精品解析：山东省日照市2025届高三下学期校际联合考试数学试题

参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A 2022级高三校际联合考试 数学 2025.2 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 15 B. 9 C. D. 3. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是第一象限角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 点在直线上，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（ ） A. 66种 B. 93种 C. 195种 D. 273种 8. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 若，则的最小值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知为非零向量，若，则的夹角为锐角 B. 展开式中的常数项为 C. 若方程表示椭圆，则 D. 点在直线上运动，的最大值是 11. 已知点集，其部分图形如图中阴影所示，图形将平面剩余部分分成内外两部分（空白区域），下列说法正确的是（ ） A. 图形内部空白区域的面积最小值为 B. 图形上的点到原点的最小距离为 C. 当时，图形关于对称 D. 当时，图形内外边界的长度和为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则__________． 13. 已知函数的图象关于点对称，则点的坐标为__________. 14. 设分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，则双曲线的渐近线方程为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若为边上一点，且，求的值． 16. 近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 75 84 93 98 100 （1）由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数和时间第天之间的关系？若可用，估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，精确到0.01）； （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考数据：． 附：相关系数． 17. 已知数列为等差数列，且满足． （1）若，求数列的前项和； （2）若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式． 18. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 19. 已知在四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示． （1）证明：平面； （2）若两两垂直，则称四面体为“斜垂四面体”． ①在斜垂四面体中，若，求直线与平面所成角的正弦值； ②在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于两点．为空间中一点，若为斜垂四面体，求其外接球表面积的最小值，并求出此时的直线方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A 2022级高三校际联合考试 数学 2025.2 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，得到， 又，所以， 故选：D. 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 15 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，利用已知条件求出的值，进而求出所要求的式子的值. 【详解】在等差数列中，已知，所以，即，那么.  同样根据等差数列性质，所以. 则. 把代入可得. 故选 ：B 3. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合复数的除法运算及纯虚数的概念求解. 【详解】复数， 当时，，复数，是纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，解得. 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：C 4. 已知是第一象限角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先应用同角三角函数关系计算，最后应用诱导公式计算即可. 【详解】因为， 所以，所以，左右两侧平方得， 所以，又因为是第一象限角，所以， 则. 故选：D. 5. 点在直线上，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求得，再利用常值代换法和基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为点在直线上，可得.  则 因，则，当且仅当时等号成立. 即当时，取得最小值为.  故选：C. 6. 定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可． 【详解】因为定义在上的函数满足条件， 即，所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以， 因为时，函数是增函数， 所以，即. 故选：A 7. 高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（ ） A. 66种 B. 93种 C. 195种 D. 273种 【答案】B 【解析】 【分析】分①每个检测点均为一男一女通过、②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女、③六人均在同一个检测点通过三种情况进行讨论求解即可. 【详解】①每个检测点均为一男一女通过，共有种不同的结果； ②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，共有种不同的结果； ③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果. 则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的情况有种. 故选：B. 8. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，作出圆台轴截面，分析可知，当球与相切时，其表面积最大，再结合条件求得球的半径，得到结果即可. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，要使球的表面积最大，则球需要与相切， 设圆的半径为，则， 因为，所以， 作，，因为，所以， 而，由勾股定理得， 则，且， 而， 即得到，解得， 则该球的表面积的最大值为，故B正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解题关键是判断出表面积最大时的情况，然后利用勾股定理建立方程，得到球的半径，进而得到所要求的表面积即可． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】用代入检验的思想，结合正弦函数的性质判断ABC，根据函数的最值，结合周期判断D选项. 【详解】A选项，时，，因为不是的对称轴，故A错误； B选项，时，，因为是的对称中心，故B正确； C选项，时，，因为在上单调递增，故C正确； D选项，因为，由得， 所以的最小值即为两条相邻对称轴之间的距离，即为，因为，所以的最小值为. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知为非零向量，若，则的夹角为锐角 B. 展开式中的常数项为 C. 若方程表示椭圆，则 D. 点在直线上运动，的最大值是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，将已知条件两边同时平方，整理得到，结合平面向量的数量积的定义得到，由平面向量的夹角范围，进而可以判断选项；对于B，由二项式在的展开式的通项公式为，令，即可判断；对于C，根据椭圆的定义列出不等式组进行求解；对于D，利用对称性，结合三点共线，即可求解． 【详解】对于A选项，已知，将两边同时平方可得. 展开化简可得，即.可知. 当与同向时，，此时夹角为，不是锐角，所以A选项错误. 对于B选项，对于展开式的通项为. 令，解得. 将代入通项公式可得常数项为，所以B选项正确. 对于C选项，若方程表示椭圆，则需满足. 解得的取值范围是且，C选项错误. 对于D选项，设点关于直线的对称点为. 根据对称点的性质可得，解得，则，即. 根据三角形两边之差小于第三边可知. 根据两点间距离公式，所以的最大值是，D选项正确. 故选：BD. 11. 已知点集，其部分图形如图中阴影所示，图形将平面剩余部分分成内外两部分（空白区域），下列说法正确的是（ ） A. 图形内部空白区域的面积最小值为 B. 图形上的点到原点的最小距离为 C. 当时，图形关于对称 D. 当时，图形内外边界的长度和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题知当时，内部空白区域是以为圆心，为径的圆，即可求解；对于B，利用圆的几何性，即可求解；对于C，设点，存在参数满足，再通过计算得到也在上，即可求解；对于D，内边界的长度，再利用题设定义及几何关系，即可求解. 【详解】对于A，由题知点集是以，为半径的圆， 如图1，当时，内部空白区域是以为圆心，为半径的圆，此时空白区域面积最小， 即内部空白区域的面积最小值为，所以命题A正确； 对于B，因为图形上点到原点距离为， 由构成该图形的动圆中，圆心到原点距离，半径， 故每个圆到原点最小距离均为，故图形到原点的最小距离为，所以B错误； 对于C，当时，设点，存在参数满足， 则点与点关于直线对称，由，取， 代入 ， 即点也在中，故时，图形关于直线对称，所以C正确； 对于D，时，如图2，内边界的长度， 其中为圆，半径为， 、为圆半径为外边界， 而由，，为半圆，半径为， 为半圆半径为，为圆，半径为， 为圆，半径为， 故内外边界和为，所以D正确. 故答案为：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于将图形内外边界的长度转化成，结合题设，利用圆的面积公式求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据自变量的取值范围代入相应的函数表达式进行计算，然后将计算结果相加 . 【详解】因 ，  ， 则. 故答案为：. 13. 已知函数的图象关于点对称，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知的定义域为，且，即可得结果. 【详解】令，解得， 可知的定义域为， 又因为， 所以函数的图象关于点对称. 故答案为：. 14. 设分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，则双曲线的渐近线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用双曲线定义分别表示出，利用直线的斜率得到，在解出，在用余弦定理得到与的关系，即解出渐近线. 【详解】 由，得为的中点；又，所以，所以； 设，由双曲线的定义，得，， 所以，从而，所以； 由直线的斜率为，得. 在中，，即； 在中，由余弦定理，得， 即，整理得， 解得，所以，所以渐近线方程为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若为边上一点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理和倍角公式化简，结合同角三角函数的商数关系或辅助角公式，求得或，可求角； （2）由已知可得为等边三角形，则，中由余弦定理求得的值． 【小问1详解】 依题意，，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 法一：即， 因为，所以， 所以，所以：， 所以，即． 法二：即， 所以，即， 因为，所以， 所以，即． 【小问2详解】 因为，又因为， 所以为等边三角形， 则， 由余弦定理得， 所以，解得或（舍去），故． 16. 近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 75 84 93 98 100 （1）由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数和时间第天之间的关系？若可用，估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，精确到0.01）； （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考数据：． 附：相关系数． 【答案】（1）可用，109 （2）选择方案二更划算 【解析】 【分析】（1）先计算相关系数，再结合线性回归方程的知识求解即可； （2）首先根据二项分布的概率公式求出为的概率值，则方案二的期望可求，与方案一的950进行比较即可判断. 【小问1详解】 由表中数据可得， ， 所以， 所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系． 而， 则所以 令，可得，所以1月10日到该专营店购物的人数约为109． 【小问2详解】 若选方案一､需付款元． 若选方案二､设需付款元，则的取值可能为， 则， ， 所以， 因此选择方案二更划算． 17. 已知数列为等差数列，且满足． （1）若，求数列的前项和； （2）若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知等式应用等差数列的基本量运算得出，再应用裂项相消法计算求和； （2）先应用，再结合解得，得出，最后计算得出. 【小问1详解】 当时，由， 则，由，则， 所以等差数列的公差为，所以， 故 故数列的前项和． 【小问2详解】 当时，，可得， 当时， ， 将代入上式，则， 综上所述，． ，可得， 又因为，则， 由方程，可得，解得， 由，则等差数列的公差为3，所以， 由，则． 18. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）① ； ②依题意：要证， 当时，，令， 在上单调递增 ，所以不等式成立； 当时，要证，即． 设，则． 设．则． 当时，，所以． 所以在上单调递减． 所以，即． 所以在上单调递减，， 即当时，成立． 综上：当时，在上恒成立． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，结合a的取值范围分析可得函数的单调区间； （2）①利用导数的几何意义，结合动点到直线的最小值列等式即可求出a的值；②分和两种情况讨论，利用导数研究函数的单调性及最值，则不等式可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为，令，得：，令，得：， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 ①由（1）知：．由， 又，所以切点， 由（1）可知，切点在直线的上方， 所以，整理得， 设，则， （也可构造） 设，则在上恒成立． 所以在单调递增． 又，又，方程只有1解：． ②略 19. 已知在四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示． （1）证明：平面； （2）若两两垂直，则称四面体为“斜垂四面体”． ①在斜垂四面体中，若，求直线与平面所成角的正弦值； ②在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于两点．为空间中一点，若为斜垂四面体，求其外接球表面积的最小值，并求出此时的直线方程． 【答案】（1） 如图，连接，由分别是棱的中点，得， 又平面平面，所以平面. （2）① ；②最小值为，直线方程为 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）①利用“斜垂四面体”的定义，将四面体补形成长方体，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解； ②由①可得，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理用的函数表示，进而求出最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）知，平行且等于平行且等于，得与平行且相等， 则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形， ，而，则，同理， 如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系， 由，得， ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. ②由①知将补成长方体，设长宽高分别设为， 则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半即：， ， ，则， 在平面内设，由，得， 显然， 则，， ， 于是， ， 在中，，则为锐角， 因此，即，则，解得， 又， 则当最大时，最小， 不妨令，则， 由函数在上单调递增，则当时，有最大值，此时， 所以的最小值为，此时直线方程为. 【点睛】关键点睛：由“斜垂四面体”的定义推理并将四面体补形成长方体是求解第2问的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $