2025年九年级中考数学复习讲义 二次函数含参专题--几何

二次函数含参问题--几何 考点一、周长最小（线段和最小问题） 该类问题解决方法：作定点关于动点所在的直线作对称点，即将军饮马问题。 例题： 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB． （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 变式训练： 1.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求点，点和点的坐标； （2）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标； 2.已知二次函数y=x2-2mx+m-1（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴有2个公共点； （2）如图，若该函数与x轴的一交点是原点，求另一交点A的坐标及顶点C的坐标； （3）在（2）的条件下，y轴上是否存在一点P，使得PA+PC最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二、面积问题 面积问题中难点在于利用铅锤高×水平宽×求面积的最值；简单的面积运算用底×高÷2，注意坐标和长度间转换。 例题： 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（2，0），直线y＝x+m与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上，B点（8，9）． （1）求二次函数的表达式； （2）Q为线段AB上一动点（不与A，B重合），过点Q作y轴的平行线与二次函数交于点P，设线段PQ长为h，点Q横坐标为x．求①h与x之间的函数关系式；②△ABP面积的最大值． 变式训练： 1.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求点，点和点的坐标； （2）若点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值． 2.如图，二次函数的图象经过点与． （1）求，的值； （2）点是该二次函数图象上，两点之间的一动点，横坐标为，写出四边形的面积关于点的横坐标的函数表达式，并求的最大值． 考点三、存在性问题 ①等腰三角形 两圆一线：分别以已知线段两端点为圆心线段长度为半径画圆，圆上的任意一点与线段两端点构成的三角形都是等腰三角形；一线指的是中垂线，作已知线段的中垂线，由中垂线定理可得中垂线上的点与线段两端点构成的三角形都是等腰三角形。 例题： 如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D． （1）求A、B、C、D的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； 变式训练： 1.已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y＝7﹣2x只有一个交点． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线y＝﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由． 2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x＝－. (1)求抛物线的解析式； (2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标． ②直角三角形 常用到的证明直角三角形的方法：1.斜中线定理，2.证垂直（可能用到两垂直直线斜率乘积等于-1）. 例题：如图，抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7）且与直线y＝kx﹣2k﹣3相交于点P（m，2m﹣7）． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线y＝kx﹣2k﹣3与抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x+b的对称轴的交点Q的坐标； （3）在y轴上是否存在点T，使△PQT的一边中线等于该边的一半？若存在，求出点T的坐标；若不存在请说明理由． 变式训练： 1.如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 2.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值； （3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ③平行四边形 运用对角线互相平分的四边形是平行四边形去证明. 会用到的公式：中点公式：已知A（x1，y1），B（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（） 例题：如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0）． （1）求抛物线与直线AC的函数解析式； （2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系式； （3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E的坐标． 变式训练： 1.如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点. （1）求抛物线的表达式； （2）写出点的坐标并求直线的表达式； （3）设动点，分别在抛物线和对称轴l上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标. 2.如图，对称轴为直线x＝1的抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B，点D在y轴上，且OB＝3OD （1）求该抛物线的表达式； （2）设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t ①当0＜t＜3时，求四边形CDBP的面积S与t的函数关系式，并求出S的最大值； ②点Q在直线BC上，若以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标． 考点四、数形结合问题 ①一元二次方程与二次函数结合思想 例题：已知关于的方程，存在，是方程的两个根，则实数，，，的大小关系可能是　　 A． B． C． D． 变式训练： 1.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示：关于x的方程ax2+bx+c＝m（m＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列选项正确的是（　　） A．﹣3＜α＜β＜1 B．﹣3＜α＜1＜β C．α＜﹣3＜β＜1 D．α＜﹣3且β＞1 ②结合图像动态分析 例题 ：二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A（-1，a），B（3，a），且最低点的纵坐标为-4. （1）求m、n和a的值； （2）若直线y=kx+2经过点A，求k的值； （3）记（1）中的二次函数图象在A，B之间的部分图象为G（包含A，B两点），若直线y=kx+2与G有公共点，请结合图象探索实数k的取值范围. 变式训练： 1.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2−2mx−2(m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B. (1)求点A，B的坐标； (2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式； (3)若该抛物线在−2<x<−1这一段位于直线l的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$