精品解析：河南省新高中创新联盟TOP二十名校2024-2025学年高二下学期2月调研考试数学试题

新高中创新联盟TOP二十名校高二年级2月调研考试 数学（A卷） 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册（约占50%）、选择性必修第二册第四章~第五章第2节（约占50%）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先应用两点求斜率，再根据斜率和倾斜角的关系计算求解. 【详解】设倾斜角为，因为， 所以，又，故. 故选:D. 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 4050 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再代入结合应用诱导公式及特殊角的函数值求解. 【详解】因为， 则， 故. 故选:B. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准形式，结合渐近线方程的定义求结论. 【详解】双曲线的标准方程为， 所以该双曲线的渐近线方程为， 故选：C. 4. 在四面体中，，则（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解 【详解】连接,, 由已知得 ， 故选：D 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求，取，可求，再求，，再由导数的几何意义及点斜式求切线方程. 【详解】由，得， 所以，得， 所以，，，， 故所求切线方程为，即. 故选：A. 6. 已知直线与圆交于，两点，若的周长为10，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 3或13 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，进而可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】因为圆，即圆心坐标为，半径， 因为的周长为10，所以， 则圆心到直线的距离， 解得或13. 故选：D. 7. 已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆定义，将转化为，当在线段上时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】由题意，椭圆的左焦点为，由椭圆定义可得， 所以，因为，故在椭圆内， 所以， 当在线段上时，等号成立. 故选：B. 8. 已知数列前项和，等差数列满足，，数列满足，设数列的前项和为，若对于，都有，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求出可得，判断出数列的单调性可得答案. 【详解】因为，时，， 由，所以， 设等差数列的公差为，由得， 解得，所以，可得， 则， 所以当时，；当时，， 所以， 又因，，，， 所以当时，；当时，； 当时，，因此当时，数列单调递减； 当时，单调递增，所以，故. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出数列的单调性. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高校无人机兴趣小组通过数学建模的方式测得了自主研发的无人机在关闭发动机的情况下自由垂直下降的距离（单位：m）与时间（单位：s）之间满足函数关系，则（ ） A. 在这段时间内的平均速度为10m/s B. 在这段时间内的平均速度为12 m/s C. 在s时的瞬时速度为18 m/s D. 在s时的瞬时速度为16 m/s 【答案】BC 【解析】 【分析】应用平均速度计算判断A，B，应用导函数计算瞬时速度判断C，D. 【详解】在这段时间内的平均速度为m/s，故A错误，B正确； 因为，所以，即在s时瞬时速度为18m/s，故C正确，D错误. 故选:BC. 10. 记为各项均为正数的数列的前项和，且，则（ ） A. B. 是递增数列 C. 是递增数列 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由，取，结合可求，结合与关系可求，再求，由此确定正确选项. 【详解】由，得，解得或， 又，所以，故A正确； 所以，当时，， 两式作差得，即时，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 故，易得其是递增数列，故B正确； 此时为定值，故C错误； 易得，故D错误， 故选：AB. 11. 已知抛物线，，点，关于坐标原点对称，，过点的直线与交于，两点，点在第一象限，则（ ） A. 若，则 B. 若为等腰三角形，则的斜率为 C. D. 若四边形为梯形，则其面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可求的纵坐标，由此可求，判断A，由条件可得或，由此判断B，设的方程为，，，利用设而不求法证明，结合角平分线性质判断C，结合C选项的解答证明点在的中垂线上，由此可求的坐标，再求梯形面积，判断D. 【详解】若，则，的横坐标均为， 代入的方程，解得的纵坐标为，故，A正确； 若为等腰三角形，则可能是或， 两种情况斜率不同，不可能只有一个值，故B错误； 由已知直线的斜率不为， 设的方程为，，， 与抛物线方程联立，解得， 即，， 则， 故成立，由角平分线定理可得， 所以，C正确； 若四边形为梯形，由对称性，不妨设上底为， 由C知，，由梯形上下底平行得，， 故，即点在的中垂线上， 故的横坐标为，解得，又，故， 所以， 梯形的面积为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，已知，则__________． 【答案】24 【解析】 【分析】由等差数列下标和的性质，以及前项求和公式，即可得到答案. 【详解】因为，所以． 故答案为：24． 13. 过抛物线的焦点的直线与交于，两点，且点在点的上方，已知，若点在的垂直平分线上，则直线的斜率为______________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据垂直平分线得出的横坐标，再代入求出点的坐标，最后两点求斜率即可. 【详解】抛物线的焦点， 由点在的垂直平分线上可得点的横坐标为， 代入抛物线方程可得，解得， 故直线的斜率等于直线的斜率为. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的值为______________. 【答案】## 【解析】 【分析】不妨设的一条渐近线为，，求，由正弦定理求，根据余弦定理列关系式可得关系，由此可得结论. 【详解】不妨设的一条渐近线为，，为坐标原点， 则可得，， 在中，由正弦定理得， 即， 所以在中，由余弦定理得， 化简整理得，所以，即，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据相乘形式的函数的导数公式计算；（2）根据相加形式的函数的导数公式计算；（3）根据相除形式的导数公式计算. 【详解】解：（1）y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. （2） （3） 【点睛】本题考查导数的四则运算法则，属于基础题型. 16. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义可得数列是首项、公比均为3的等比数列，即可求解； （2）由错位相减求解. 【小问1详解】 由，又，可得数列是首项、公比均为3的等比数列， 故， 【小问2详解】 由（1）可得， 则， 所以， 两式相减得， 所以 17. 如图，四棱锥中，底面是正方形，是的中点，. （1）证明：平面平面； （2）若是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据及正方形的性质可求，在中利用余弦定理求得，即可证明.再证明，可得，利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，平面的法向量为和，利用向量法即可求解直线与平面所成角. 【小问1详解】 证明：因为四边形为正方形，为的中点，，所以. 在中，由余弦定理得， 因为，所以，即. 因为，所以，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 于是. 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得， 故直线与平面所成的角为. 18. 在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的右顶点、上顶点，，，是上异于顶点的两点，且当的中点是时，直线，的斜率之积为. （1）求的方程； （2）若直线交轴于点，直线交轴于点，且线段的中点是.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）设，结合关系化简可得，再根据关系列方程，解方程可求，由此可得椭圆方程； （2）设，，， 联立方程组求，，求直线，的方程，结合关系线段的中点为，可得的关系，由此可得结论. 【小问1详解】 由题意知，， 当，的中点是时，设，则， 且，因为直线，的斜率之积为， 所以， 所以，即， 又， 所以，. 所以的方程为； 【小问2详解】 证明：由题意知直线的斜率不为， 设，，， 联立，得， 则， ，， 由（1）知，， 所以，令，得， 同理，令，得， 因为的中点是， 所以， 整理得， 所以， 化简整理得， 所以或， 当，即时，，此时直线过，故舍去； 当，即时，，此时直线过点. 故直线过定点. 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 现定义：若数列为递减数列且也为递减数列，则为“数列”. （1）已知：，，探究数列，是否为“数列”； （2）定义：，已知数列满足，，求的通项并证明数列为“数列”. 【答案】（1）是递减数列，不是“数列” （2）答案见解析，证明见解析 【解析】 【分析】（1）判断，的单调性，证明数列为递减数列，举例说明不是递减数列，结合定义判断结论； （2）由关系证明，再判断数列，的单调性，由此证明结论. 【小问1详解】 因为是递减数列，， 且，而， 所以，，所以 所以是递减数列， 所以数列是“数列”； 因为是递减数列， ，其中，，则， 所以不是递减数列， 所以数列不是“数列”. 【小问2详解】 因，所以，① 当时，，② 由①÷②，得，又，所以， 所以当时，， 因为当时，， 所以，数列是递减数列， 因为，所以数列也是递减数列， 故数列是“数列”. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新高中创新联盟TOP二十名校高二年级2月调研考试 数学（A卷） 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册（约占50%）、选择性必修第二册第四章~第五章第2节（约占50%）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 4050 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在四面体中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆交于，两点，若的周长为10，则（ ） A B. 3 C. 或3 D. 3或13 7. 已知椭圆右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8. 已知数列的前项和，等差数列满足，，数列满足，设数列的前项和为，若对于，都有，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高校无人机兴趣小组通过数学建模方式测得了自主研发的无人机在关闭发动机的情况下自由垂直下降的距离（单位：m）与时间（单位：s）之间满足函数关系，则（ ） A. 在这段时间内的平均速度为10m/s B. 在这段时间内的平均速度为12 m/s C. 在s时的瞬时速度为18 m/s D. 在s时的瞬时速度为16 m/s 10. 记为各项均为正数的数列的前项和，且，则（ ） A. B. 递增数列 C. 是递增数列 D. 11. 已知抛物线，，点，关于坐标原点对称，，过点的直线与交于，两点，点在第一象限，则（ ） A. 若，则 B. 若为等腰三角形，则的斜率为 C. D. 若四边形为梯形，则其面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，已知，则__________． 13. 过抛物线的焦点的直线与交于，两点，且点在点的上方，已知，若点在的垂直平分线上，则直线的斜率为______________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）； 16. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项和. 17. 如图，四棱锥中，底面是正方形，是的中点，. （1）证明：平面平面； （2）若是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的大小. 18. 在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的右顶点、上顶点，，，是上异于顶点的两点，且当的中点是时，直线，的斜率之积为. （1）求的方程； （2）若直线交轴于点，直线交轴于点，且线段的中点是.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 19. 现定义：若数列为递减数列且也为递减数列，则为“数列”. （1）已知：，，探究数列，是否为“数列”； （2）定义：，已知数列满足，，求的通项并证明数列为“数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $