6.2空间向量的坐标表示（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

6.2空间向量的坐标表示 题型一 空间向量基本定理的理解 1．在以下三个命题中，真命题的个数是（    ）. ①若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；③若，是两个不共线的向量，而（且），则构成空间的一个基底. A．0 B．1 C．2 D．3 2．若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，=，=，=，试用基底{，，}表示. 4．如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，． (1)证明：、、、四点共面． (2)若，求． 题型二 空间向量基本定理的应用 1．已知在正方体中，，为空间任意两点，如果，那么点必（ ） A．在平面内 B．在平面内 C．在平面内 D．在平面内 2．已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)用向量法证明，，，四点共面； (2)用向量法证明：平面； (3)设是和的交点，求证：对空间任一点，有. 证明平行和垂直 4．如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD． 5．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若E、F分别为、的中点.求证： （1）平面； （2）平面.（用向量方法证明） 求线段长度和两条异面直线所成角 6．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 7．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点． (1)证明：. (2)求. (3)求FH的长． 题型三 空间直角坐标系 1.在直三棱柱中，为等腰三角形，，E、F分别是、BC的中点，且，，请建立空间直角坐标系，并求各点的坐标. 2．已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，建立空间直角坐标系. (1)求各顶点的坐标； (2)若点Q是PC的中点，求点Q坐标； (3)若点M在线段PC上移动，写出点M坐标. 3.如图，棱长为的正四面体的三个顶点分别在空间直角坐标系的坐标轴上，则定点的坐标为 A． B． C． D． 4．已知A(1,2,-1)关于面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则等于（    ） A．(0,4,2) B．(-2,0,0) C．(0,-4,-2) D．(2,0,-2) 题型四 空间向量运算的坐标表示 1.已知向量=(1，2，3)， =(-1，0，1)，则=（    ） A．(-1，2，5) B．(-1，4，5) C．(1，2，5) D．(1，4，5) 3．已知，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．-2 4．已知向量，且，则 ． 题型五 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 1.判断下列各对向量是否平行或垂直： (1)，； (2)，； (3)，． 2.若四边形ABCD是平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，且，求实数x，y的值． 利用空间向量求夹角和距离或长度 5．已知，，若与的夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知点，，． （1）若D为线段的中点，求线段的长； （2）若，且，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值． 7．在棱长为1的正方体中，P是底面ABCD上（含边界）一动点，满足，则线段长度的取值范围（    ） A． B． C． D． 题型六 空间两点的距离公式 1．求空间中点关于平面的对称点与的长度为 A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，已知，，则MN的中点P到坐标原点O的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 3．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在线段AB上，点Q在线段DC上. （1）当，且点P关于y轴的对称点为M时，求的长度； （2）当点P是面对角线AB的中点，点Q在面对角线DC上运动时，探究的最小值. 1．（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（    ） A．，，不能构成空间的一个基底 B．，，不能构成空间的一个基底 C．，，不能构成空间的一个基底 D．，，能构成空间的一个基底 2．已知为空间的一个基底，若，，，，且，则分别为 . 3．对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 4.棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是 ，线段EF的长度为 . 5．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是 . 7．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2空间向量的坐标表示 题型一 空间向量基本定理的理解 1．在以下三个命题中，真命题的个数是（    ）. ①若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；③若，是两个不共线的向量，而（且），则构成空间的一个基底. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据空间向量的基底的概念，逐个判断可得答案. 【详解】①正确，作为基底的向量必须不共面； ②正确； ③错误，因为，，共面，所以不能构成基底. 故只有①②正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了空间向量的基底的概念，属于基础题. 2．若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由于是空间的一个基底，则可得，，不共面，然后根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可 【详解】因为是空间的一个基底，所以，，不共面. 对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底； 对于D：，，满足， 所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底. 故选：D. 3．已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，=，=，=，试用基底{，，}表示. 【答案】= + -；=-++；=++. 【分析】根据空间向量的基本定理，利用向量的加减及数乘依次计算即可. 【详解】如图所示，延长PG交CD于E，则E为CD的中点. ==×(+) =(++++) =(-++-+) =i+-. =+=++ =-+++- =-++. =+=+ =++. 4．如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，． (1)证明：、、、四点共面． (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）在上取一点，使得，连接、，根据平行六面体的性质、，即可得到，即可得证； （2）结合图形，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】（1）证明：在上取一点，使得，连接、， 在平行六面体中，，，， 且，且， 所以四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， 所以，且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 、、、四点共面． （2）解：因为 ， 即，，， ． 题型二 空间向量基本定理的应用 1．已知在正方体中，，为空间任意两点，如果，那么点必（ ） A．在平面内 B．在平面内 C．在平面内 D．在平面内 【答案】C 【分析】根据空间向量运算得出即可判断. 【详解】因为 ， 所以，，，四点共面. 故选：C. 2．已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)用向量法证明，，，四点共面； (2)用向量法证明：平面； (3)设是和的交点，求证：对空间任一点，有. 【分析】（1）根据题意得出可证； （2）通过证明可得； （3）可得四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，即可证明. 【详解】（1）如图，连接， 因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点， 则，， 则， 由共面向量定理的推论知，，，四点共面； （2）因为. 所以，又平面EFGH，平面EFGH， 所以平面EFGH； （3）连接，，，，，，， 由（2）知，同理， 所以，，， 所以､交于一点，且被平分， 所以. 证明平行和垂直 4．如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD． 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的边长为，则， ，， 由于，所以平面. 5．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若E、F分别为、的中点.求证： （1）平面； （2）平面.（用向量方法证明） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）通过计算得到 ，由此证得向量共面，从而证得平面. （2）通过计算得到，由此证得，从而证得平面. 【详解】（1）依题意E、F分别为、的中点，所以 ， 所以向量共面， 又平面平面， 所以平面. （2）因为侧面底面，侧面底面，底面是正方形，所以平面. 设，则，即， 所以， 所以， 所以，由平面，可得平面. 【点睛】用向量方法证明线面平行或垂直，理论依据是线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理. 求线段长度和两条异面直线所成角 6．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 【答案】B 【解析】选项，计算得，所以选项不正确； 选项，，所以，所以选项正确； 选项，向量与的夹角是，所以选项不正确； 选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确. 【详解】选项，由题意可知， 则 ， ∴，所以选项不正确； 选项，，又， ∴，所以选项正确； 选项，，， ∴向量与的夹角是，所以选项不正确； 选项，，， 设与所成角的平面角为， ∴ ，所以选项不正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算. 7．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点． (1)证明：. (2)求. (3)求FH的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，借助空间位置关系的向量证明推理作答. （2）利用（1）中坐标系，结合空间向量夹角余弦的坐标表示计算作答. （3）利用（1）中坐标系，结合向量模的坐标表示计算作答. （1） 在正方体，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示： 依题意，，， ，则， 所以. （2） 由知，，，而， 所以. （3） 因H为的中点，则，而，则， 所以FH的长为． 题型三 空间直角坐标系 1.在直三棱柱中，为等腰三角形，，E、F分别是、BC的中点，且，，请建立空间直角坐标系，并求各点的坐标. 【答案】答案见解析 【分析】利用，取的中点为，即可以点F为原点，分别以射线FC､FA､为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，再分别求各点坐标即可 【详解】设的中点为，以点F为原点，分别以射线FC､FA､为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图. 由题意知，，是直角三角形，所以，又E是的中点， 则、、、、、、、 2．已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，建立空间直角坐标系. (1)求各顶点的坐标； (2)若点Q是PC的中点，求点Q坐标； (3)若点M在线段PC上移动，写出点M坐标. 【答案】(1)建系见解析，，，，； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定三棱锥的特征建立空间直角坐标系，写出顶点坐标作答. （2）利用（1）的结论结合中点坐标公式计算作答. （3）设出点M的纵坐标，直接写出其坐标作答. 【详解】（1）在三棱锥中，平面ABC，，则射线两两垂直， 以点A为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 所以，，，. （2）由（1）知，点Q是PC中点，则. （3）由（1）知，点M在线段PC上移动，则点M的横坐标为0，设其纵坐标为t， 其竖坐标z，当M与P不重合时，，当M与P重合时，z=3满足上式，因此， 所以点. 3.如图，棱长为的正四面体的三个顶点分别在空间直角坐标系的坐标轴上，则定点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】棱长为的正四面体可以放到正方体中，已知D点、O点的连线是正方体的体对角线，故D点坐标为，选A. 4．已知A(1,2,-1)关于面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则等于（    ） A．(0,4,2) B．(-2,0,0) C．(0,-4,-2) D．(2,0,-2) 【答案】C 【分析】根据空间中点与点的对称性，容易求得两点的坐标，即可得向量. 【详解】因为A(1,2,-1)关于面xOy的对称点为B，故； 又点B关于x轴的对称点为C，故， 故. 故选：C. 【点睛】本题考查空间中点关于面的对称点的求解，属基础题. 题型四 空间向量运算的坐标表示 1.已知向量=(1，2，3)， =(-1，0，1)，则=（    ） A．(-1，2，5) B．(-1，4，5) C．(1，2，5) D．(1，4，5) 【答案】A 【分析】结合空间向量的加法运算求解即可 【详解】=(1，2，3)+2(-1，0，1)=(1，2，3)+(-2，0，2)=(-1，2，5)， 故选：A. 2．若，向量与平行且，则 ． 【答案】或##或 【分析】首先求出方向上的单位向量，讨论与同向或反向分别求出对应的坐标. 【详解】由题设，方向上的单位向量为， 所以，当与同向，则， 当与反向，则. 故答案为：或 3．已知，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】 故选：A. 4．已知向量，且，则 ． 【答案】3 【分析】利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可. 【详解】因为， 所以， 可得， 因为，解得，故答案为3. 题型五 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 1.判断下列各对向量是否平行或垂直： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)垂直，不平行 (2)平行，不垂直 (3)既不平行，又不垂直 【分析】（1）根据来判断； （2）根据存在实数使来判断； （3）根据，且不存在实数使来判断. 【详解】（1）, 故与垂直，不平行； （2）存在实数使， 故与平行，不垂直； （3）， 又不存在实数使， 故故与既不平行，又不垂直. 2.若四边形ABCD是平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据为平行四边形，得到，设，将向量用坐标表示后，代入上式即可求解. 【详解】为平行四边形，,设，则， ，解得. 故选：D. 3．已知，，且与平行，求实数m的值. 【答案】 【分析】根据向量平行的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为与不平行，所以， 所以. 4．已知向量，． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，且，求实数x，y的值． 【答案】(1), (2)或 【详解】（1）由∥可得，存在实数使， 即，解得,,; （2）若，则①， 由，则②， 两式联立解得或. 利用空间向量求夹角和距离或长度 5．已知，，若与的夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出向量的坐标，及向量与的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【详解】∵，， ，，， ∴，可得，解得. 故选：B. 【点睛】本题考查的知识要点：空间向量的数量积，空间向量的模及夹角的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题． 6．已知点，，． （1）若D为线段的中点，求线段的长； （2）若，且，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合向量的模的计算公式，即可求解； （2）利用向量的数量积的公式，求得，得到，再结合空间向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，点，且点D为线段的中点， 可得，则，所以， 即线段的长为． （2）由点，，则， 所以，解得，所以， 则， 即向量与夹角的余弦值为． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示及运算，以及空间向量的数量积和夹角公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 7．在棱长为1的正方体中，P是底面ABCD上（含边界）一动点，满足，则线段长度的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用线面垂直的判定定理可以证明平面，这样可以确定P的轨迹，利用平面几何的知识求出的最值，选出答案. 【详解】因为底面ABCD，底面ABCD，所以，底面ABCD是正方形，所以有，，平面，因此有平面，平面，所以有，同理可证明出，因为，平面，所以平面，所以点P的轨迹就是线段BD，所以P在B或D时最长为，在BD中点时最短为. 故选：A 【点睛】本题考查了空间点的轨迹问题，考查了线面垂直的判定定理，考查了推理论证能力. 题型六 空间两点的距离公式 1．求空间中点关于平面的对称点与的长度为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点关于平面的对称点的坐标，再利用空间两点的距离公式可得结果. 【详解】点关于平面的对称点的坐标为， 所以，与的长度为， 故选D. 【点睛】本题主要考查空间两点的距离公式的应用，属于基础题. 2．在空间直角坐标系中，已知，，则MN的中点P到坐标原点O的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式及空间中两点之间的距离公式可得解. 【详解】，，由中点坐标公式，得， 所以. 故选：A 3．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在线段AB上，点Q在线段DC上. （1）当，且点P关于y轴的对称点为M时，求的长度； （2）当点P是面对角线AB的中点，点Q在面对角线DC上运动时，探究的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值 【分析】（1）由已知得，进而得，利用两点之间的距离即可得解； （2）由已知得，设点，，利用两点之间距离知，利用二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由题意知，，， 由，得， 又点P关于y轴的对称点为M，所以， 利用两点之间的距离可知. （2）点P是面对角线AB的中点时，， 点Q在面对角线DC上运动，设点，， 则 所以当时，取得最小值，此时点. 【点睛】方法点睛：利用向量坐标求空间中线段长度的一般步骤:（1）建立适当的空间直角坐标系；（2）求出线段端点的坐标(或线段对应向量的坐标)；（3）利用两点间的距离公式求出线段的长(或利用向量模的坐标公式求出对应向量的模). 1．（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（    ） A．，，不能构成空间的一个基底 B．，，不能构成空间的一个基底 C．，，不能构成空间的一个基底 D．，，能构成空间的一个基底 【答案】ABC 【分析】由，，与，，均不能构成空间的一个基底，可得空间五点，，，，共面，从而可作判断 【详解】解：因为，，与，，均不能构成空间的一个基底，且，，，，是空间五点，且任何三点不共线 所以空间五点，，，，共面， 所以这五点，，，，中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以ABC正确，D错误. 故选：ABC 2．已知为空间的一个基底，若，，，，且，则分别为 . 【答案】，-1，##2.5，-1，-0.5 【分析】由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组，使，进而化简，然后结合得到答案. 【详解】由题意得，为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组，使， 又∵，∴⇒， 故答案为：. 3．对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：根据向量共面定理可得存在唯一一组数，使得，可得，根据选项依次列方程组求解可判断. 方法二：根据共面定理的推论可得. 【详解】方法一：若，，，四点共面，则存在唯一一组数，使得， 则， 整理可得， 对A，若，则，方程组无解，不能得到，，，四点共面，故A错误； 对B，若，则，解得，符合，可以得到，，，四点共面，故B正确； 对C，若，则，解得，符合，可以得到，，，四点共面，故C正确； 对D，若，则，方程组无解，不能得到，，，四点共面，故D错误. 故选：BC. 方法二：根据共面定理的推论可得，若，，，四点共面， 则对于空间中任意一点，有，且满足， 则由选项可得只有BC满足. 故选：BC. 4.棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是 ，线段EF的长度为 . 【答案】 ##45° a## 【分析】以为空间的一个基底，进而通过空间向量的夹角公式求出答案. 【详解】设，，，则是空间的一个基底，∴，， ∵， ∴，||=a， ∴， ∴异面直线EF与AB所成的角为. 5．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出在基底下的坐标为，利用对照系数，得到方程组，求出结果. 【详解】∵在基底下的坐标为 ∴ 设在基底下的坐标为 则 对照系数，可得： 解得： ∴在基底下的坐标为 故选：C 6．若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，由题意可得，即可得到方程组，解得即可求得的坐标． 【详解】解：点､，为线段上一点，且， 所以， 设点的坐标为，则， 则，即， 解得，即； 故答案为：． 7．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连结，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值． 【详解】取的中点，连结，， ，， 平面平面，平面平面， 平面， 又，， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 是等腰直角三角形，，为直角三角形， ，0，，，0，，，0，， ，，， ，0，，，，， ，． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：． 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$