二次函数含参专题--代数讲义2025年九年级中考数学一轮复习

二次函数含参问题--代数 考点一、定点问题 ①含一个参数的二次函数求定点 此类题型解决步骤：（1）把所有含有参数的项放在一起 （2）提取出参数 （3）令括号里的式子为零，解出对应x的值 （4）将求出x的值带回解析式求出对应y值 （5）写出定点坐标。 例题：已知抛物线y=mx2+(2−2m)x+m−2(m是常数)．无论m取何值，该抛物线都经过定点 D. 直接写出点D的坐标． 变式训练: 1、已知关于x的函数y=kx2+(2k+1)x+2 (1) ①小莉说：无论k取任何实数时，函数图像与x轴总有交点； ②小文说：无论k取任何实数时，函数图像恒过定点； 她俩的说法对吗？请说明理由 2、关于x的函数y=2mx2+(1−m)x−1−m(m是实数)，当m≠0时，函数图象总经过两个定点，求出定点坐标。 ②含两个参数的含参二次函数求定点 此类问题解决方法：将两个参数转化成一个参数再按照一个参数的解题步骤求出定点坐标；如果无法转化，则直接把含有相同参数的项放在一起因式分解。 例题： 已知二次函数y=ax2+bx−3(a≠0)，且a+b=3.求该二次函数经过的定点坐标。 变式训练： 已知抛物线y=ax2+bx-a+b（a，b为常数，且a≠0）.求证：无论a，b取任意实数，此抛物线必经过一个定点，并求出此定点； 二、最值问题 ①定区间（一定取值范围内）含参二次函数的最值问题 遇到此类问题时一般需要分类讨论，讨论分三种情况讨论对称轴的位置： （1）对称轴在该区间左侧，根据增减性求出最值 （2）对称轴在区间内，在顶点处取最值 （3）对称轴在区间右侧，根据增减性求最值。 例题： 已知抛物线y=x2−2bx+c，若c=b+2且抛物线在−2⩽x⩽2上的最小值是−3，求b的值。 变式训练： 1. 已知抛物线y＝3ax2＋2bx＋c. 若a＝，c＝2＋b，且抛物线在－2≤x≤2区间上的最小值是－3，求b的值； 2. 在平面直角坐标系中，二次函数y1＝x2＋2(k－2)x＋k2－4k＋5. 当1≤x≤3时，二次函数的最小值是2，求k的值． ②不定区间（取值范围端点不确定）内二次函数的最值问题 遇到此类问题也需要去分类讨论，不过讨论的是给的取值范围不确定的端点： （1）取值范围中包含对称轴，最值在定点处取；（2）取值范围中不包含对称轴，根据增减性判断最值。 例题：已知二次函数y=x2+px+q图像的顶点M为直线与y=-x+m-1的交点. 若m=6，当x取值为t-1≤x≤t+3时，二次函数y最小值=2，求t的取值范围. 变式训练： 1.已知二次函数y=x2-2x，当-1xk时，求函数的最大值和最小值。（结果可以用k表示） 2.当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值； 考点三、增减性问题 二次函数的增减性只与开口以及对称轴有关，处理该类问题时须先求出对称轴，有时会涉及分类讨论开口方向。 例题： 已知二次函数y=x2+px+q图像的顶点M为直线与y=-x+m-1的交点. 当x≥2时，二次函数y=x2+px+q与y=x+的值均随x的增大而增大，求m的取值范围； 变式训练： 1.二次函数y＝x2﹣2mx+1在x≤1时y随x增大而减小，则m的取值范围是　 　． 2.设函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)．对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，试求m的取值范围． 考点四、比较函数值大小问题 ①作差法 若y1-y2<0, 则y1<y2; 若y1-y2>0，则y1>y2; 若y1-y2=0,则y1=y2。 例题： 已知函数y=kx2+(3k+2)x+2k+2。 点A（x1，y1），B(x2，y2)是函数图象上两个点，满足若x1+x2=-3，试比较y1和y2的大小关系。 变式训练： 1.已知二次函数y=ax2+bx−3(a≠0)，且a+b=3. 点P(x1,y1),Q(x2,y2)是函数图象上两个点,满足x1+x2=2且x1<x2,试比较y1和y2的大小关系。 2.已知A=a+2, B=2a2−3a+10, C=a2+5a−3， (1)求证：无论a为何值，A<B恒成立； (2)请分析A与C的大小关系。 ②离对称轴远近比较函数值大小 开口向上的二次函数，离对称轴越远的点对应的函数值越大，越近越小； 开口向下的二次函数，离对称轴越近的点对应的函数值越大，越远越小。 例题： 已知二次函数h=x2-(2m-1)x+m2-m（m是常数） 若M（m+2，s），N（x0，t）在函数图像上，且s>t，求x0的取值范围（用含m的式子表示）. 变式训练： 1.已知y关于x的二次函数y=ax2-bx+2（a≠0）。 当该函数图象经过点（1，0）时，若A（，y1），B（，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小. 2.设抛物线y=mx2−2mx+3(m≠0)与x轴交于点A(a,0)和B(b,0). 抛物线上有两点P(x1,p)和Q(x2,q),若x1<1<x2,且x1+x2>2，试比较p与q的大小。 考点五：纯代数运算 该类题型对计算要求比较高，计算比较复杂，涉及到因式分解及代数转换。 例题： 已知关于x的方程 mx2+（3m+1）x+3＝0． 若点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在（2）中抛物线上 （点P、Q不重合），且y1＝y2，求代数式4x12+12x1n+5n2+16n+8的值． 变式训练： 1.已知抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+m2﹣1（m为常数）． 若点M（x1，y1）与点N（x1+k，y2）在（2）中抛物线上 （点M、N不重合），且y1＝y2．求代数式的值． 2.已知二次函数y＝x2+（3﹣）x﹣3（m＞0）的图象与x轴交于点（x1，0）和（x2，0），且x1＜x2． （1）求x2的值； （2）求代数式mx12+x12+（3﹣）x1+x1+9的值． --- 1 学科网（北京）股份有限公司 $$