精品解析：四川省眉山市东坡区苏祠共同体 2024-2025学年九年级上学期12月期末数学试题

共同体22级九年级上学期期末小练习 数学试题 考试时间120分钟 总分150分 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑． 1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式．先化简原数，然后根据同类二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A．，与不是同类二次根式，故A不符合题意； B．，与是同类二次根式，故B符合题意； C．，与不是同类二次根式，故C不符合题意； D．，与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 2. 要使式子有意义，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣1 B. m≥﹣1 C. m＞﹣1且m≠1 D. m≥﹣1且m≠1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】根据题意得：， 解得：m≥﹣1且m≠1． 故选D 【点睛】此题主要考查二次根式的性质和分式的有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质和分式的有意义的条件即可解题． 3. 关于的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的二次项系数不为零，最高次项的次数为，求解即可． 【详解】解：的方程是一元二次方程， ，且， 解得：， 故选：C． 4. 将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．先将常数项移到方程的右边，再把二次项化系数为，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可求解． 【详解】解： 故选：D． 5. 已知a=﹣1，b=，则a与b的关系（　　） A. a=b B. ab=1 C. a=﹣b D. ab=﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】先将b的分母有理化，再比较大小. 【详解】解：b=，则a=﹣1=b， 故选择A. 【点睛】本题考查了分母有理化的计算方法. 6. 某机械厂一月份生产零件50万个，第一季度生产零件200万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一般增长后的量增长前的量×（1+增长率），如果该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示二、三月份的产量，然后根据题意可得出方程． 【详解】解：依题意得二、三月份的产量为、， ． 故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量． 7. 如果，且，则的值是（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】=-a-(-b)=b-a=-6.故选B 8. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．讨论：时，方程有实数根；当，，即可求解． 【详解】解：当，即时，方程变形为，此方程有实数根为， 当且时，方程有实数根， 解得：且， 的取值范围为． 故选：A． 9. 关于的方程有两个实数根为，，若，则为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出的值是解题的关键．由根与系数的关系可得出，，结合可求出的可能值，根据方程的系数结合根的判别式可确定的值，此题得解． 【详解】解：关于的方程有两个实数根为，， ，， ，即， ， 解得：， 关于的方程有两个实数根， ， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ． 故选：D． 10. 已知关于的方程，若等腰的一边长为4，另外两边恰好是这个方程的两个实数根，则的周长是( ) A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的定义分为腰长以及底边长两种情况．①等为腰长时，将代入原方程可求出值，将值代入原方程解方程可得出底边长，再利用三角形的三边关系验证后可得出结论；②当为底边长时，根据根的判别式即可求出值，将值代入原方程解方程可得出腰长，再利用三角形的三边关系验证后即可得出结论．综上即可得出结论． 【详解】解：①若为腰，则、中必有一个与之相等，不妨设 为方程的一根 将代入，解得 ， 原方程为 ， 周长为 ②若为底，则、为腰，即 方程有两相等实根，即： ，解得： 原方程为： 即 ， ，，不能构成三角形． 综上，三角形的周长为． 故选：B． 11. 已知 则 的最小值是（　　） A. B. 0 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】构造一元二次方程，利用根与系数关系定理，构造二次函数，利用函数增减性，求最值解答即可． 【详解】解：∵，，且， ∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，，， ∴ ∵， ∴抛物线开口向上， ∴有最小值，且对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵， ∴时，有最小值，且为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的构造，根与系数关系定理，二次函数的增减性，二次函数的最值，熟练掌握构造方程，构造二次函数是解题的关键． 12. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点是线段上一定点，点分别为直线和轴上的两个动点，当周长的最小值为6时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作关于轴的对称点，作关于直线的对称点，连接，连接交于，交轴于，此时周长最小，由得，，，，根据、关于对称，进而得出，设，则，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点，连接，连接交于，交轴于，如图： ，， ，此时周长最小为， 由得，， ，是等腰直角三角形， 、关于对称， ， ， 设，则 在中， 即 解得：（负值舍去） 即 故选：B． 【点睛】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定周长最小时，、的位置． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上． 13. 方程化为一般式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，乘法公式，二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则和概念是解题关键．一元二次方程的一般形式为，据此将已知一元二次方程变形，即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 14. 已知的整数部分为，小数部分为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查估算无理数的大小，解题关键在于得到的整数部分．先将进行分母有理化得，由得到，进而得到、的值，即可求解． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故答案为：． 15. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 16. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示： 化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的意义，利用数轴确定出的符号是解题的关键．利用数轴确定出，，的符号，再利用二次根式和绝对值的意义化简运算即可． 【详解】解：由数轴可得：，， 故答案为：． 17. 把根号外的因式移入根号内，其结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ，即 ， 故答案为：． 18. 若整数使得关于的一元一次不等式组有解，也使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的值的和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是掌握不等式组解法及一元二次方程根的判别式确定的取值范围．根据不等式组有解求出的取值范围，再根据关于的一元二次方程有实数根，得，且，求解即可得的取值范围，取满足条件的整数相加即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于的一元一次不等式组有解， ， 解得：， 关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得：，且， ，且， 所有满足条件的整数为，，，，， 所有满足条件的整数的值的和是， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）先进行乘除和乘方运算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘除法运算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 20. 按要求解方程： （1）（适当的方法） （2）（用公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． （1）利用配方法求解一元二次方程即可； （2）利用公式法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ，， ， 21. 先化简再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若该一元二次方程的两个实数根分别为，判断动点所形成的函数图象是否经过点，并说明理由． 【答案】（1） 证明： ∴该一元二次方程总有两个实数根； （2）经过， ，， 当时， ∴动点所形成的函数图象经过点． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系， （1）先求出该一元二次方程的判别式的值，再根据一元二次方程根判别式，即可得证． （2）根据，，得出，将代入，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在学习二次根式的性质时，知道，利用这个性质我们可以求的值． 解：设，两边平方，； ； ， ， ， ； 请利用以上方法，解决下列问题： （1）求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）仿照题例解答即可； （）两边平方整理后，再平方求解即可； 本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，看懂题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设， 两边平方得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， 两边平方得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若是方程的两根，则______，______； （2）已知满足，，求的值； （3）已知满足，，求正整数的最小值． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（）根据题意解答即可； （）分和两种情况解答即可； （）由已知可，，可得为一元二次方程的两个根，进而由解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵满足，， 当时，原式； 当时，可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； 综上，的值为或； 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， ∴为一元二次方程的两个根， ∵，且， ∴， ∴， ∴正整数的最小值为． 25. 一元二次方程中，根的判别式，通常用来判断方程实根个数，在实际应用当中，我们亦可用来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当x为何值时，y取最小值，最小值是多少？ 解答：已知函数， ∴，（把y当作参数，将函数转化为关于x的一元二次方程） ∵，即，，（当y为何值时，存在相应的x与之对应，即方程有根） 因此y的最小值为，此时， 解得，符合题意，所以当时， （1）已知函数，y的最大值是多少？ （2）已知函数，y最小值是多少？ （3）如图，已知、，D是线段上一点，，，，当为何值时，取最小值，最小值是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当时，取最小值，最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合应用，勾股定理，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系． （1）由题意可得，根据得出，计算即可得解； （2）由题意可得，根据得出，求解即可； （3）设，，由勾股定理可得，即可得出，变形整理得，结合，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 变形整理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴最小值为， 此时， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，取最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 共同体22级九年级上学期期末小练习 数学试题 考试时间120分钟 总分150分 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑． 1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使式子有意义，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣1 B. m≥﹣1 C. m＞﹣1且m≠1 D. m≥﹣1且m≠1 3. 关于的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知a=﹣1，b=，则a与b的关系（　　） A. a=b B. ab=1 C. a=﹣b D. ab=﹣1 6. 某机械厂一月份生产零件50万个，第一季度生产零件200万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如果，且，则的值是（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 无法确定 8. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 关于的方程有两个实数根为，，若，则为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 10. 已知关于的方程，若等腰的一边长为4，另外两边恰好是这个方程的两个实数根，则的周长是( ) A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 无法计算 11. 已知 则 的最小值是（　　） A. B. 0 C. 3 D. 6 12. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点是线段上一定点，点分别为直线和轴上的两个动点，当周长的最小值为6时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上． 13. 方程化为一般式是______． 14. 已知的整数部分为，小数部分为，则______． 15. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 16. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示： 化简的结果为______． 17. 把根号外的因式移入根号内，其结果为______． 18. 若整数使得关于的一元一次不等式组有解，也使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的值的和是______． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分． 19. 计算： （1） （2） 20. 按要求解方程： （1）（适当的方法） （2）（用公式法） 21. 先化简再求值：，其中 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若该一元二次方程的两个实数根分别为，判断动点所形成的函数图象是否经过点，并说明理由． 23. 在学习二次根式的性质时，知道，利用这个性质我们可以求的值． 解：设，两边平方，； ； ， ， ， ； 请利用以上方法，解决下列问题： （1）求； （2）若，求的值． 24. 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若是方程的两根，则______，______； （2）已知满足，，求的值； （3）已知满足，，求正整数的最小值． 25. 一元二次方程中，根的判别式，通常用来判断方程实根个数，在实际应用当中，我们亦可用来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当x为何值时，y取最小值，最小值是多少？ 解答：已知函数， ∴，（把y当作参数，将函数转化为关于x的一元二次方程） ∵，即，，（当y为何值时，存在相应的x与之对应，即方程有根） 因此y的最小值为，此时， 解得，符合题意，所以当时， （1）已知函数，y的最大值是多少？ （2）已知函数，y最小值是多少？ （3）如图，已知、，D是线段上一点，，，，当为何值时，取最小值，最小值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $