如图（见解析），先根据三角板可得∠2＝45°，∠4＝30°，再根据角的和差可得∠3＝45°，然后根据三角形的外角性质即可得． 【解答】解：如图，由题意可知，∠2＝45°，∠4＝30°， ∵两个三角板中有刻度的边互相垂直， ∴∠3＝90°﹣∠2＝45°， ∴∠1＝∠3+∠4＝45°+30°＝75°， 故选：D． 【点评】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 4．（2024•随州模拟）将一副三角板如图摆放，斜边DF∥AB，AC与DE相交于点O，∠A＝60°，∠D＝45°，则∠AOD的度数等于（　　） A．135° B．120° C．115° D．105° 【分析】过O点作OH∥AB，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可． 【解答】解：过O点作OH∥AB， ∵DF∥AB， ∴DF∥AB∥OH， ∴∠D＝∠DOH，∠A＝∠AOH， ∴∠AOD＝∠DOH+∠AOH＝∠D+∠A＝60°+45°＝105°， 故选：D． 【点评】此题考查平行线的性质，关键是利用两直线平行，内错角相等解答． 5．（2024•武昌区模拟）如图所示，把长方形ABCD沿EF折叠，若∠1＝50°，则∠AEF的度数为（　　） A．110° B．115° C．120° D．130° 【分析】先根据折叠的性质和平角的定义求出∠BFE＝65°，再根据平行线的性质即可得到∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°． 【解答】解：由折叠的性质可得∠BFE＝∠GFE， ∵∠1＝50°， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 6．（2024•汉川市模拟）一块含30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线a∥b，∠1＝35°，则∠2的度数是（　　） A．45° B．35° C．30° D．25° 【分析】先根据题意得出∠1+∠BAC的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠1＝35°， ∴∠1+∠BAC＝35°+30°＝65°， ∵a∥b， ∴∠2+∠ACB+∠1+∠BAC＝180°，即∠2+90°+35°+30°＝180°， ∴∠2＝25°． 故选：D． 【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 7．（2024•阳新县二模）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，直线a交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝150°，∠ABC＝48°，则∠2的度数是（　　） A．18° B．20° C．28° D．30° 【分析】过B作直线c∥直线a，直线c交AC于点D，可得∠1＝180°﹣∠ABD，已知∠1＝150°，∠ABC＝48°，可得∠ABD、∠CBD的度数，因为直线a∥b，所以直线b∥c，即∠2＝∠CBD，可得∠2的度数． 【解答】解：过B作直线c∥直线a，直线c交AC于点D， ， ∴∠1＝180°﹣∠ABD， ∵∠1＝150°， ∴∠ABD＝30°， ∵∠ABC＝48°， ∴∠CBD＝18°， ∵直线a∥b， ∴直线b∥c， ∴∠2＝∠CBD＝18°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是掌握平行线的性质． 8．（2024•武汉模拟）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝121°，DE与地面平行，∠ABD＝48°，则∠DCE＝（　　） A．78° B．73° C．69° D．61° 【分析】根据题意可得：DE∥AB，从而利用平行线的性质可得∠ABD＝∠D＝48°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：DE∥AB， ∴∠ABD＝∠D＝48°， ∵∠DEF是△DCE的一个外角， ∴∠DCE＝∠DEF﹣∠D＝121°﹣48°＝73°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 9．（2024•枣阳市模拟）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝160°，∠CDF＝170°，则∠EPF的度数是（　　） A．20° B．30° C．50° D．60° 【分析】由邻补角的性质得到∠ABP＝20°，∠CDP＝10°，由平行线的性质推出∠BPN＝∠ABP＝20°，∠DPN＝∠CDP＝10°，即可得到∠EPF的度数． 【解答】解：∵∠ABE＝160°，∠CDF＝170°， ∴∠ABP＝180°﹣∠ABE＝20°，∠CDP＝180°﹣∠CDF＝10°， ∵AB∥MN∥CD， ∴∠BPN＝∠ABP＝20°，∠DPN＝∠CDP＝10°， ∴∠EPF＝∠BPN+∠DPN＝20°+10°＝30°． 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BPN＝∠ABP＝20°，∠DPN＝∠CDP＝10°． 10．（2024•十堰三模）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 【分析】过C作CK∥AB，得到CK∥ED，由BC⊥AB，推出BC⊥CK，由垂直的定义得到∠BCK＝90°，求出∠DCK＝∠DCB﹣∠BCK＝50°，由平行线的性质推出∠EDC+∠DCK＝180°，即可求出∠EDC＝130°． 【解答】解：过C作CK∥AB， ∵ED∥AB， ∴CK∥ED， ∵BC⊥AB， ∴BC⊥CK， ∴∠BCK＝90°， ∵∠DCB＝140°， ∴∠DCK＝∠DCB﹣∠BCK＝50°， ∵CK∥DE， ∴∠EDC+∠DCK＝180°， ∴∠EDC＝130°． 故选：A． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是过C作CK∥AB，得到CK∥ED，由平行线的性质来解决问题． 11．（2024•恩施市一模）如图，AB∥CD，AB∥EF，AF平分∠BAE，∠DAE＝10°，∠ADC＝120°．求∠AFE的度数． 【分析】先利用平行线的性质求出∠DAB＝60°，再利用角的和差关系求出∠EAB＝50°，从而利用角平分线的定义可得∠FAB＝25°，然后再利用平行线的性质，即可解答． 【解答】解：∵AB∥CD，∠ADC＝120°， ∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝60°， ∵∠DAE＝10°， ∴∠EAB＝∠DAB﹣∠DAE＝50°， ∵AF平分∠BAE， ∴∠FAB∠EAB＝25°， ∵AB∥EF， ∴∠AFE＝∠FAB＝25°， ∴∠AFE的度数为25°． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 12．（2024•恩施市一模）如图1，AB∥CD，E为AB与CD之间的一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，与CD相交于点F． （1）求证：∠1+∠2＝90°． （2）如图2，E为AB上方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请写出正确结论并证明． （3）如图3，E为AB下方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请直接写出正确结论． 【分析】（1）过点E作EM∥AB，利用平行线的性质可得∠BEM＝∠1，进而∠MEF＝∠2，即可证得结论； （2）过点E作EN∥AB，利用平行线的性质可得∠BEN＝∠1，进而∠NEF＝∠2，即可证得结论∠2﹣∠1＝90°； （3）过点E作EG∥CD，利用平行线的性质可得∠GEF＝∠2，进而∠BEG＝∠1，即可证得结论∠1﹣∠2＝90°． 【解答】（1）证明：如图， 过点E作EM∥AB，则∠BEM＝∠1， 又∵AB∥CD， ∴EM∥CD， ∴∠MEF＝∠2， ∴∠1+∠2＝∠BEM+∠MEF＝∠BEF， ∵EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． （2）解：结论不成立，∠2﹣∠1＝90°． 证明：如图， 过点E作EN∥AB，则∠BEN＝∠1． 又∵AB∥CD， ∴EN∥CD，则∠NEF＝∠2， ∴∠2﹣∠1＝∠NEF﹣∠BEN＝∠BEF， ∵EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°， ∴∠2﹣∠1＝90°． （3）解：结论不成立，∠1﹣∠2＝90°． 证明：如图， 过点E作EG∥CD，则∠GEF＝∠2． 又∵AB∥CD， ∴EG∥AB，则∠BEG＝∠1， ∴∠1﹣∠2＝∠BEG﹣∠GEF＝∠BEF， ∵EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°， ∴∠1﹣∠2＝90°． 【点评】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． ► 三角形 1．（2024•恩施市一模）如图，能判定EC∥AB的条件是（　　） A．∠B＝∠ACE B．∠A＝∠ECD C．∠B＝∠ACB D．∠A＝∠ACE 【分析】根据平行线的判定定理即可直接判断． 【解答】解：A、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误； B、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误； C、不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角，故选项错误； D、正确． 故选：D． 【点评】本题考查了判定两直线平行的方法，正确理解同位角、内错角和同旁内角的定义是关键． 2．（2024•西陵区模拟）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC 【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可． 【解答】解：A、∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； B、∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； C、∠ABC＝∠DCB，AC＝BD，BC＝BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确； D、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS． 3．（2024•湖北三模）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（　　） A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm 【分析】求△ABC的周长，已经知道AE＝3cm，则知道AB＝6cm，只需求得BC+AC即可，根据线段垂直平分线的性质得AD＝BD，于是BC+AC等于△ADC的周长，答案可得． 【解答】解：∵AB的垂直平分AB， ∴AE＝BE，BD＝AD， ∵AE＝3cm，△ADC的周长为9cm， ∴△ABC的周长是9+2×3＝15cm， 故选：C． 【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．对线段进行等效转移时解答本题的关键． 4．（2024•湖北一模）如图，坐标平面内一点A（3，﹣2），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰． 【解答】解：如图：①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个； ②OA为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个． 综上所述，符合条件的点P的个数共4个． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解． 5．（2024•汉川市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，AB＝AC＝13，点B，C的坐标分别是（8，12），（8，2），则点A的坐标是（　　） A．（3，6） B．（﹣4，5） C．（﹣4，6） D．（﹣4，7） 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质可得出BD＝5，根据勾股定理得出AD＝12，则点A的坐标可求出． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵B（8，12），C（8，2）， ∴BC＝10， ∵AB＝AC＝13， ∴BD＝CDBC＝5， ∴AD12． ∵8﹣12＝﹣4，12﹣5＝7， ∴A（﹣4，7）． 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（2024•咸丰县模拟）已知A（2，0），B（0，2），点C在坐标轴上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的C有（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】分三种情况：当AB＝AC时；当BA＝BC时；当CA＝CB时；即可解答． 【解答】解：如图： 分三种情况： 当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交坐标轴于点C1，C2，C3； 当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交坐标轴于点C4，C5； 当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交y轴于点C6； 综上所述：满足条件的C有6个， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，分三种情况讨论是解题的关键． 7．（2024•洪山区模拟）如图所示，∠B＝90°，点D在线段BC上，点E在线段AD上，DE＝DC＝4， ∠BAD＝∠ACE，若AE＝10，则线段BD的长为（　　） A．4 B．5 C． D． 【分析】把△ABD沿AB翻折，构造全等三角形，以及等腰三角形，设∠1＝∠2＝α，∠3＝∠1+∠2＝2α，∠BAD＝∠ACE＝90°﹣∠3＝90°﹣2α，∠5＝90°﹣∠BAD﹣∠ACE﹣2＝3α﹣90°，再换算即可． 【解答】解：把△ABD沿AB翻折，得△ABM． ∴∠4＝∠BAD，BD＝BM，∠3＝∠M，AM＝AD＝14． ∵DE＝DC， ∴设∠1＝∠2＝α， ∴∠3＝∠1+∠2＝2α， ∴∠BAD＝∠ACE＝90°﹣∠3＝90°﹣2α， ∴∠5＝90°﹣∠BAD﹣∠ACE﹣2＝3α﹣90°， ∴∠MAC＝∠4+∠BAD+∠5＝90°﹣α， 又∠ACB＝∠2+∠ACE＝90°﹣α， ∴∠MAC＝∠MCB， ∴MC＝MA＝14， ∴MD＝MC﹣CD＝10， ∴BD＝BM＝5． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的知识，构造等腰三角形，以及全等三角形，再进行角度换算，是解题关键． 8．（2024•茅箭区校级一模）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACE，则这个条件可以是 　 　．（写一个即可） 【分析】由题意可得∠ABC＝∠ACE，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACE全等． 【解答】解：添加BD＝CE，则△ABD≌△ACE， ∵AB＝AC， ∴∠ABD＝∠ACD， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， 故答案为：BD＝CE（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 9．（2024•孝南区一模）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个条件 　 　，使△ABC≌△DEF． 【分析】添加条件：∠A＝∠D，根据ASA即可证明△ABC≌△DEF． 【解答】解：添加条件：∠A＝∠D． ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEC， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， 故答案为：∠A＝∠D．（答案不唯一） 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 10．（2024•茅箭区校级模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，AD＝CD，点E在边AC上，且CE＝AB，连接DE．若∠C＝18°，则∠ADE的度数为 　 　． 【分析】根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠BAD＝∠ECD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C＝18°， ∴∠ADB＝36°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴∠BAD＝∠ECD， 在△BAD与△ECD中， ， ∴△BAD≌△ECD（SAS）， ∴∠EDC＝∠ADB＝36°， ∴∠ADE＝180°﹣36°﹣36°＝108°， 故答案为：108°． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用全等三角形的判定和性质解答． 11．（2024•随县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 　 　． 【分析】延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME＝EB，根据三角形中位线定理得到DEAM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可． 【解答】解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N， ∵DE平分△ABC的周长， ∴ME＝EB，又AD＝DB， ∴DEAM，DE∥AM， ∵∠ACB＝60°， ∴∠ACM＝120°， ∵CM＝CA， ∴∠ACN＝60°，AN＝MN， ∴AN＝AC•sin∠ACN， ∴AM， ∴DE， 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键． 12．（2024•西陵区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC．点D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，若∠ADE＝∠B，求证：AD＝DE． 【分析】由AB＝AC，得∠B＝∠C，再由∠ADE＝∠B，推导出∠BAD＝∠CDE，而BD＝CE，即可根据“AAS”证明△ABD≌△DCE，则AD＝DE． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B， ∴180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∵∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴AD＝DE． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠BAD＝∠CDE，进而证明△ABD≌△DCE是解题的关键． 13．（2024•湖北模拟）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E． 【分析】先证出AB＝BD，再由平行线证出同位角相等∠ABC＝∠D，然后由SAS证明△ABC≌△BDE，得出对应角相等即可． 【解答】证明：∵B是AD的中点， ∴AB＝BD， ∵BC∥DE， ∴∠ABC＝∠D， 在△ABC和△BDE中， ， ∴△ABC≌△BDE（SAS）， ∴∠C＝∠E． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 14．（2024•沙市区三模）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：AB∥DE，AC∥DF． 【分析】首先证明CB＝FE，再加上条件AB＝DE，AC＝DF，可利用SSS判定△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再根据同位角相等，两直线平行可得结论． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即 CB＝FE， 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F， ∴AB∥DE，AC∥DF． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS．证明三角形全等必须有边相等的条件． 15．（2024•武汉模拟）已知：如图，E是BC上一点，∠BED＝∠B+∠BCA，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED． 【分析】由AB∥CD，得∠B＝∠DCE，由∠BED＝∠B+∠BCA，结合三角形外角∠BED＝∠D+∠DCE，可得∠BCA＝∠D，进而可证△ACB≌△EDC（ASA），即可证得AC＝ED． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠DCE， ∵∠BED＝∠B+∠BCA， 又∵∠BED＝∠D+∠DCE， ∴∠B+∠BCA＝∠D+∠DCE， ∴∠BCA＝∠D， 在△ACB和△EDC中， ， ∴△ACB≌△EDC（ASA）， ∴AC＝ED． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．也考查了平行线的性质和三角形外角的性质． 16．（2024•南漳县模拟）如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，A，C，D三点在一条直线上，延长DE交AB于点F． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）若CD＝1，AC＝2，求AF的长． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝90°，CD＝CE，∠DCE＝90°，利用SAS即可判定△ACE≌△BCD； （2）结合等腰直角三角形的性质求出DF＝AF，∠DFA＝90°，根据勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD＝CE，∠DCE＝90°， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）； （2）解：在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE中，∠EDC＝45°，∠BAC＝45°， ∴DF＝AF，∠DFA＝90°， ∴AF2+DF2＝2AF2＝AD2， ∵CD＝1，AC＝2， ∴AD＝CD+AC＝3， ∴（负值已舍）． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 图形的性质---相交线与平行线+三角形 课标要求 考点 考向 一．相交线与平行线 1. 理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质。 2. 探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截， 3. 如果内错角相等(或同旁内角互补),那么这两条直线平行。 4. 掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等(或同旁内角互补)。 二、三角形 1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角. 2.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。三边分别相等的两个三角形全等。两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 3.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 相 交 线 与 平 行 线 考向一 直接利用平行线的性质求角度 考向二 与直角三角板的结合 求角度 考向三 平行线的性质与判定的综合运用 三 角 形 考向四 利用三角形的内角和定理求角度 考向五 全等三角形的性质与判定 考向六特殊三角形的性质与判定 考向七 勾股定理 考向八 勾股定理的实际应用 考点一 图形的性质---相交线与平行线 ►考向一 直接利用平行线的性质求角度 1．（2024•湖北）如图，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通，若∠1＝120°，则∠2的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 2．（2023•随州）如图，直线l1∥l2，直线l与l1，l2相交，若图中∠1＝60°，则∠2为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 3．（2023•鄂州）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠BGE＝60°，则∠EFD的度数是（　　） A．60° B．30° C．40° D．70° 4．（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° ►考向二 与直角三角板的结合求角度 5．（2023•湖北）如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（　　） A．55° B．45° C．35° D．25° 6．（2023•恩施州）将含60°角的直角三角板按如图方式摆放，已知m∥n，∠1＝20°，则∠2＝（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 7．（2023•襄阳）将含有45°角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2度数（　　） A．30° B．20° C．15° D．10° 8．（2023•宜昌）如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A．110° B．70° C．40° D．30° ►考向三 平行线的判定与性质的综合运用 9．（2021•武汉）如图，AB∥CD，∠B＝∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F，求证：∠DEF＝∠F． 10．（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°． （1）求∠BAD的度数； （2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC． 考点二 图形的性质---三角形 ►考向四 利用三角形内角和定理求角度 11．（2023•十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝　 　． 12．（2022•宜昌）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的大小是 　 　． ►考向五 全等三角形的性质与判定 13．（2022•湖北）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个条件 　 ，使△ABC≌△DEF． 14．（2021•黄石）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长． 15．（2023•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE． （1）求证：∠E＝∠ECD； （2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状． ►考向六 特殊三角形的性质与判定 16．（2023•湖北）如图，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，点E在△ABC内，BE＞AE，连接DF交AE于点G，DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA＝∠EBC；②∠BHE＝∠EGF；③AB＝DF；④AD＝CF．其中所有正确结论的序号是 　 　． 17．（2023•荆州）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD＝CE． 18．（2022•黄石）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数． ►考向七 勾股定理 19．（2023•荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝　 　． 20．（2022•荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CEAE＝1，则CD＝　 　． 21．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝　 　． 22．（2021•鄂州）如图，四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于点D．若BD＝2，CD＝4，则线段AB的长为 　 　． 23．（2023•湖北）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则　 　． ►考向八 勾股定理的实际应用 24．（2022•荆门）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为（　　） A．20 B．60 C．30 D．30 25．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 26．（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 　 　尺． ► 相交线与平行线 1．（2024•随州一模）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，∠1＝70°，则∠3的度数为（　　） A．70° B．80° C．40° D．30° 2．（2024•茅箭区一模）如图，是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB＝（　　） A．90° B．75° C．100° D．60° 3．（2024•江汉区二模）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（　　） A．45° B．50° C．60° D．75° 4．（2024•随州模拟）将一副三角板如图摆放，斜边DF∥AB，AC与DE相交于点O，∠A＝60°，∠D＝45°，则∠AOD的度数等于（　　） A．135° B．120° C．115° D．105° 5．（2024•武昌区模拟）如图所示，把长方形ABCD沿EF折叠，若∠1＝50°，则∠AEF的度数为（　　） A．110° B．115° C．120° D．130° 6．（2024•汉川市模拟）一块含30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线a∥b，∠1＝35°，则∠2的度数是（　　） A．45° B．35° C．30° D．25° 7．（2024•阳新县二模）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，直线a交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝150°，∠ABC＝48°，则∠2的度数是（　　） A．18° B．20° C．28° D．30° 8．（2024•武汉模拟）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝121°，DE与地面平行，∠ABD＝48°，则∠DCE＝（　　） A．78° B．73° C．69° D．61° 9．（2024•枣阳市模拟）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝160°，∠CDF＝170°，则∠EPF的度数是（　　） A．20° B．30° C．50° D．60° 10．（2024•十堰三模）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 11．（2024•恩施市一模）如图，AB∥CD，AB∥EF，AF平分∠BAE，∠DAE＝10°，∠ADC＝120°．求∠AFE的度数． 12．（2024•恩施市一模）如图1，AB∥CD，E为AB与CD之间的一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，与CD相交于点F． （1）求证：∠1+∠2＝90°． （2）如图2，E为AB上方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请写出正确结论并证明． （3）如图3，E为AB下方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请直接写出正确结论． ► 三角形 1．（2024•恩施市一模）如图，能判定EC∥AB的条件是（　　） A．∠B＝∠ACE B．∠A＝∠ECD C．∠B＝∠ACB D．∠A＝∠ACE 2．（2024•西陵区模拟）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC 3．（2024•湖北三模）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（　　） A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm 4．（2024•湖北一模）如图，坐标平面内一点A（3，﹣2），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 5．（2024•汉川市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，AB＝AC＝13，点B，C的坐标分别是（8，12），（8，2），则点A的坐标是（　　） A．（3，6） B．（﹣4，5） C．（﹣4，6） D．（﹣4，7） 6．（2024•咸丰县模拟）已知A（2，0），B（0，2），点C在坐标轴上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的C有（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 7．（2024•洪山区模拟）如图所示，∠B＝90°，点D在线段BC上，点E在线段AD上，DE＝DC＝4， ∠BAD＝∠ACE，若AE＝10，则线段BD的长为（　　） A．4 B．5 C． D． 8．（2024•茅箭区校级一模）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACE，则这个条件可以是 　 　．（写一个即可） 9．（2024•孝南区一模）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个条件 　 　，使△ABC≌△DEF． 10．（2024•茅箭区校级模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，AD＝CD，点E在边AC上，且CE＝AB，连接DE．若∠C＝18°，则∠ADE的度数为 　 　． 11．（2024•随县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 　 　． 12．（2024•西陵区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC．点D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，若∠ADE＝∠B，求证：AD＝DE． 13．（2024•湖北模拟）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E． 14．（2024•沙市区三模）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：AB∥DE，AC∥DF． 15．（2024•武汉模拟）已知：如图，E是BC上一点，∠BED＝∠B+∠BCA，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED． 16．（2024•南漳县模拟）如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，A，C，D三点在一条直线上，延长DE交AB于点F． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）若CD＝1，AC＝2，求AF的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$