第四章 三角形【期末复习讲义】基础版-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2025-2026学年北师大版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第四章 三角形【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+19个题型讲练+真题实战练 共48题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 与平行线有关的三角形内角和问题 题型二 直角三角形的两个锐角互余 题型三 构成三角形的条件 题型四 确定第三边的取值范围 题型五 三角形三边关系的应用 题型六 与三角形的高有关的计算问题 题型七 利用网格求三角形面积 题型八 全等的性质和SSS综合(SSS) 题型九 尺规作图——作三角形 题型十 全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 题型十一 全等的性质和SAS综合(SAS) 题型十二 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合) 题型十三 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 题型十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 题型十五 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 题型十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题） 题型十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 题型十八 其他模型(全等三角形的辅助线问题） 题型十九 全等三角形综合问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点二 三角形的分类 知识点三 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点四 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点五 三角形的重要线段 知识点六 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点七 直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点八 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点九 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点十 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点十一 判定全等三角形 1.边边边（SSS） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.（边角边SAS） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.（角边角ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4.（角角边AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. （直角边、斜边HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为____________. 题型讲练二 直角三角形的两个锐角互余 【例2】（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，直线，直线分别交于点E、F，点G是直线上一点，于H． (1)若． ①求的度数； ②求的度数； (2)若，则下列说法中，正确的是________． A．；B．；C．；D．． 【变式】（24-25七年级下·湖北·月考）如图，已知直线，，垂足为B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型讲练三 构成三角形的条件 【例3】（25-26七年级下·重庆·月考）下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（   ） A．3，5，9 B．8，10，10 C．4，8，12 D．5，6，13 【变式】（25-26七年级下·陕西·期中）一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为______． 题型讲练四 确定第三边的取值范围 【例4】（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知a，b，c是三角形的三边，其中，，则c的取值范围是______． 【变式】（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（　　） A． B． C． D． 题型讲练五 三角形三边关系的应用 【例5】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，在中，，将平移6个单位长度得到，M是的中点，则的最大值为______． 【变式】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知三条线段的长分别为、、，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么的取值可以是（    ） A． B． C． D． 题型讲练六 与三角形的高有关的计算问题 【例6】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，P为边上一动点（不与A，B重合），于E，于F，连接，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的大小 C．的周长 D．的面积 【变式】（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知是的高，，，则的度数为_______． 题型讲练七 利用网格求三角形面积 【例7】（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，点在格点上． (1)过点画的垂线； (2)过点画的平行线； (3)此方格纸中，有不同于点的格点，使的面积与的面积相等，标出满足条件的格点． 【变式】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的面积是________． 题型讲练八 全等的性质和SSS综合(SSS) 【例8】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，若，则的度数为______． 【变式】（25-26七年级下·陕西渭南·月考）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 题型讲练九 尺规作图——作三角形 【例9】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图a，b和，用尺规作，使，，．用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【变式】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，，．利用圆规与无刻度直尺作三角形，使得，且满足．（不写过程和证明，保留作图痕迹） 题型讲练十 全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 【例10】（25-26七年级下·上海·期中）如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【变式】（25-26七年级下·山东济南·期中）为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度：将旗杆顶部处的绳子拉直至地面点，使，两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在处放置直角三角板，让直角顶点与点重合，边与绳子重合．随后小明后退，当看到点共线时（即共线），停在点． (1)小明认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． (2)若米，米，求旗杆高度． 题型讲练十一 全等的性质和SAS综合(SAS) 【例11】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上．给出以下三组条件：①，，；②，，；③，，．请你选用其中一组可以证明的条件进行证明． 【变式】（2026·江苏宿迁·二模）已知：如图，，．求证：． 题型讲练十二 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合) 【例12】（24-25七年级下·四川成都·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（   ） A．，， B．，， C．， D．， 【变式】（25-26七年级下·江苏·期末）全等三角形的判定是几何证明的基础，下列各组条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 题型讲练十三 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 【例13】（24-25七年级下·四川成都·期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·广东深圳·期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 对这两种画法的描述中正确的是（ ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 题型讲练十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 【例14】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°．      【变式】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． 题型讲练十五 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 【例15】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）选择：由已知和作图能得到的理由是（   ） A．    B．   C．   D． （2）填空：求得的取值范围是__________． 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：，，是的中线，求证：． 题型讲练十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题） 【例16】（24-25七年级下·陕西延安·期末）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由. 【变式】（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 题型讲练十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 【例17】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    【变式】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 题型讲练十八 其他模型(全等三角形的辅助线问题） 【例18】（2024七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【变式】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 题型讲练十九 全等三角形综合问题 【例19】（24-25七年级下·山西·期末）如图1，已知，D为的平分线上一点，连接；如图2，已知，D，E为的平分线上两点，连接；如图3，已知，D，E，F为的平分线上三点，连接；…，依此规律，第n个图形中全等三角形有（   ）对 A．n B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·安徽淮南·月考）如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为______； （2）当点在点右侧时，的值为______． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·上海·期中）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，，，，交于点，补充下列（   ）条件，无法得到． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆南岸·期中）如图，，且，连接，分别过点，向作垂线，垂足分别为点，．若，，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，在中，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为______． 5．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，能证明的是________． 6．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，小明首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为________．    7．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 8．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知，和线段，求作，使，，．（保留作图痕迹，无需说明作图步骤） 9．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，点D为边的中点，交于点E．点F为线段上一点，连接，，将线段绕点A逆时针旋转至，连接． (1)求证：； (2)若，． ①如图2，连接交于H，当与的面积之比是，求的值； ②如图3，延长交于点M，当时，试求出的度数及的面积（注意：面积用含a，b的代数式表示）． 10．（25-26七年级下·重庆·期中）解答下列问题： (1)如图1，在中，点在线段上，且与的面积相等．已知，并且的长度是一个正整数．过点作，与的延长线交于点．请求出线段的长度． (2)如图2，在四边形中，与均为等腰直角三角形，其中，且．判断与的面积是否相等，并写出推理过程． (3)在（2）的条件下，已知，并且的面积为．如图3，现计划架设一条笔直的输水管道，点在边上，且的延长线经过线段的中点．若管道的造价为每米300元，求架设该管道的总造价． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第四章 三角形【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+19个题型讲练+真题实战练 共48题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 与平行线有关的三角形内角和问题 题型二 直角三角形的两个锐角互余 题型三 构成三角形的条件 题型四 确定第三边的取值范围 题型五 三角形三边关系的应用 题型六 与三角形的高有关的计算问题 题型七 利用网格求三角形面积 题型八 全等的性质和SSS综合(SSS) 题型九 尺规作图——作三角形 题型十 全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 题型十一 全等的性质和SAS综合(SAS) 题型十二 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合) 题型十三 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 题型十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 题型十五 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 题型十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题） 题型十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 题型十八 其他模型(全等三角形的辅助线问题） 题型十九 全等三角形综合问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点二 三角形的分类 知识点三 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点四 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点五 三角形的重要线段 知识点六 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点七 直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点八 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点九 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点十 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点十一 判定全等三角形 1.边边边（SSS） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.（边角边SAS） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.（角边角ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4.（角角边AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. （直角边、斜边HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，先由平行性质得到，再由邻补角定义及三角形内角和得到即可确定答案，数形结合，准确表示出各个角度是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为____________. 【答案】58° 【分析】本题主要考查对垂线，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出的度数是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 故答案为：58°． 题型讲练二 直角三角形的两个锐角互余 【例2】（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，直线，直线分别交于点E、F，点G是直线上一点，于H． (1)若． ①求的度数； ②求的度数； (2)若，则下列说法中，正确的是________． A．；B．；C．；D．． 【答案】(1)①② (2)A、D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． （1）①由垂直的定义得到，根据直角三角形的两锐角互余即可得解；②由①得，由邻补角的定义得到，最后根据平行线的性质即可得解； （2）根据平行线的性质、直角三角形的两锐角互余及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：①， ∴， 又∵， ∴； ②由①知，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，故A正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故D正确，符合题意； 故选：A，D． 【变式】（24-25七年级下·湖北·月考）如图，已知直线，，垂足为B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，由平行线的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 题型讲练三 构成三角形的条件 【例3】（25-26七年级下·重庆·月考）下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（   ） A．3，5，9 B．8，10，10 C．4，8，12 D．5，6，13 【答案】B 【分析】找出每组中的最大边，验证最大边是否小于另外两边之和即可判断能否构成三角形． 【详解】解：选项A，最大边为9，，不能构成三角形； 选项B，最大边为10，，满足三边关系，能构成三角形； 选项C，最大边为12，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项D，最大边为13，，不能构成三角形． 【变式】（25-26七年级下·陕西·期中）一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为______． 【答案】15或18 【分析】分两种情况讨论腰长的取值，再根据三角形三边关系验证能否组成三角形，最后计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论∶ 情况一∶若腰长为，则底边长为，此时三角形三边长分别为、、． ∵，，满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时周长为． 情况二∶若腰长为，则底边长为，此时三角形三边长分别为、、． ∵，，满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时周长为． 题型讲练四 确定第三边的取值范围 【例4】（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知a，b，c是三角形的三边，其中，，则c的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系求解，三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，代入已知的值即可得到的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系可知，第三边满足， 将，代入得，即． 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系定理，先求出第三边的取值范围，再匹配选项得到答案，用到的知识点：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：∵三角形三边满足：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，已知 ， ∴ 即 化简得 观察选项，只有在此范围内， 故选C． 题型讲练五 三角形三边关系的应用 【例5】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，在中，，将平移6个单位长度得到，M是的中点，则的最大值为______． 【答案】10 【分析】如图，连接，根据题意得到，，然后根据三角形三边关系求解． 【详解】解：如图，连接， 由平移得， 因为点M是的中点， 所以， 因为 所以当点A在上时，取得最大值，即的长度， 因为 所以的最大值为10． 【变式】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知三条线段的长分别为、、，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据构成三角形的三边关系求出的取值范围，判断选项中的数据是否满足范围即可得出答案． 【详解】解：∵ 三条线段能围成三角形， ∴ ， ∴ ， 则四个选项中，只有符合取值范围． 题型讲练六 与三角形的高有关的计算问题 【例6】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，P为边上一动点（不与A，B重合），于E，于F，连接，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的大小 C．的周长 D．的面积 【答案】B 【分析】过B作，与的延长线交于D，连接，利用等积法即可得出结论． 【详解】解：过B作，与的延长线交于D，连接， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴的大小为定值．其余选项均不能得到是定值. 【变式】（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知是的高，，，则的度数为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当高在内时，根据计算，当高在外时，根据计算． 【详解】解：当高在内时， ， ； 当高在外时， ， ． 题型讲练七 利用网格求三角形面积 【例7】（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，点在格点上． (1)过点画的垂线； (2)过点画的平行线； (3)此方格纸中，有不同于点的格点，使的面积与的面积相等，标出满足条件的格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画垂线、平行线、三角形面积等知识点． （1）根据题意结合网格特征即可作出垂线； （2）根据题意结合网格特征即可作出平行线； （3）根据是直角三角形，且，直角边分别是和找到符合条件的点． 【详解】（1）解：如图，即为所求垂线； （2）解：如图，即为所求平行线； （3）解：如图，，即为所求点； 【变式】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的面积是________． 【答案】5 【分析】本题考查了方格中图形面积的计算，掌握用总面积减去空白部分面积求目标图形面积是解题的关键． 先算出整个方格纸的面积，再直接计算正方形周围空白部分的面积，用总面积减去空白面积，就能得到正方形的面积． 【详解】解：方格纸总面积是 ： 观察图形，正方形周围有个直角三角形，每个三角形的两条直角边分别是和， 单个三角形面积，个三角形的总面积是： 正方形面积方格纸总面积空白面积是：． 故答案为：． 题型讲练八 全等的性质和SSS综合(SSS) 【例8】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，若，则的度数为______． 【答案】/26度 【分析】连接，结合作图过程证明，再利用全等三角形性质分析求解，即可解题． 【详解】解：连接， 由作图过程可知，， 又， ， ， ． 【变式】（25-26七年级下·陕西渭南·月考）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，再利用“”证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， ，即． 在和中， ． ． 题型讲练九 尺规作图——作三角形 【例9】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图a，b和，用尺规作，使，，．用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见详解 【分析】先作出，然后在边上截取得到点，在边上截取得到点，连接，即可得到符合要求的图形． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【变式】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，，．利用圆规与无刻度直尺作三角形，使得，且满足．（不写过程和证明，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查尺规作三角形，熟练掌握尺规作角等于已知角、作线段等于已知线段是解题的关键． 先作， 在射线上截取， 在射线上截取，再连接即可． 【详解】解：如图，三角形即为所求． 题型讲练十 全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 【例10】（25-26七年级下·上海·期中）如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用可证； （2）根据全等三角形的性质可证，，根据可知． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ； （2）解：， ，， ， ． 【变式】（25-26七年级下·山东济南·期中）为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度：将旗杆顶部处的绳子拉直至地面点，使，两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在处放置直角三角板，让直角顶点与点重合，边与绳子重合．随后小明后退，当看到点共线时（即共线），停在点． (1)小明认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． (2)若米，米，求旗杆高度． 【答案】(1)认同，理由见解析 (2)米 【分析】（1）利用全等三角形判定定理证明和全等，进而判断线段相等． （2）因为已知、的长度，且，可求的长度，且由第（1）问的结论可知，即可得解． 【详解】（1）认同小明的观点，理由如下： 由题意可知： ，，，， ，，， ． 在和中， ， ， ， 因此认同小明的观点． （2）∵， ∴米， 又∵米， 米， 由（1）已证， 米． 题型讲练十一 全等的性质和SAS综合(SAS) 【例11】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上．给出以下三组条件：①，，；②，，；③，，．请你选用其中一组可以证明的条件进行证明． 【答案】见详解 【分析】若选①利用证得，进而可证；若选②利用证得，进而可证；若选③，无法证明，进而不能证明． 【详解】解：若选①，证明如下： ， ， ， 又， ， ； 若选②，证明如下： ， ， ， ， ， 又， ， ； 若选③，则无法证明，进而无法证明． 【变式】（2026·江苏宿迁·二模）已知：如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据证明，得，进而可得结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 题型讲练十二 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合) 【例12】（24-25七年级下·四川成都·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（   ） A．，， B．，， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查三角形唯一性的判断，当已知条件符合全等三角形的判定定理（，，，，）时，能画出唯一的三角形，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、已知两边及其中一边的对角，即，不符合全等三角形的判定，不能画出唯一，故本选项错误； B、已知，，夹边，符合全等三角形判定，因此能画出唯一，故本选项正确； C、仅已知一个角和一条边，条件不足，不能画出唯一三角形，故本选项错误； D、仅已知一条边和一个角，条件不足，不能画出唯一三角形，故本选项错误． 【变式】（25-26七年级下·江苏·期末）全等三角形的判定是几何证明的基础，下列各组条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别判断即可． 【详解】解：A、，，，三边对应相等，∴ ． B、，，，两角及其夹边对应相等，∴ ． C、，，，两边及其中一边的对角相等，属于，不能判定全等． D、，，，两角及其中一角的对边相等，∴ ． ∴ 不能判定全等的是C． 故选：C． 题型讲练十三 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 【例13】（24-25七年级下·四川成都·期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作如下标识， 根据作法可知，，， ∴ ， ∴， 则画出的依据是， 【变式】（24-25七年级下·广东深圳·期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 对这两种画法的描述中正确的是（ ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，可判定选项B、D，结合全等三角形的判定方法可判定选项A、D． 【详解】解：由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 故选：A． 题型讲练十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 【例14】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°．      【答案】135 【分析】先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：135． 【变式】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． 【答案】 【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 题型讲练十五 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 【例15】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握是解题的关键． 延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】解： 延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，在中，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）选择：由已知和作图能得到的理由是（   ） A．    B．   C．   D． （2）填空：求得的取值范围是__________． 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：，，是的中线，求证：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点， （1）由证明，即可求解； （2）在中，，即，即可求解； （3）证明、，得到，即可求解； 熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）解：是中线， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由知，， 在中， ， ， ， 故答案为：； （3）证明：延长到，使，连接，如图所示， 是中线， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 在与中 ， ， ， . 题型讲练十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题） 【例16】（24-25七年级下·陕西延安·期末）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）结论不成立，应当是理由见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，由全等三角形的判定和性质得出，，，继续利用全等三角形的判定得出，结合图形及题意即可证明； （2）在上截取，使，连接，结合图形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）证明：如图①，延长到点，使，连接. 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：结论不成立，应当是， 理由：如图②，在上截取，使，连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式】（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=， 由旋转得≌， ∴∠FAB=∠EAD， ∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴∠FAE=∠BAD=， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 题型讲练十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 【例17】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    【答案】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可． （2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型讲练十八 其他模型(全等三角形的辅助线问题） 【例18】（2024七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【答案】见解析 【分析】法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME， 在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）, ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG， 同理可证得△ABM≌△AGM（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 【变式】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【答案】(1)画图见解析 (2)小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【分析】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成数学问题，并应用相关知识解决． （1）依据题意即可画出示意图； （2）由题意可得，得，即可求得的长． 【详解】（1）解：示意图如图所示．     （2）解：40米，理由如下： 在和中， ， ， ， 又小淇走了140步，为步， ∴为步，一步大约50厘米即米， （米）． 答：小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 题型讲练十九 全等三角形综合问题 【例19】（24-25七年级下·山西·期末）如图1，已知，D为的平分线上一点，连接；如图2，已知，D，E为的平分线上两点，连接；如图3，已知，D，E，F为的平分线上三点，连接；…，依此规律，第n个图形中全等三角形有（   ）对 A．n B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，图形规律，根据全等三角形的判定得到全等三角形的数量，找出规律即可求解． 【详解】解：图1中，， ∴，共有1对，即； ∴，，则， 图2中，同理，， ∵， ∴， ∵， ∴，共3对，即， 同理，图3中，，，，共有对，即 ， ∴第n个图形中全等三角形有对， 故选：C ． 【变式】（25-26七年级下·安徽淮南·月考）如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为______； （2）当点在点右侧时，的值为______． 【答案】 3 7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置． （1）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当点在点左侧时，即点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：3； （2）当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·上海·期中）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理，若给出条件符合全等三角形判定，则三角形形状大小可完全确定，反之无法确定，其中（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形． 【详解】解：全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，全等判定定理包括，，，，，但不能判定三角形全等，无法确定唯一三角形， 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，属于，可画出两个形状不同的三角形，不能完全确定三角形的形状和大小，符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意． 2．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，，，，交于点，补充下列（   ）条件，无法得到． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理，结合已知条件和公共边，逐一分析各选项即可得出结论； 【详解】解：，， ， 在和中，已知公共边， 选项 A、若，利用可证，不符合题意； 选项 B、若，利用可证，不符合题意； 选项 D、若，利用可证，不符合题意； 选项 C、与 为对顶角，始终相等，无法得到边或角的相等关系，不能判定，符合题意． 3．（24-25七年级下·重庆南岸·期中）如图，，且，连接，分别过点，向作垂线，垂足分别为点，．若，，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据，，求出，再证明，得出，最后根据即可求解． 【详解】如图，与的交点为点，与的交点为点， ∵，，， ∴， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，在中，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先作，再根据面积相等求出．然后根据“垂线段最短”，可知点P与点D重合时，最小，则此题可解． 【详解】解：在中，，为边上的高，且，如图所示，过点C作于点D， ∴， ∴， 解得． 根据“垂线段最短”，可知点P与点D重合时，最小， 即的最小值为． 5．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，能证明的是________． 【答案】（答案不唯一，填或亦可） 【分析】根据角平分线的定义可得，结合图形中的公共边，根据全等三角形的判定定理、或添加相应的条件即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵在和中，， 若添加， ∴； 若添加， ∴； 若添加， ∴． 6．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，小明首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为________．    【答案】 【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，发现，结合已知直角和边长相等，利用证明 ，从而得出，最后利用线段的和差关系求解. 【详解】解：∵， 在中，， 即， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 【答案】4 【分析】连接，利用，结合，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 则， ， ， 又∵，，即， ． 8．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知，和线段，求作，使，，．（保留作图痕迹，无需说明作图步骤） 【答案】见解析． 【分析】先画射线，在上截取，依次作角， ， ，交于点，则，所以即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 9．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，点D为边的中点，交于点E．点F为线段上一点，连接，，将线段绕点A逆时针旋转至，连接． (1)求证：； (2)若，． ①如图2，连接交于H，当与的面积之比是，求的值； ②如图3，延长交于点M，当时，试求出的度数及的面积（注意：面积用含a，b的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，的面积为 【分析】（1）连接，由旋转可得，，再由在中，，可得，可得，即可证明结论； （2）①连接，过点作于点，作于点，过点作于点，由与的面积之比是，可得，由（1）可知，则，由点D为边的中点，可证明点E为边的中点，则，，可得，即可得结论； ②连接，先证明，可得，，可得，再证明，可得，从而得，即可求得的面积，再证明，可得，从而可得的度数． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵将线段绕点A逆时针旋转至， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）解：①如图，连接，过点作于点，作于点，过点作于点， ∵与的面积之比是， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，点D为边的中点， ∴， ∴点E为边的中点， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②如图，连接， ∵将线段绕点A逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵点D为边的中点，点E为边的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由①可知，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵将线段绕点A逆时针旋转至， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26七年级下·重庆·期中）解答下列问题： (1)如图1，在中，点在线段上，且与的面积相等．已知，并且的长度是一个正整数．过点作，与的延长线交于点．请求出线段的长度． (2)如图2，在四边形中，与均为等腰直角三角形，其中，且．判断与的面积是否相等，并写出推理过程． (3)在（2）的条件下，已知，并且的面积为．如图3，现计划架设一条笔直的输水管道，点在边上，且的延长线经过线段的中点．若管道的造价为每米300元，求架设该管道的总造价． 【答案】(1)6 (2)与的面积相等，推理过程见解析 (3)18000元 【分析】（1）根据与的面积相等，可得，则可证明，得到，根据三角形三边的关系确定的取值范围，进而确定的值即可得到答案； （2）取的中点O，过点B作，交的延长线于点F，同理可证明，则，证明，得到，则可证明； （3）过点作，交的延长线于，证明，得到，则可证明，证明，得到，则可证明．由（2）得与的面积相等，根据三角形的面积公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵与的面积相等， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∵的长度是一个正整数， ∴， ∴； （2）解：与的面积相等，推理过程如下： 如图所示，取的中点O，过点B作，交的延长线于点F， 同理可证明， ∴， ∵， ∴ ∵与均为等腰直角三角形，其中， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：过点作，交的延长线于， ∴， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ， ， ． 由（2）得：与的面积相等， ， 又∵， ， ∴架设该管道的总造价为元． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $