6.1空间向量及其运算（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

6.1空间向量及其运算 题型一 空间向量的概念 1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（    ） ①任一向量与它的相反向量都不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若，则； ⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可． 【详解】零向量与它的相反向量相等，①错； 由相等向量的定义知，②正确； 两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四边形中，，且，但，故③错； ，可能两个向量模相等而方向不同，④错； 两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错． 故选：B． 【点睛】本题考查向量共线的定义、向量相等的定义及它们之间的关系，考查共线向量、向量的模等概念，属于基础题． 2．下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若为相反向量，则 C．零向量是没有方向的向量 D．若是两个单位向量，则 【答案】B 【分析】根据零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念逐一分析即可得出答案. 【详解】解：若，则它们的方向相同时是相等向量，方向相反时是相反向量，还有可能方向既不相同，也不相反，A错； 若为相反向量，则它们的和为零向量，B对； 零向量的方向是任意的，C错； 两个单位向量只是模都为1，方向不一定相同，D错. 故选：B. 3．下列命题是真命题的是（    ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若向量满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则 【答案】D 【分析】A根据任意两个向量都共面判断；B根据向量只与长度与方向有关，与位置无关判断；C根据向量不能比较大小判断；D根据共线向量定理判断. 【详解】因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，故选项A是假命题； 由知，，且与同方向，但A与C，B与D不一定重合，故选项B是假命题； 因为空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有这种写法，故选项C是假命题； 因为，所以，即与共线，故，选项D是真命题． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平面向量和空间向量的概念，属于基础题. 题型二 空间向量的线性运算 1．在正方体中，下列各式的运算结果为向量的是（    ） ①；        ②； ③；        ④． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【分析】根据空间向量的运算法则直接计算即可判断. 【详解】，①错； ，②错； ，③对； ，④对． 故选：C． 【点睛】本题考查空间向量的运算，属于基础题. 2．设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　) A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形 【答案】B 【分析】由题意，化简可得，利用向量相等证明四边形为平行四边形. 【详解】由已知得,即是相等向量,因此的模相等,方向相同, 即四边形ABCD是平行四边形.故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的加法，向量相等的意义，属于中档题. 3．在直三棱柱中，若，则= .(用表示) 【答案】 【分析】连接根据直三棱柱的结构特征及空间向量减法的几何意义可得，结合已知即可求表达式. 【详解】连接则. 故答案为： 4．三棱柱中，为棱的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的线性运算即可求解. 【详解】解：． 故选：B 题型三 空间向量的数量积运算 1．设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可； 【详解】解：对于A：，故A正确； 对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：AD 2．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】对两边平方后得到，代入投影向量的公式进行求解即可. 【详解】两边平方化简得：，① 因为，所以， 又，代入①得：，解得：， 所以在上的投影向量坐标为 . 故答案为： 3．若空间四边形的四个面均为等边三角形，则的值为 A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用空间向量的运算，求得的值. 【详解】依题意空间四边形的四个面均为等边三角形，设棱长均为. 而， 则 所以. 故选：D 【点睛】本小题主要考查空间向量的运算，属于基础题. 4．如图，在正方体中，求向量与的夹角的大小． 【答案】 【分析】方法1：结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围； 方法2：先求，再利用公式求，最后确定即可． 【详解】解：方法1：因为，所以的大小就等于 因为△为等边三角形，所以，所以与的夹角的大小为． 方法2．设正方体的棱长为1， 又因为，所以， 因为，所以与的夹角的大小为． 5．已知空间向量满足，，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【答案】D 【分析】设与的夹角为θ，由，得，两边平方化简可得答案 【详解】设与的夹角为θ， 由，得， 两边平方，得， 因为， 所以，解得， 故选：D. 【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础． 6．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，． (1)求线段的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值； 【答案】（1）（2） 【分析】(1) 设，得到展开得到答案. (2)计算，，利用夹角公式得到答案. 【详解】（1）设，则，，， ， , 线段的长为. （2）设异面直线与所成的角为，则 , . . 故异面直线与所成角的余弦值为. 7．已知 ，则λ＝ ． 【答案】 【分析】根据题意得到，从而可求出的值. 【详解】由，得，即， 即 ， 所以， 即4λ＋6＝0，∴λ＝． 故答案为：. 题型四 空间向量共线、共面问题 1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若x＋y(＋)，则x＝ ，y＝ . 【答案】 1 【分析】结合空间向量的线性运算列方程，由此求得的值. 【详解】， 所以. 故答案为：； 2．在空间四边形ABCD中，若△BCD是正三角形，且E为其中心，连接DE，则+--的化简结果为 . 【答案】 【分析】首先根据几何关系，转化向量，再进行运算. 【详解】延长DE，交BC于点F，则F为BC的中点，∴==， ∴+--=+++=. 故答案为： 3．已知空间向量，，，化简 . 【答案】 【分析】利用向量加法、减法以及数乘的运算律即可求解. 【详解】根据空间向量的数乘运算法则可知， 原式. 故答案为： 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了基本运算能力，属于基础题. 4．设、是两个不共线的向量，已知，若A、B、D三点共线，求k的值为 ． 【答案】 【分析】设，求出，建立方程组求出即可. 【详解】由A、B、D三点共线，可得，又， 则，又、不共线，则，解得. 故答案为：. 5．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点，求证：E，F，B，D四点共面． 【答案】证明见解析. 【分析】设，将和分别用线性表示出来，即可根据共线定理判断. 【详解】设， 则，， 所以， 而E，F，B，D四点不共线， 因此，故E，F，B，D四点共面． 【点睛】本题考查用空间向量证明直线的平行关系，属于基础题. 1.已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解. 【详解】因为，，， 选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确； 选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误； 选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误； 选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误； 故选：A. 2．有下列说法: ①若，则与，共面； ②若与，共面，则=x+y； ③若=x+y，则P，M，A，B共面； ④若P，M，A，B共面，则=x+y. 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】利用空间向量共面定理逐一判断即可. 【详解】若，共线，由=x+y知一定与，共面， 若，不共线，则满足共面定理，与，共面，①对； 同理③对；若与，共面，且，共线，则不一定有=x+y，故②不对； 同理④不对， 故选：C. 3．已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三个向量共面，则实数λ等于 . 【答案】 【分析】利用空间向量共面定理可得，再由向量相等即可求解. 【详解】若向量，，共面，则存在x，y∈R，使得， ∴2-+3=x(-+4-2)+y(7+5+λ)， ∴ 解得λ=. 故答案为： 4．已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算，将和用、、表示，再根据空间向量的数量积运算可得解. 【详解】，， 则 . 故选：C． 5．已知向量，且，，，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据，得出方程求得，若向量与反向共线时，则存在实数使得成立，得到方程组无解，即可得到答案. 【详解】由向量，且，，，可得， 因为向量与的夹角为钝角， 可得且， 由，即， 所以，解得， 若向量与反向共线时，存在实数，使得成立， 可得，此时方程组无解，所以不存在实数使得向量与反向共线， 所以实数的取值范围是. 6．已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则（    ）． A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】过点，分别向作垂线，垂足分别为，，由，平方后结合长度和垂直关系可得解. 【详解】   过点，分别向作垂线，垂足分别为，， 则可得，，，，． 由于， 所以 ， 所以． 故选:A． 7.如图所示，在四棱锥中，底面，，E是的中点．证明： （1）； （2）平面． 【分析】(1)由，代入数量积中运算，结合和，可得出； (2) 设，分别证明出，利用线面垂直的判定定理证出命题成立． 【详解】证明：（1）因为底面，所以，所以，又，所以，又，所以，所以． （2）设，因为，，所以．又，所以，得． 因为 ，，所以，又，所以平面． 【点睛】本题考查空间点线面的位置关系，考查空间向量的应用，考查线面垂直的判定定理，属于中档题． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1空间向量及其运算 题型一 空间向量的概念 1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（    ） ①任一向量与它的相反向量都不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若，则； ⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若为相反向量，则 C．零向量是没有方向的向量 D．若是两个单位向量，则 3．下列命题是真命题的是（    ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若向量满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则 题型二 空间向量的线性运算 1．在正方体中，下列各式的运算结果为向量的是（    ） ①；        ②； ③；        ④． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 2．设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　) A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形 3．在直三棱柱中，若，则= .(用表示) 4．三棱柱中，为棱的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型三 空间向量的数量积运算 1．设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为 . 3．若空间四边形的四个面均为等边三角形，则的值为 A． B． C． D．0 4．如图，在正方体中，求向量与的夹角的大小． 5．已知空间向量满足，，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 6．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，． (1)求线段的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值； 7．已知 ，则λ＝ ． 题型四 空间向量共线、共面问题 1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若x＋y(＋)，则x＝ ，y＝ . 2．在空间四边形ABCD中，若△BCD是正三角形，且E为其中心，连接DE，则+--的化简结果为 . 3．已知空间向量，，，化简 . 4．设、是两个不共线的向量，已知，若A、B、D三点共线，求k的值为 ． 5．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点，求证：E，F，B，D四点共面． 1.已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 2．有下列说法: ①若，则与，共面； ②若与，共面，则=x+y； ③若=x+y，则P，M，A，B共面； ④若P，M，A，B共面，则=x+y. 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 3．已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三个向量共面，则实数λ等于 . 4．已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．已知向量，且，，，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是 ． 6．已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则（    ）． A． B． C． D．2 7.如图所示，在四棱锥中，底面，，E是的中点．证明： （1）； （2）平面． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$