精品解析：河南省名校大联考2024-2025学年高一下学期开学测试数学试题

2024—2025学年高一开学测试 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章5.4. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则B可能为（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象经过第三象限，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4 若，，则（ ） A. 3 B. C. D. 2 5. 不等式解集为（ ） A. B. C. D. 6. 某食品的保鲜时间（单位：h）与储藏温度（单位：）满足函数关系．若该食品在的保鲜时间是320h，在的保鲜时间是80h，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. 5h B. 5.5h C. 4h D. 4.5h 7. 已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某钟表分针的长度为5cm，在某天中，从到，则（ ） A. 分针转过的角的弧度为 B. 分针转过的角的弧度为 C. 分针尖端所走过弧长为 D. 分针扫过的扇形面积为 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. 可能为空集 B. 中可能只有一个元素 C. 若，则中的元素为负数 D. 若，则 11. 已知定义域为的函数满足，且.则（ ） A. B. C. D. 可能为增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若角终边经过点，则______． 13. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______． 14. 函数的最小值为______，此时______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 17. 已知函数（，且）． （1）求的定义域； （2）若，求； （3）求不等式的解集． 18 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）求在上的值域； （3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由． （2）若不等式的解集为，证明：． （3）若函数在上的最小值为5，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年高一开学测试 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章5.4. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题判断选项即可． 【详解】命题“，”的否定是，. 故选：B. 2. 已知集合，，则B可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的并集运算，对四个选项逐一检验即可得解. 【详解】由， 当时，或，故A错误； 当时，或，故B错误； 当时，，故C正确； 当时，，故D错误； 故选：C. 3. 已知幂函数的图象经过第三象限，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的概念求得，再验证即可； 【详解】由题意得，得．当时，的图象不经过第三象限； 当时，的图象经过第三象限．综上，． 故选：A 4. 若，，则（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由指数式转化为对数式，利用对数的换底公式，可得答案. 【详解】由，，得，，所以． 故选：D. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用余弦函数的性质计算即可. 【详解】由不等式，化简得， 由余弦函数的性质得. 故选：C. 6. 某食品保鲜时间（单位：h）与储藏温度（单位：）满足函数关系．若该食品在的保鲜时间是320h，在的保鲜时间是80h，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. 5h B. 5.5h C. 4h D. 4.5h 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定条件列出方程组，求得，再将代入计算即得. 【详解】由题意得，两式相除得， 当时，. 故选：A. 7. 已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性和取自变量接近于0的函数值来判断正负即可得到选项. 【详解】由奇偶性判断可知： 是偶函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数， 而函数图象是关于轴对称，必然是偶函数，所以BD错误； 再当时，可知，故A错误； 所以C正确， 故选：C. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将与和分别进行比较，即可判断大小. 【详解】因为函数，都是减函数， 所以；； 又，所以． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某钟表分针的长度为5cm，在某天中，从到，则（ ） A. 分针转过的角的弧度为 B. 分针转过的角的弧度为 C. 分针尖端所走过的弧长为 D. 分针扫过的扇形面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】由任意角的概念及扇形弧长、面积公式逐个判断即可； 【详解】由题意得分针转过的角的弧度为， 所以分针尖端所走过的弧长为，分针扫过的扇形面积为． 故选：BC 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. 可能为空集 B. 中可能只有一个元素 C. 若，则中的元素为负数 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据根的判别式即可判断AB；由，求出集合即可判断C；由，结合C选项，列出不等式即可判断D. 【详解】对于A，由题意得， 则不可能为空集，A错误； 对于B，由，得， 当，即时，，得，则，B正确； 对于C，当，即时，，C正确． 对于D，当，即时，， 因为，所以，得，D正确． 故选：BCD. 11. 已知定义域为的函数满足，且.则（ ） A. B. C. D. 可能为增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值可求出特殊值，从而判断AB选项，利用举特例函数，来检验CD选项即可. 【详解】因为，， 所以令，可得，故A正确； 再令，可得，又因为， 所以， 又令，可得，所以，故B正确； 不妨取，则， ， 此时满足原恒等式，但是当时，，故C错误； 但由于此时在上是增函数，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若角的终边经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义求出函数值. 【详解】依题意，． 故答案为： 13. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答. 【详解】函数上单调递增， 依题意，，，且在上单调递增， 因此，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为： 14. 函数的最小值为______，此时______. 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】利用因式分解，然后发现规律，重新结合因式展开，再展开可得二次型函数求最值即可. 【详解】由 所以可知当，即时，函数取到最小值， 故答案为：①；②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用齐次式法，弦化切计算即得； （2）利用诱导公式化简，齐次式法，弦化切计算得解 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 16. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式，可得答案； （2）利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案. 【小问1详解】 由，得，当且仅当时，等号成立． 故的最大值是3． 【小问2详解】 由，得，即． ， 当且仅当，即，时，等号成立． 故的最小值为． 17. 已知函数（，且）． （1）求的定义域； （2）若，求； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由对数函数定义域构造不等式求解即可； （2）由对数的运算性质求解即可； （3）分和判断函数单调性，进而可求解； 【小问1详解】 由题意得 解得，即的定义域为． 【小问2详解】 由， 得或，解得或． 【小问3详解】 当时，，在上为增函数， 又在上为减函数，在上为减函数， 则是增函数， 由，得， 解得，即的解集为． 当时，在上为减函数， 又在上为减函数，所以在上为增函数， 可得是减函数， 由，得， 解得，即的解集为． 综上：当时，解集为， 当时，解集为. 18. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）求在上的值域； （3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用整体思想，根据正弦函数的单调性，建立不等式，可得答案； （2）利用整体思想，根据正弦函数的图象与性质，可得答案； （3）由题意建立方程，求得的值，由小到大写出个零点，建立不等式，可得答案. 【小问1详解】 由，得， 所以的单调递减区间为． 【小问2详解】 由，得． 由正弦函数的图象可得，， 所以在上的值域为． 【小问3详解】 由，得， 得或， 解得或， 则在上的3个零点为，，， 所以， 得，即的取值范围为． 19. 已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由． （2）若不等式的解集为，证明：． （3）若函数在上的最小值为5，求的值． 【答案】（1）奇函数，理由见解析 （2）证明见解析 （3）或3 【解析】 【分析】（1）由奇函数的概念可得； （2）由题得，构造函数，，利用函数图象找到交点横坐标范围，进而可得； （3）设，转化为在上的最小值为5，根据绝对值对的范围进行分类，由单调性确定最值，进而构建方程可得. 【小问1详解】 是奇函数． 理由如下：由题意得，． 的定义域为，且，所以是奇函数． 【小问2详解】 证明：由题意得，则． 由，得． 设函数，，，在上的大致图象如图1所示， 由图可知，在上的图象有2个公共点， 易得这2个公共点的横坐标为． 由图得，因为，所以． 因为，所以． 故． 【小问3详解】 设，由，得，则． 当，即时，在上单调递增， 则，解得（舍去）． 当，即时， 由题意得，的大致图象如图2所示， 易得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 因为，所以在上的最小值为， 即在上的最小值为，解得（舍去）． 综上，或3． 【点睛】关键点点睛：本题第三问，设，转化为在上最小值为5，根据绝对值和对的范围进行分类，时，进而根据二次函数的性质可得，时，，由单调性确定最值，进而构建方程可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$