精品解析：四川省眉山市东坡区苏祠共同体期末小练习2024-2025学年八年级上学期12月期末数学试题

共同体23级八年级上学期期末小练习数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 在、、、、、中，分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 一种花瓣的花粉颗粒直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（ ） A. ＜＜ B. ＜＜ C. ＜＜ D. ＜＜ 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若把分式中和都扩大倍，那么分式的值（　　） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍 6. 在平面直角坐标系中，点A在第三象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知点A在反比例函数y=的图象上，点B在反比例函数y=的图象上，四边形ABCD是长方形，则长方形ABCD的面积是（ ） A 4 B. 6 C. 8 D. 12 11. 已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中表示时间，表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A. 体育场离林茂家 B. 体育场离文具店 C. 林茂从体育场出发到文具店平均速度是 D. 林茂从文具店回家的平均速度是 12. 对于正数，规定，例如．则（ ） A. 2022 B. 2021 C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 当_________时，分式有意义． 14. 点关于y轴对称所得点的坐标为______． 15. 已知关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 16. 如图是中国象棋棋盘的一部分，如果我们把“马”所在的位置记作（﹣2，﹣1），“卒”所在的位置就是（﹣1，2），那么“相”所在的位置是 _____． 17. 若关于的方程无解，则k的值为_________． 18. 如图，点P为函数（x＞0）图象上一点，过点P作x轴、y轴的平行线，分别与函数（x＞0）的图象交于点A、B，则△AOB的面积为_____． 三、解答题（共8小题，共78分） 19. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 20. 先化简，再求值：，其中. 21. 已知，求实数A和B的值． 22. 如图，直线l1的函数解析式为y＝﹣x＋1，且l1与x轴交于点A，直线l2经过点B，D，直线l1，l2交于点C． （1）求直线l2的函数解析式； （2）求△ABC的面积． 23. 某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题： （1）该企业4月份的生产数量为多少万支？ （2）该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？ 24. 如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点C，D两点，与反比例函数y（n≠0）的图象交于，B（3，m）两点． （1）分别求反比例函数和一次函数的解析式； （2）点E是线段OD上一点，若S△AEB，求点E的坐标． 25. 昆明市为迎接生物多样性大会，计划用两种花卉对某广场进行美化已知用600元购买A种花齐与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆的价格比A种花卉多0.5元． （1）求A，B两种花卉每盆的价格各是多少元？ （2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，请你给出购买这批花卉费用最低的方案． 26. 如图所示，反比例函数（）的图象与一次函数（）的图象交于、两点，直线分别与x轴、y轴交于点C、D． （1）分别求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若（）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设的长为d，求出d与t之间的函数关系式； （3）在第二象限内是否存在点Q，使得是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q坐标，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 共同体23级八年级上学期期末小练习数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 在、、、、、中，分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：分式有、、三个， 故选：B 【点睛】考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，熟记分式的定义是解题的关键． 2. 一种花瓣的花粉颗粒直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 3. 将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（ ） A. ＜＜ B. ＜＜ C. ＜＜ D. ＜＜ 【答案】A 【解析】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂和平方的运算法则，分别计算出各式的值再进行比较即可． 【详解】解：∵=6，=1，=9， 又∵1＜6＜9， ∴＜＜． 故选A． 【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂和平方的运算．负整数指数幂为相应的正整数指数幂的倒数；任何非0实数的0次幂等于1． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式减法，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质和分式减法依次分析各个选项，选出正确的选项即可． 【详解】解：A.，故A错误； B. ，故B错误； C. ，故C错误； D. ，故D正确． 故选：D． 5. 若把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（　　） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是对分式的性质的理解，根据分式的基本性质分式中元素扩大或缩小倍，只要将原数乘以或除以，再代入原式求解即可． 【详解】解：把原式中的、分别换成、，那么 把分式中的和都扩大倍，分式的值缩小倍， 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，点A在第三象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】点在第三象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是负数，可得-2m+1＜0，求不等式的解即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴点的横坐标是负数，纵坐标也是负数，即-2m+1＜0，解得m＞． 故选A． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 7. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数和的图象相交于点，求出点的坐标，再根据当时， 的图象在的图象的下方，得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点， ∴， 解得：， ∴点， ∵当时， 的图象在的图象的下方， ∴不等式的解集为：， 故选：A． 8. 在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的综合判断，利用一次函数和反比例函数的性质，分，两种情况进行判断即可． 【详解】解：由题意，当时，，经过一，二，四象限，经过一、三象限； 当时，，经过一，三，四象限，经过二、四象限； 故满足题意是选项B． 故选：B． 9. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到，将其代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：因为，得． 所以． 故选：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，运用因式分解法正确将所给的分式分子、分母因式分解是解题的关键． 10. 如图，已知点A在反比例函数y=的图象上，点B在反比例函数y=的图象上，四边形ABCD是长方形，则长方形ABCD的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先延长BA交y轴于点E，易得四边形ADOE与四边形BCOE是矩形，再根据点A在反比例函数图象上，点B在反比例函数的图象上，即可得，从而可得出答案． 【详解】延长BA交y轴于点E ∵四边形ABCD为矩形，且轴，点C、D在x轴上 ∴轴 ∴四边形ADOE与四边形BCOE是矩形 ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上 ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 11. 已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中表示时间，表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A. 体育场离林茂家 B. 体育场离文具店 C. 林茂从体育场出发到文具店的平均速度是 D. 林茂从文具店回家的平均速度是 【答案】C 【解析】 【分析】从图中可得信息：体育场离文具店1000m，所用时间是（45﹣30）分钟，可算出速度． 【详解】解：从图中可知：体育场离林茂家， 体育场离文具店的距离是：， 所用时间是min， 林茂从文具店回到家所用时间为90-65=25min，文具店距家的距离为1.5km， ∴体育场出发到文具店的平均速度， 林茂从文具店回家的平均速度是， 所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意， 故选C． 【点睛】本题运用函数图象解决问题，看懂图象是解决问题的关键． 12. 对于正数，规定，例如．则（ ） A. 2022 B. 2021 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查以实数运算为背景的新定义题型．确定是解题关键． 根据可得，故，据此即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴原式 ． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 当_________时，分式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义条件、二次根式有意义的条件等知识点，掌握分式的有意义的条件为分母不等于零、二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：． 故答案为：． 14. 点关于y轴对称所得点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称与点的坐标变化．根据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数”进行解答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 15. 已知关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围． 【详解】解：去分母得，， ∴， ∵方程的解是正数， ∴即， 又因为， ∴， ∴， ∴， 则m的取值范围是且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，理解题意得出相应不等式求解是关键． 16. 如图是中国象棋棋盘的一部分，如果我们把“马”所在的位置记作（﹣2，﹣1），“卒”所在的位置就是（﹣1，2），那么“相”所在的位置是 _____． 【答案】（1，1） 【解析】 【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出“相”的坐标． 【详解】解：如图所示：“相”所在的位置是（1，1）． 故答案为：（1，1）． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 17. 若关于的方程无解，则k的值为_________． 【答案】0或1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解，分式方程无解分的两种情况“①整式方程本身无解；②分式方程产生增根”成为解题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：原方程可化为：， 当，即时，方程无解，原分式方程无解． 当，即时，分式方程有增根或， 当时，代入可得，解得：； 当时，代入可得，该方程无解． 故答案为：0或1． 18. 如图，点P为函数（x＞0）图象上一点，过点P作x轴、y轴的平行线，分别与函数（x＞0）的图象交于点A、B，则△AOB的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作AD⊥x轴于D，BP交x轴于C，如图，设P（t，），则可表示出B（t，），A（6t，），利用反比例函数比例系数k的几何意义得到S△OBC＝S△OAD，则S△AOB＝S梯形ABCD，然后利用梯形的面积公式计算． 【详解】解：作AD⊥x轴于D，BP交x轴于C，如图， 设P（t，）， ∵PA∥x轴，PB∥y轴， ∴B（t，），A（6t，）， ∵S△OBC+S梯形ABCD＝S△OAD+S△AOB， 而S△OBC＝S△OAD， ∴S△AOB＝S梯形ABCD （）（6t﹣t） ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了反比函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共78分） 19. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解分式方程． （1）先算零指数幂，负整数幂，算术平方根，绝对值，再进行乘法运算，最后进行加减运算，即可求解； （2）先乘以最简公分母，化简为整式方程，再求解并检验即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：两边同乘，得， ， 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 20. 先化简，再求值：，其中. 【答案】， 【解析】 【分析】先化简括号内的式子，再根据分式的除法进行计算即可化简原式，然后将x=-2代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 =． ∵， ∴，舍去， 当时， 原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法． 21. 已知，求实数A和B的值． 【答案】A＝1，B＝2 【解析】 【分析】首先对等式右边进行通分相加，然后根据分母相同，得到分子相同．根据两个多项式相等，则其同次项的系数应当相等，得到关于A，B的方程，进行求解． 【详解】∵， ∴3x﹣4＝（A+B）x+（﹣2A﹣B）， 比较两边分子的系数，， ∴A＝1，B＝2． 【点睛】掌握分式的加法运算，能够根据两个多项式相等得到关于A，B的方程． 22. 如图，直线l1的函数解析式为y＝﹣x＋1，且l1与x轴交于点A，直线l2经过点B，D，直线l1，l2交于点C． （1）求直线l2的函数解析式； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）y＝x﹣3 （2） 【解析】 【分析】（1）设直线l2的解析式为，将点B、点D两个点代入求解即可确定函数解析式； （2）当y＝0时，代入直线解析式确定点A的坐标，即可得出的底边长，然后联立两个函数解析式得出交点坐标，点C的纵坐标即为三角形的高，利用三角形面积公式求解即可得． 【小问1详解】 解：设直线l2的解析式为， 由直线l2经过点，可得： ， 解得：， ∴直线l2的解析式为； 【小问2详解】 当y＝0时，代入直线解析式可得： ， 解得， ∴， ∴， 联立， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数解析式，一次函数交点问题，理解题意，熟练掌握运用一次函数的性质是解题关键． 23. 某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题： （1）该企业4月份的生产数量为多少万支？ （2）该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？ 【答案】（1）该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支 （2）该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支 【解析】 【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将代入求出相应的y的值即可； （2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数． 【小问1详解】 解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴，得， ∴， 当时，， 即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支； 【小问2详解】 设技术改造完成后对应的函数解析式为, ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴技术改造完成后对应的函数解析式为， ， 解得， 经检验符合题意， ∵x为正整数， ∴， 答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支． 【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 24. 如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点C，D两点，与反比例函数y（n≠0）的图象交于，B（3，m）两点． （1）分别求反比例函数和一次函数的解析式； （2）点E是线段OD上一点，若S△AEB，求点E的坐标． 【答案】（1） （2）（0，1） 【解析】 【分析】（1）先将坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将，点坐标代入一次函数即可； （2）先求出点坐标，设点坐标，表示出的面积和的面积，即可表示出的面积，列方程即可求出点坐标． 【小问1详解】 将代入反比例函数y， 得n6， ∴反比例函数的解析式为：， 将B（3，m）代入反比例函数解析式， 得3m＝6， 解得m＝2， ∴B（3，2）， 将A，B点坐标代入一次函数y＝kx+b中， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 当x＝0时，6， ∴D（0，6）， 设E点坐标为（0，y）， ∵，， ∴S△AEB＝S△DBE﹣S△DAE， ∴y＝1， ∴E点坐标为（0，1）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，用待定系数法求解析式以及表示△ABE的面积是解决本题的关键． 25. 昆明市为迎接生物多样性大会，计划用两种花卉对某广场进行美化已知用600元购买A种花齐与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆的价格比A种花卉多0.5元． （1）求A，B两种花卉每盆的价格各是多少元？ （2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，请你给出购买这批花卉费用最低的方案． 【答案】（1）A种花卉每盆1元，B种花卉每盆1.5元 （2）当购买A种花卉1500盆，B种花卉4500盆时购买这批花卉总费用最低 【解析】 【分析】（1）设A种花卉每盆x元，B种花卉每盆（x+0.5）元，根据题意列出关于x的分式方程，求解、验根即可； （2）根据两种花卉的费用之和列出函数关系式，再根据t的取值范围求函数最值即可． 【小问1详解】 设A种花卉每盆x元，B种花卉每盆（x＋0.5）元． 根据题意，得． 解这个方程，得x＝1． 经检验，x＝1是原分式方程的根，并符合题意． 此时x＋0.5＝1＋0.5＝1.5（元）． 答：A种花卉每盆1元，B种花卉每盆1.5元． 【小问2详解】 设购买A种花卉t盆，购买这批花卉的总费用为w元， 则t≤（6000－t）， 解得∶t≤1500． 由题意，得w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000． ∵w是t的一次函数，k＝－0．5＜0，w随t的增大而减小，所以当t＝1500盆时，w最小． ∴当购买A种花卉1500盆，B种花卉4500盆时购买这批花卉总费用最低． 【点睛】本题考查一次函数的应用和分式方程的解法，关键是根据已知条件列出函数关系式，在给定范围内求函数最值． 26. 如图所示，反比例函数（）的图象与一次函数（）的图象交于、两点，直线分别与x轴、y轴交于点C、D． （1）分别求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若（）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设的长为d，求出d与t之间的函数关系式； （3）在第二象限内是否存在点Q，使得是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由． 【答案】（1）y， （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线AB的解析式求解，即可求出一次函数解析式； （2）由题意得，，，得出，，分两种情况得出答案； （3）先求出，，再分三种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（）的图象过、两点， ∴， 解得：， ∴、，反比例函数的解析式是y， ∵一次函数（）的图象过点、， ∴ 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得，，， ∴，， 当时，点M在点N的上方，则； 当时，点M在点N的下方，则； 综上，d与t之间的函数关系式为 【小问3详解】 解：由（1）知，直线的解析式为， 令，则， 令，则，解得， ∴，， ∴，， 如图， ∵是等腰直角三角形， ∴①当，时， 过点Q作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当，时， 过点作轴于点G， 同理可证， ∴，， ∴ ∴； ③当，时， 过点作轴于点K，作轴于点L， 同理可得，， ∴，， ∴设（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法，懂得添加辅助线构造全等三角形，掌握分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$