第四章 三角形 重难专项

1 第四章 三角形 考点 1 三角形三边关系的应用 1．C 【难度】0.94 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边 之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵3 5 8  ， 模块 章节重难点考察 考点 1.三角形三边关系的应用 考点 2.三角形三线的性质和应用 考点 3.三角形内角和的应用 考点 4.全等图形的性质应用 考点 5.添加条件证全等 考点 6.倍长中线模型 考点 7.截长补短模型 考点 8.一线三垂直模型 考点 9.对角互补模型 考点 10.全等三角形的判定性质综合 考点 11.全等三角形的存在性问题 考点 12.尺规作图综合—作三角形 章节重难点考察 模块导航 2 ∴长为 3，5，8的三条线段不能构成三角形，不符合题意； B、∵1 3 6  ， ∴长为 1，3，6的三条线段不能构成三角形，不符合题意； C、∵3 4 5  ， ∴长为 3，4，5的三条线段能构成三角形，符合题意； D、∵4 4 9  ， ∴长为 4，4，9的三条线段不能构成三角形，不符合题意； 故选：C． 2．A 【难度】0.85 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 得出2 8BC  ，由此即可得出答案． 【详解】解：在 ABC 中， 3AB  、 5AC  ， AC AB BC AC AB     ，即5 3 5 3BC    ， 2 8BC   ， ∵ BC的长度为整数， ∴ BC的长度可以为 3，4，5，6，7  ABC 的周长可能是 11，12，13，14，15． 故选：A． 3．10 【难度】0.65 【知识点】化简绝对值、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，先根据三角形三边关系得出6 14x  ， 再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是 4 10x、 、 ， ∴6 14x  ， 3 ∴ 5 0x   ， 15 0x   ， ∴ 5 15 5 15 10x x x x        ， 故答案为：10． 考点 2 三角形三线的性质和应用 1．D 【难度】0.94 【知识点】画三角形的高 【分析】根据三角形高线的定义判断． 【详解】AC边上的高是过点 B向 AC作垂线，垂足为 D，则线段 BD为高； 纵观各图形，A、B、C都不符合 AC边上的高的定义，D符合高线的定义． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形高的定义；理解定义是解题的关键． 2．A 【难度】0.65 【知识点】三角形角平分线的定义、画三角形的高、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角形的中线、高线和角平分线，熟练掌握定义是解题关键．根据三角形中 线、高线和角平分线的定义逐一判断即可得答案． 【详解】A、三角形的角平分线都在三角形的内部故该选项正确； B、直角三角形有三条高，故该选项错误； C、三角形的中线不可能在三角形的外部，故该选项错误； D、三角形的高线所在的直线必交于一点，故该选项错误； 故选：A． 3． BAC 2 BAC 【难度】0.65 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 4 【详解】解：AD是 ABC 的角平分线，则 AD平分 BAC ， 11 2 2 BAC     ，且点D在 边 BC上， 故答案为： BAC ，2， BAC ． 4．(1) BC， ADB， ADC (2) BAC 的角平分线， BAE，CAE， BAC， BAF△ 的角平分线 (3) BF (4) BAH ， GAF 【难度】0.65 【知识点】画三角形的高、三角形角平分线的定义、垂线的定义理解、根据三角形中线求长度 【分析】（1）由三角形的高的定义及垂线的定义即可直接得出答案； （2）由三角形角平分线的定义即可直接得出答案； （3）由三角形的中线的定义即可直接得出答案； （4）由三角形的中线的定义即可直接得出答案． 【详解】（1）解：在 ABCV 中， AD BC ，垂足为D，则 AD是 BC边上的高， 90ADB ADC   ， 故答案为： BC， ADB， ADC； （2）解：若 AE平分 BAC ，交 BC于点E，则 AE叫 BAC 的角平分线， 1 2     BAE CAE BAC， AH 叫 BAF△ 的角平分线， 故答案为： BAC 的角平分线， BAE，CAE，BAC， BAF△ 的角平分线； （3）解：若 AF FC ，则 ABCV 的中线是 BF， 故答案为： BF； （4）解：若 BG GH HF  ，则 AG是 BAH 的中线， AH 是 GAF 的中线， 故答案为： BAH ， GAF ． 【点睛】本题主要考查了三角形的高的定义，垂线的定义，三角形角平分线的定义，三角形的 中线的定义等知识点，熟练掌握与三角形有关的线段的定义是解题的关键． 5 考点 3 三角形内角和的应用 1．作图见解析，AB CD∥ ；内错角相等，两直线平行； DCE ；两直线平行，同位角相等； DCE 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的证明、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角的证明，解题的关键是掌握平行线的判 定定理和性质． 根据尺规作图—做一个角等于已知角的方法和步骤进行作图即可；根据内错角相等，两直线平 行得出 AB CD∥ ，进而得出 B DCE   ，最后根据平角的定义得出 180ACD DCE ACB    ，即可得出结论 180A B ACB    ． 【详解】证明：如图 3，以 AC为边，在其右侧用尺规作 ACD A   ． 延长 BC至点 E． ∵ ACD A   （ 已作）， ∴ AB CD∥ （内错角相等，两直线平行）， ∴ B DCE   （两直线平行，同位角相等）， 又∵ 180ACD DCE ACB    （平角的定义）， ∴ 180A B ACB    （等量代换）， 故答案为：AB CD∥ ；内错角相等，两直线平行； DCE ；两直线平行，同位角相等； DCE ． 2．（1）55；（2） PFC PEA EPF     ，理由见解析；（3） 1 2  【难度】0.65 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与平行线有关的三角形内角和问题、对顶角相等、 6 三角形角平分线的定义 【分析】（1）过点 P作 PM AB∥ ，由平行线定理可得 AB CD PM∥ ∥ ，根据平行线的性 质可得 = = 30BEP EPM  ， =180CFP MPF  ，即 = 25MPF ，即可求解； （2）如图， PF与 AB相交于点 N，根据平行线的性质可得 =PFC PNA  ，再根据三角形 内角和定理和平角的定义，利用等量代换可得 =PNA PEA EPF   ，即可得证； （3）如图，GE与 PF 相交于点 O，由对顶角相等和三角形内角和定理可得 1 1= 2 2 G PFC PEA     ， =G GFO P PEO    ，再由角平分线的定义可得由 （2）可得， PFC PEA EPF     ，进行等量代换即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点 P作 PM AB∥ ， ∵ AB CD∥ ， ∴ AB CD PM∥ ∥ ， ∴ = = 30BEP EPM  ， =180CFP MPF  ， ∴ =180 155 = 25MPF   ， ∴ = = 30 25 = 55EPF EPM MPF     ； （2） PFC PEA EPF     ，理由如下： 如图， PF与 AB相交于点 N， ∵ AB CD∥ ， ∴ =PFC PNA  ， ∵ =180PNA PNE  ， =180PNE PEA EPF   ， ∴ =PNA PEA EPF   ， ∴ PFC PEA EPF     ； 7 （3）如图，GE与 PF 相交于点 O， ∵ =GOF POE  ， ∴ =G GFO P PEO    ， ∵GE平分 PEA ，GF 平分 PFC ， ∴ 1= 2 GFO PFC  ， 1= 2 PEO PEA  ， ∴ 1 1= 2 2 G PFC PEA     ， 由（2）可得， PFC PEA EPF     ， ∴  1 1 2 2 G PEA PEA        ， ∴ 1 1 1 1= = 2 2 2 2 G PEA PEA        ． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、对顶角相等、平行线性质、角平分线的 定义，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 考点 4 全等图形的性质应用 1．70 8 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握这性质是关键．根据三角形全等的性质，得出 30E FCD    ，然后求出 180 70ABE A E      即可． 【详解】解：∵ ABE FDC ≌ ， ∴ 30E FCD    ， ∵ 80A  ， ∴ 180 70ABE A E      ． 故答案为：70． 2．87 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，直接利用全等三角形的性质得出 28B D   ， 115ACB E   ，得出 AFC 的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵ ABC ADE△ △≌ ， 28D  ， =115E ， ∴ 28B D   ， 115ACB E   ， ∴ 65ACG  ， ∵ 50DAC  ， ∴ 65AFC GFD   ， ∴ 180 87DGF D DFG     ． 故答案为：87． 3．(1)见解析 (2) ABC 绕点A顺时针旋转 25可以得到 AEF△ (3)82° 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质、三角形的外角的定义及性质 9 【分析】（1）根据全等的性质，得到 BAC EAF  ，进而得到 EAF PAF BAC PAF     ，即可得证； （2）点E与点 B为对应点， 25EAB  ，即可得出结论； （3）根据全等得到 57 ,C F    由（1）得到 BAC EAF  ，利用三角形的外角的性质 进行求解即可． 【详解】（1）解： ABC AEF ≌ ， BAC EAF   ． EAF PAF BAC PAF     ． EAB FAC   ． （2）∵点E与点 B为对应点， 25EAB  ，点C和点F 为对应点， 25EAB FAC   ， ∴ ABC 绕点A顺时针旋转25可以得到 AEF△ ． （3） ABC AEF ≌ ， ∴ 57 ,C F    ∵ 25FAC EAB     ， 57 25 82AMB C FAC        ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角．熟练掌握全等三角形的性质，是解题的 关键． 考点 5 添加条件证全等 1．DE / ED 【难度】0.85 【知识点】用 ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者 AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的几判定方法是解题的关键；本 题已知两个角相等，根据全等三角形判定条件，当 AB DE 时，即可通过角边角求证 ABC DEF≌△△ ； 【详解】解：当 AB DE 时， 10 在 ABC 和 DEF 中， B E AB DE A D         ， ∴  ASAABC DEF ≌ ， ∴当 AB DE 时，可证 ABC DEF≌△△ ， 故答案为：DE； 2．∠B=∠D 【难度】0.85 【知识点】用 ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者 AAS） 【分析】利用 ASA定理添加条件即可． 【详解】解：还需添加的条件是∠B=∠D， ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC， 即∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中 BAC DAE AB AD B D         ∴△ABC≌△ADE（ASA）， 故答案为：∠B=∠D． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握 ASA--两角及其夹边分别对应相等的 两个三角形全等． 3．(1)BC CD ， BDC BDA (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、添加条件使三角形全等（全 等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空 11 即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两 三角形全等，分别证明即可． 【详解】（1）解：乙：如图②，先过点 B作 AB的垂线 BF，再在 BF上取C，D两点，使BC CD ， 接着过点D作BD的垂线DE，交 AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A， B的距离； 丙：如图③，过点 B作BD AB ，再由点D观测，在 AB的延长线上取一点C，使  BDC BDA，这时只要测出 BC的长即为A， B的距离． 故答案为：BC CD ， BDC BDA； （2）解：答案不唯一． 选甲：在 ABC 和 DEC 中， AC DC ACB ECD BC EC       ， ∴  SASABC DEC ≌ ， AB ED  ； 选乙： AB BD ，DE BD ， 90B CDE   ， 在 ABC 和 EDC△ 中， ABC EDC CB CD ACB ECD        ， ∴  ASAABC EDC ≌ ， AB ED  ； 选丙： 在 ABD△ 和 CBD△ 中， 12 ABD CBD BD BD ADB CDB        ， ∴  ASAABD CBD ≌ ， AB BC  ． 考点 6 倍长中线模型 1．12 【难度】0.65 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长 AD到G使 DG AD ，连接BG，通过 ACD GBD ≌ ，根据全等三角形的性质得到 CAD G  ， AC BG ，等量代换得到 BE BG ，由等腰三角形的性质得到 G BEG  ，推出 EF AF 即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长 AD到G使DG AD ，连接BG， 在 ACD 与 GBD 中， CD BD ADC BDG AD DG       ，  SASACD GBD ≌ ， 13 CAD G  ， AC BG ， BE AC ， BE BG  ， G BEG  ， BEG AEF  ， AEF EAF   ． EF AF  ， AF CF BF AF    ，即2 8 2BF   ， 12BF  ， 故答案为：12． 2．（1）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 （2）C （3）见解释 【难度】0.65 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解 题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的性质即可． （2）依题意，与（1）同理，得出  SASABD CDE ≌ ，再利用“三角形任意两边之和大于 第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）先运用SAS证明 BDA CDF△ ≌△ ，再证明 ABC CFA ≌ ，即可作答． 【详解】解：（1）依据 1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS ”）； 依据 2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2）如图，延长 AD至点 E，使DE AD ，连接CE． 14  AD是 BC的中线，  BD CD ， 在 ABD△ 与 ECD 中， AD ED ADB EDC BD CD       ，   SASABD CDE ≌ ，  6AB EC  ， 在 ACE△ 中， AC CE AE AC CE    ， 即 2 8 6AD  8-6 ， 1 7AD  ． 故选：C． （3）证明：如图 4，延长 AD至 F，使 AD DF 连接CF，  D是 BC的中点， ∴BD CD ， 又 ADB CDF  ∴ BDA CDF△ ≌△  SAS ， 15  B DCF   ， AB CF ， ∵ 90BAC  ， ∴ 90B ACB   ，  90DCF ACB   ， 即 ACF BAC   ， 又∵ AC CA ， ∴ ABC CFA ≌  SAS ， ∴ AF BC ， ∴ 1 1 2 2 AD AF BC  ． 考点 7 截长补短模型 1．（1）见解析；（2） AB BC BD  ，见解析；（3） 2BC AB CE  ，见解析 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和 HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法 1：在 BC上截取 BM BA ，连接DM ，证明  SASABD MBD ≌ ，得出 A BMD  ， AD MD ，进而得出 C CMD   ，则DM DC ，等量代换即可得证； 方法2：延长 AB到N ，使BN BC ，连接DN，证明  SASNBD CBD ≌ ，得出 BND C   ，ND CD ，进而得出 BND NAD  ，则DN DA ，等量代换即可得证 （2） AB， BC，BD之间的数量关系为 AB BC BD  ．方法 1：在BD上截取BF AB ， 连接 AF ，由  1 知 180BAD BCD   ，得出 ABF△ ， ADC△ 为等边三角形，证明  SASABC AFD ≌ ，得出DF BC ，进而即可得证；方法2：延长CB到 P，使 BP BA ， 连接 AP，由  1 知 AD CD ，则 ADC△ ， ABP 是等边三角形，证明  SASPAC BAD ≌ ， 16 得出PC BD ，进而即可得证； （3）线段 AB、CE、BC之间的数量关系为 2BC AB CE  ，连接 BD，过点D作DF AB 于点F ，证明  AASDFA DEC ≌ ，Rt BDF ≌和  Rt HLBDE ，得出BF BE ，进而 即可得证． 【详解】解：（1）方法 1：在 BC上截取 BM BA ，连接DM ， BDQ 平分 ABC ， ABD CBD   ， 在 ABD△ 和 MBD 中， BD BD ABD MBD BA BM       ，  SASABD MBD ≌ ， A BMD  ， AD MD ， 180BMD CMD    ， 180C A   ， C CMD  ， DM DC  ， DA DC  ； 方法 2：延长 AB到N ，使 BN BC ，连接DN， 17 BDQ 平分 ABC ， NBD CBD ， 在 NBD 和 CBD△ 中， BD BD NBD CBD BN BC       ，  SASNBD CBD ≌ ， BND C  ，ND CD ， 180NAD BAD    ， 180C BAD   ， BND NAD ， DN DA  ， DA DC  ； （2） AB， BC，BD之间的数量关系为 AB BC BD  ． 方法 1：理由如下： 如图2，在BD上截取BF AB ，连接 AF ， 由（1）知 180BAD BCD   ， 180ABC DAC    ， 18 60DAC   ， 120ABC  ， 60ABD DBC   ， ABF 为等边三角形， AB AF BF   ， 60BAF  ， AD DC ， ADC 为等边三角形， AD AC∴ ， 60DAC  ， DAF BAC  ，  SASABC AFD ≌ ， DF BC  ， BD BF DF AB BC     ． 方法2：理由：延长CB到 P，使 BP BA ，连接 AP， 由（1）知 AD CD ， 60DAC   ， ADC 是等边三角形， AC AD  ， 60ADC  ， 180BCD BAD    ， 360 180 60 120ABC        ， 180 60PBA ABC     ， BP BA ， 19 ABP 为等边三角形， 60PAB  ， AB AP ， 60DAC   ， PAB BAC DAC BAC   ， 即 PAC BAD   ， 在 PAC 和 BAD 中， PA BA PAC BAD AC AD       ，  SASPAC BAD ≌ ， PC BD  ， PC BP BC AB BC    ， AB BC BD  ； （3）线段 AB、CE、 BC之间的数量关系为 2BC AB CE  ． 连接BD，过点D作DF AB 于点F ， 180BAD C    ， 180BAD FAD   ， FAD C   ， 在 DFA 和 DEC 中， DFA DEC FAD C DA DC         ，  AASDFA DEC ≌ ， DF DE  ， AF CE ， 20 在Rt BDF△ 和Rt BDE△ 中， BD BD DF DE    ，  Rt Rt HLBDF BDE  ≌ ， BF BE  ， 2BC BE CE BA AF CE BA CE       ， 2BC BA CE   ． 2．(1)正方形的四条边相等（或正方形的性质）；全等三角形的对应边相等（或全等三角形的 性质）． (2)见解析 (3)18 【难度】0.65 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性 质求解 【分析】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质， 熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）利用正方形的性质及全等三角形的性质，则可得出答案； （2）将 ADF△ 绕点A顺时针旋转120得到 ABG ，补全图形即可； （3）根据旋转的性质得到 ABG ADF ≌ ， 90ABM D    ， GAB FAD   ，AG AF ， GB DF ，推出G、 B、E三点共线，根据全等三角形的性质即可得到 EF DF BE  ，据 此求解即可． 【详解】（1）材料中的依据 1是指正方形的四条边相等（或正方形的性质）；依据 2是指全 等三角形的对应边相等（或全等三角形的性质） 故答案为：正方形的四条边相等（或正方形的性质）；全等三角形的对应边相等（或全等三角 形的性质）； （2）补全辅助线如图所示：将 ADF△ 绕点A顺时针旋转120得到 ABG ， 21 （3）将 ADF△ 绕点A顺时针旋转120得到 ABG ， ABG ADF ≌ ， 90ABG D   ， GAB FAD   ， AG AF ，GB DF ， 180GBE ABG ABE    ， G 、 B、E三点共线， 60EAF   ， 60GAE GAB BAE FAD BAE BAD EAF          ， GAE FAE   ， AE AE ， AG AF ， (SAS)GAE FAE ≌△ △ ， GE EF  ， EF GE GB BE DF BE      ， 五边形 ABEFD的周长 4 5 5 4 18(cm)AB BE EF DF AD AB EF EF AD              ， 故答案为：18． 考点 8 一线三垂直模型 1．（1）证明见解析；（2）EF BF AE  ；（3） 50 9 ；（4） 45 2 【难度】0.65 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等三角形综合问题、证一条线段等于两条 线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，借助前面的结论和思路是解决（4）的关键． 22 （1）根据题意可得 90AEF BFE   ，由等量代换证明 BCF EAC  ，证明  AASAEC CFB ≌ 可得 AE CF ，CE BF ，等量代换即可证明； （2）证明过程同（1）； （3）设 AE CF x  ，则 4BF CE x  ，先求出 x的值，根据三角形面积公式即可求解； （4）过点 B作BE CD 交DC的延长线于点 E，过点 F作 AF CD 于点 F，由（1）可得  AASBEC CFA ≌ ，BE CF ，CE AF ，证明 AFD△ 是等腰直角三角形，AF DF ， 求出 4AF  ，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得 AE EF ，BF EF ， ∴ 90AEF BFE   ， 90EAC ECA   ， ∵ 90ACB  ， ∴ 90ECA BCF   ， ∴ BCF EAC  ， 在 AEC△ 和 CFB 中， 90AEC BFC EAC BCF AC BC          ∴  AASAEC CFB ≌ ∴ AE CF ，CE BF ， ∴ EF CE CF AE BF    ； （2）EF BF AE  ， 证明：由题意可得 AE EF ，BF EF ， ∴ 90AEF BFE   ， 90EAC ECA   ， ∵ 90ACB  ， ∴ 90ECA BCF   ， ∴ BCF EAC  ， 23 在 AEC△ 和 CFB 中， 90AEC BFC EAC BCF AC BC          ∴  AASAEC CFB ≌ ∴ AE CF ，CE BF ， ∴ EF CE CF BF AE    ； （3）设 AE CF x  ，则 4BF CE x  ， ∴ 3EF BF AE x   ∵ 5EF  ， ∴ 5 3 x  ∴ 21 1 504 2 2 2 9BFC S CF BF x x x       ； （4）如图，过点 B作BE CD 交DC的延长线于点 E，过点 F作 AF CD 于点 F， 由（1）可得  AASBEC CFA ≌ ∴BE CF ，CE AF ， ∵ =45ADC ， AF CD ∴ AFD△ 是等腰直角三角形， ∴ AF DF ， ∵ ACD 面积为 18 ∴ 1 18 2 CD AF  24 ∴ 4AF  ， ∵CD的长为 9， ∴ 9 9 5BE CF DF AF      ， ∴ 1 45 2 2BCD S CD BE   2．（1）① (AAS)ABM BCN≌  ②9；（2）结论PE PC AE  ，理由见解析；（3）10 【难度】0.65 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等三角形综合问题 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关 键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中 (AAS)ABM BCN≌  ，利用两个三角形全等的性质，得到 2AM BN  ， 7BM CN  ，即可得到 9MN MB BN CN AM     ； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到 ABE BCP≌△△ ，利用两个三角形全等的性质， 得到 AE BP ，BE CP ，由图中BE BP PE  ，即可得到三者的数量关系； （3）延长FE，过点C作CP FE 于 P，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到 ABE BCP≌△△ ，从而 1PC BE  ， 5PB AE  ，则可求得PE，延长 AE，过点C作 CF AE 于F ，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得 4CF PE  ，代入面积公式得 ACES ，即可得到答案． 【详解】解：（1）① 90ABC   ， 90ABM CBN   ， ∵ AM DF ，CN DF ， 90AMB  ， 90CNB  ， 90ABM BAM    ， BAM CBN  ， 25 ∵ BAM CBN  ， 90AMB CNB    ， AB BC ， ∴ (AAS)ABM BCN≌  ； 故答案为： (AAS)ABM BCN≌  ②由①知 (AAS)ABM BCN≌  ， ,AM BN BM CN   ， ∵ 2AM  ， 7CN  ， ∴ 9MN MB BN CN AM     ； 故答案为：9； （2）结论：PE PC AE  ．理由如下： 90ABC   ， 90ABE CBE   ， CP BE ， 90CPB  ， 90BCP CBP    ABE BCP  ， 90AEB   ， 90AEB CPB   ， ∵ AB BC ， ∴ ABE BCP≌△△ ， AE BP  ，BE CP BE BP PE  ， PE BE BP PC AE     ； （3）延长FE，过点C作CP FE 于 P，如图所示： 26 90ABE EBC    ， 90ABE BAE   ， EBC BAE   ， 90AEB CPB    Q ， AB BC ， ∴ ABE BCP≌△△ ， 1PC BE   ， 5PB AE  ， 5 1 4PE PB BE      ， 延长 AE，过点C作CF AE 于F ，如图所示： AF PE CP PE  ， ， AF CP ∥ ， AF PE CF AF  ， ， PE CF ∥ ， 由平行线间的平行线段相等可得 4CF PE  ， 1 1 5 4 10 2 2ACE S AE CF      V ． 故答案为：10． 27 考点 9 对角互补模型 1．（1）60，100，15；（2） 190 2 y x  ，理由见详解；（3） 50ABCDS 四边形 【难度】0.4 【知识点】数字类规律探索、全等的性质和 SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）观察表格发现：x每增加 10，y减小 5，由此即可得出 、  、的值． （2）根据表格猜想： 190 2 y x  ．延长CB到 E， 使BE DC ，连接 AE，则可得 ABE ADE ≌ ，进而可得 AE AC ， EAB CAD   ，则可得 EAC x  ．在 AEC△ 中， 根据三角形内角和定理即可得出 y于 x之间的关系式． （3）延长CB到 E， 使BE DC ，连接 AE．由（2）得 ABE ADE ≌ ，则 ABE ADES S△ △ ， 进而可得 AECABCDS S 四边形 ．由 135x y  ， 190 2 y x  可得 90x  ， 45y  ．则可得 90EAC  ， 45AEC ACE   ，进而可得 10AE AC  ，可得 AECS 的值，即可得 ABCDS四边形 的值． 【详解】（1）观察表格发现：x每增加 10，y减小 5， 65 5 60    ， 80 2 10 100     ， 40 3 5 15     ． 故答案为：60，100，15， （2）根据表格猜想： 190 2 y x  ． 证明：如图 2， 延长CB到 E， 使BE DC ，连接 AE， 则 180ABC ABE   ， 又 180ABC D    ， 28 ABE D   ， 又 AB AD ， (SAS)ABE ADE△ ≌△ ， AE AC  ， EAB CAD   ， E ACB y    ， EAC EAB BAC   CAD BAC   BAD  x ． 在 AEC△ 中， 180EAC E ACE    ， 2 180x y    ， 190 2 y x  ． （3）如图， 延长CB到 E， 使BE DC ，连接 AE． 由（2）得 ABE ADE ≌ ， ABE ADES S   ， ACD ABC ABE ABC AECABCDS S S S S S         四边形 ， 135x y  ， 190 2 y x  ， 190 135 2 x x    ， 解得 90x  ， 45y  ， 90EAC  ， 45AEC ACE   ， 29 10AE AC   ， 1 10 10 50 2AEC S     ， 50ABCDS 四边形 ． 【点睛】本题考查了数字类探索规律问题，以及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定 理．熟练掌握以上知识，证明出 y与 x之间的关系式是解题的关键． 2．任务 1：见解析；任务 2：成立，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和 SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）证明 (SAS)GAE FAE ≌ 得EG EF ，进而可证 EF BE FD  ； （2）先证明 (SAS)△ ≌△ABM ADF 得 ,   AM AF BAM DAF，再证明 (SAS)MAE FAE△ ≌△ 得EF EM ，进而可得 EF BE FD  ． 【详解】解：任务 1：在 GAE 和 FAE 中， AG AF GAE FAE AE AE       ， 所以 (SAS)GAE FAE ≌ ， 所以EG EF ， 因为 EG BG BE BE DF    ， 所以 EF BE FD  ； 任务 2： EF BE FD  ．延长CB至 M，使 BM DF ，连接 AM ， 因为 180 , 180ABC D ABC ABM       ， 所以 ABM D  ， 在 ABM 和 ADF△ 中， AB AD ABM D BM DF       ， 所以 (SAS)△ ≌△ABM ADF ， 30 所以 ,   AM AF BAM DAF， 因为 1 2 EAF BAD   ， 所以 BAE DAF EAF    ， 所以 EAM BAE BAM BAE DAF EAF         ， 在 MAE 和 FAE 中， AM AF MAE FAE AE AE       ， 所以 (SAS)MAE FAE△ ≌△ ， 所以EF EM ， 因为 EM BM BE BE DF    ， 所以 EF BE FD  ． 考点 10 全等三角形的判定性质综合 1．(1)详见解析 (2)详见解析 【难度】0.4 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、全等的性质和 SAS综合（SAS）、全等的性 质和 ASA（AAS）综合（ASA或者 AAS）、三角形角平分线的定义 【分析】(1)先根据平行线的性质，得出 4 50A   ，由 85DCE  可得 2 35  ， 由 60B  可得 ACB ，进而即可得解； (2)先证明 ADF CEF ≌ ，得 2DE EF ，再证明 PQD EDC ≌ ，进而即可得解． 【详解】（1）证明：如图， 1 第四章 三角形 考点 1 三角形三边关系的应用 1．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A．3，5，8 B．1，3，6 C．3，4，5 D．4，4，9 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）在 ABC 中，若 3AB  、 5AC  ，且 BC的长度为整 数，则 ABC 的周长可能是（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 模块 章节重难点考察 考点 1.三角形三边关系的应用 考点 2.三角形三线的性质和应用 考点 3.三角形内角和的应用 考点 4.全等图形的性质应用 考点 5.添加条件证全等 考点 6.倍长中线模型 考点 7.截长补短模型 考点 8.一线三垂直模型 考点 9.对角互补模型 考点 10.全等三角形的判定性质综合 考点 11.全等三角形的存在性问题 考点 12.尺规作图综合—作三角形 章节重难点考察 模块导航 2 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知三角形的三边长为4 10x、 、 ，化简： | 5 | | 15 |x x    ． 考点 2 三角形三线的性质和应用 1．（22-23七年级下·贵州毕节·期末）如图，在 ABC 中，画出 AC边上的高（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）下列说法中正确的是（ ） A．三角形的角平分线都在三角形的内部 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的中线可能在三角形的外部 D．三角形的高线必交于一点 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，AD是 ABC 的角平分线，则 AD平分 ， 1  1 2  ，且点D在边 BC上． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图． 3 (1)在 ABC 中， AD BC ，垂足为D，则 AD是___________边上的高， ___________  ___________ 90 ； (2)若 AE平分 BAC ，交 BC于点E，则 AE叫___________， ___________  ___________ 1 2   ___________， AH 叫___________； (3)若 AF FC ，则 ABC 的中线是___________； (4)若 BG GH HF  ，则 AG是___________的中线， AH 是___________的中线． 考点 3 三角形内角和的应用 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）李老师在讲授“认识三角形”一课时，为验证“三角形 内角和等于180”这一定理，剪了一个三角形纸片，如图 1，将∠1撕下，按图 2方式进行摆 放，然后学生经过分析得到了该定理． 学习过尺规作图之后，小华同学想要借助无刻度的直尺和圆规作图代替撕纸，来证明“三角形 内角和等于180 ”这一定理，过程如下： 已知： 如图， ABC ． 求证： 180A B C    ． 证明：如图 3，以 AC为边，在其右侧用尺规作 ACD A   ． 延长 BC至点 E． ∵ ACD A   （ 已作） ∴ ∥ （ ） ∴ B  （ ） 又∵ ACD  ______ 180ACB  （平角的定义） ∴ 180A B ACB    （等量代换） 4 请你帮他完成作图（只保留作图痕迹，不写作法），并完善证明过程． 2．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）（1）【问题解决】如图 1，已知 30 155AB CD BEP CFP      ， ， ，求 EPF 的度数； （2）【问题迁移】如图 2，若 AB CD∥ ，点 P在 AB的上方，则 PFC PEA EPF  ， ， 之 间有何数量关系?并说明理由； （3）【联想拓展】如图 3，在（2）的条件下，已知 EPF PEA  ， 的平分线和 PFC 的 平分线交于点 G，求 G 的度数（结果用含α的式子表示）． 考点 4 全等图形的性质应用 1．（23-24七年级下·福建宁德·期末）如图， , 30 , 80ABE FDC FCD A     △ ≌△ ，则 ABE 的度数是 ． 5 2．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图， ABC ADE△ △≌ ，BC的延长线交 AD于点 F， 交DE于点 G．若 28D  ， 115 50E DAC     ， ，则 DGB 的度数为 ． 3．（22-23七年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，已知 ABC AEF≌△ △ ， 25EAB  ， 57F  ， BC交 AF 于点 M，EF交 AB于点 P． (1)试说明： EAB FAC   ； (2) ABC 可以经过某种变换得到 AEF△ ，请你描述这个变换； (3)求 AMB 的度数． 考点 5 添加条件证全等 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，点 B，F，C，E在同一条直线上，并且 B E   ， A D  ，当 AB  时， ABC DEF≌△△ ． 6 2．（20-21七年级上·山东东营·期末）如图，已知 AB＝AD，∠1＝∠2，要根据“ASA”使 △ABC≌△ADE，还需添加的条件是 ． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端 A，B 的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达 A，B的点 C，再连接 AC，BC，并分别延长 AC至 D， BC至 E，使DC AC ， EC BC ，最后测出DE的长即为 A，B的距离． 乙：如图②，先过点 B作 AB的垂线 BF，再在 BF上取 C，D两点，使_____，接着过点 D作 BD的垂线DE，交 AC的延长线于点 E，则测出DE的长即为 A，B的距离． 丙：如图③，过点 B作BD AB ，再由点 D观测，在 AB的延长线上取一点 C，使_____， 这时只要测出 BC的长即为 A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙： ；丙： ． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 7 考点 6 倍长中线模型 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图， ABC 中，D为 BC的中点，E是 AD上一点， 连接 BE并延长交 AC于F ．若BE AC ， 2AF  ， 8CF ，那么 BF的长度为 ． 2．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图 1，已知 ABC 中， AD是 BC边上的中线．求证： 2AB AC AD ＞ 智慧小组的证法如下： 证明：如图 2，延长 AD至 E，使DE AD ， ∵ AD是 BC边上的中线， ∴BD CD ， 在 BDE 和 CDA 中， BD CD BDE CDA DE DA       ， ∴ BDE CDA△ ≌△ （依据 1）， ∴ BE CA ， 在 ABE 中， AB BE AE  （依据 2）， ∴ 2AB AC AD  ． 8 （1）任务一：上述证明过程中的“依据 1”和“依据 2”分别是指： 依据 1： ；依据 2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线 AD，使DE AD ，构造了一对全等三角形，将 AB，AC，AD转 化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构 造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图 3， 6AB  ， 8AC  ，则 AD的取值范围是 ； A．6 8AD  ； B． 6 8AD  ； C． 1 7AD  （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图 4，Rt ABC 中， 90BAC  ，D为 BC中点，求证： 1 2 AD BC ． 考点 7 截长补短模型 1．（21-22八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图 1，在四边形 ABCD中， 对角线BD平分 ABC ， 180A C   ．求证：DA DC ． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法 1：在 BC上截取 BM BA ，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题； 9 方法 2：延长BA到点 N ，使得BN BC ，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图 1，在方法 1和方法 2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图 2，在（1）的条件下，连接 AC，当 60DAC  时，探究线段 AB，BC， BD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图 3，在四边形 ABCD中， 180A C   ，DA DC ，过点D作DE BC ， 垂足为点E，请写出线段 AB、CE、 BC之间的数量关系． 2．（23-24八年级下·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务． 神奇的“半角模型” 初中数学中存在一些常见的模型，“半角模型”就是其中之一，“截长补短”法是解决这类问 题的一种常用方法． 例题：如图，在正方形 ABCD中，点 E，F分别在边 BC CD， 上，且 45EAF  ． 求证： EF BE DF  ． 证明：如图，延长EB至点 G，使得BG DF ． 10 四边形 ABCD是正方形， AD AB  （依据 1）， 90ABC D DAB    ． 180ABG ABC     ， 90ABG D    ，  SASABG ADF ≌ ， AG AF  （依据 2）， BAG DAF  ． 90DAB   ， 45EAF  ， 45BAE DAF   ， 45BAG BAE   ，即 45EAG  ， 45EAG EAF    ． AE AE ， AG AF ，  SASGAE FAE ≌ ， EF GE BG BE BE DF     ． 拓展：如图，在四边形 ABCD中， 4cmAB AD  ， 90B D    ， 120BAD  ，E，F分别是边 BC CD， 上的点，且 60EAF  ， 5cmEF  ． 求五边形 ABEFD的周长． 11 任务： (1)材料中的依据 1是指________________，依据 2是指________________． (2)根据例题中的方法，补全材料“拓展”中的辅助线． (3)在材料“拓展”中，五边形 ABEFD的周长为________cm． 考点 8 一线三垂直模型 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图 1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角 形全等模型图（如图 2、图 3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图 2，已知， ABC 中，CA CB ， 90ACB  ，一直线过顶点 C，过 A，B分别作 其垂线，垂足分别为 E，F．求证：EF AE BF  ； （2）如图 3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出EF，AE，BF之间的 数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若 4BF AE， 5EF  ，则 BFC△ 的面积为 ． （4）如图 4，四边形 ABCD中， 45ABC CAB ADC     ， ACD 面积为 18且CD的 长为 9，则 BCD△ 的面积为 ． 12 2．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步 探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在 ABC 中， 90ABC  ，AB CB ； DEF 中， 90DEF  ， 30EDF  ），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图 1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点 B摆放在线段DF上时， 过点A作 AM DF ，垂足为点M ，过点C作CN DF ，垂足为点N ， ①请在图 1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； 90ABC   ， 90ABM CBN   ， ∵ AM DF ，CN DF ， 90AMB  ， 90CNB  ， 90ABM BAM    ， BAM CBN  ， ∵ BAM CBN  90AMB CNB    AB BC ， __________； ② 2AM  ， 7CN  ，则MN  __________； 【类比】（2）如图 2，将两个三角板叠放在一起，当顶点 B在线段DE上且顶点 A在线段 EF 上时，过点C作CP DE ，垂足为点 P，猜想 AE， PE，CP的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图 3，将两个三角板叠放在一起，当顶点 A在线段DE上且顶点 B在线段 EF 上时，若 5AE  ， 1BE  ，连接 CE，则 ACE△ 的面积为__________． 13 考点 9 对角互补模型 1．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）问题提出： 如图 1，在四边形 ABCD中， BAD 与 BCD 互补， B 与 D 互补， AB AD ， BAD x    0 180x  ， ACB y  ， 数学兴趣小组在探究 y与 x的数量关系时， 经 历了如下过程： 实验操作： （1）数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示： x … 30 40 50 60 70 80 β 130 y 75 70 65 α 55 50 40 θ 这里α= ， β= ， θ= ． 猜想证明： （2）根据表格，猜想：y与 x之间的关系式为 ；数学兴趣小组发现证明此 猜想的一种方法： 如图 2， 延长CB到 E， 使BE DC ，连接 AE， …， 请你根据其思路 将证明过程补充完整，并验证 （1）中结论的正确性． 应用拓广： （3） 如图 3， 若 135x y  ， 10AC  ， 求四边形 ABCD的面积． 14 2．（24-25七年级下·全国·课后作业） 阅读 材料 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决 一般性的问题，这就是特殊化策略． 活动 主题 根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下 探究． 问题 背景 如图，在四边形 ABCD中， , 180 , ,AB AD B D E F     分别是边 ,BC CD上的点， 且 1 2 EAF BAD   ．请探究线段 , ,EF BE FD之间的数量关系． 特殊 情形 任务 1：如图 1，当 90B D    时，其他条件不变，请探究线段 , ,EF BE FD之间的 数量关系． 下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整． 解：延长EB到点 G，使得BG DF ，连接 AG． 在 ABG 和 ADF△ 中， 90 AB AD ABG ADF BG DF         ， 所以  SASABG ADF ≌ ，所以 ,AG AF BAG DAF    ， 所以 BAG BAE DAF BAE     ． 因为 1 2 EMF BAD   ，所以 GAE EAF   ． …… 15 一般 性问 题 任务 2：小梦同学发现在如图 2所示的四边形 ABCD中，若 , 180 , ,AB AD B D E F     分别是边 ,BC CD上的点， 1 2 EAF BAD   ，则任务 1中的结论仍然是成立的，请你写出结论并完成说明过程． 考点 10 全等三角形的判定性质综合 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）【问题背景】 如图，在 ABC 中，点D是 AB边上的一点，CE AB ，连接CD、DE，DE交 AC于点F ． 【问题探究】 (1)如图 1，若 50 , 60 , 85A B DCE        ，试说明CD平分 ACB ； (2)如图 2，若点 F 为 AC的中点，作DP DA ，DQ DC 且DP DA ，DQ DC ，连接 PQ， 试说明 2PQ DF ． 16 2．（23-24七年级下·广东清远·期末）如图， AD与 BC相交于点 , ,O AO DO BO CO  ． (1)求证： B C  ； (2)如图 2，过点 O作 EF交 AB于 E，交CD于 F，求证：OE OF ； (3)如图 3，若 8cmAB  ，点 E从点 A出发，沿 A B A  方向以3cm/s的速度运动，点 F 从点 C出发，沿C D 方向以1cm/s的速度运动，E F、 两点同时出发．当点 E到达点 A时， E F、 两点同时停止运动，设点 E的运动时间为 (s)t ．连接EF，当线段EF恰好经过点 O时， 求出 t的值． 考点 11 全等三角形的存在性问题 1．（23-24七年级下·四川雅安·期末）如图， 9AB  厘米， CAB DBA  ， 7AC BD  厘米，点 P在线段 AB上以 2厘米/秒的速度由点 A向点 B运动，同时，点 Q在线段BD上由 点 B向点 D运动，它们运动的时间为 t（秒）．设点 Q的运动速度为 v厘米/秒，如果 ACP△ 与 BPQ 全等，那么 v的值为（ ） A．2 B．3 C．2或 28 9 D．1或 3 17 2．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 在长方形 ABCD中， 12AB  厘米， 16AD  厘 米，点 E为 AD中点，已知点 P在线段 AB上以 2厘米/秒的速度由点 A向点 B运动，同时点 Q在线段 BC上由点 C向点 B运动，如果 AEP△ 与 BPQ 恰好全等，那么点 Q的运动速度是 厘米/秒． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在长方形 ABCD中， 12cm, 20cmAB CD BC   ，点 P从点 B出发，以2cm / s的速度沿 BC向点C运动(到点C 停止运动)，设点 P的运动时间为 t秒： (1)PC = ___________cm．（用含有 t的代数式表示） (2)当 t为何值时， ABP DCP ≌ ？ (3)当点 P从点 B开始运动，同时，点Q从点C出发（到点D停止运动），以 cm / sx 的速度沿 CD向点D运动，是否存在这样 x的值，使得 ABP 与 PQC△ 全等？若存在，请求出 x的值； 若不存在，请说明理由． 18 考点 12 尺规作图综合—作三角形 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到 COD C O D  △ ≌△ 的依据是（ ） A．SAA B．ASA C．SSS D．AAS 2．（23-24七年级下·重庆·期末）根据下列已知条件，画出的 ABC 不唯一的是（ ） A． 2cmAB  ， 3cmBC  ， 4cmAC  B． 60C  ， 45B  ， 4cmBC  C． 90C  ， 3cmAC  ， 5cmAB  D． 30C  ， 8cmBC  ， 6cmAB  3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：如图，线段 a和  ． 求作： ABC ，使 ,AB AC a A      ． （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和理由）