精品解析：河北省邢台市四县兄弟学校联考2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

2024-2025学年第一学期期末考试 高二数学联考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，只收答题卡. 第I卷（选择题） 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加减法的运算法则即可求解. 【详解】, 故选：C 2. 已知，，且.则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示计算作答. 【详解】，，且， ，解得. 故选：A. 3. 已知点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点坐标可求得直线的斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系可得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，则. 因为，，所以，故. 故选：D. 4. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线倾斜角的定义直接得出结果. 【详解】直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为， 则，解得. 所以该直线的倾斜角为. 故选：D 5. 已知直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出定点，再根据圆心和半径写出圆的方程即可. 【详解】由直线，得， 令，解得，即， 所以所求圆的方程为. 故选：C. 6. 已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆中的关系求解即可. 【详解】由题意可得解得， 所以椭圆方程为. 故选：A 7. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线方程的特征，得到准线方程. 【详解】的准线方程为. 故选：A 8. 若是2和8的等比中项，则实数的值是（ ） A. 5 B. 或5 C. 4 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比中项的意义求得结果. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是双曲线的两个焦点，若p是双曲线左支上的一个点，下列说法正确的是（ ） A. B. 渐近线方程为 C. 若，则面积为16 D. 若，则的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB由题可直接计算离心率与渐近线； C由双曲线定义，双曲线方程结合余弦定理，可得，即可得的面积； D由双曲线定义，双曲线方程结合余弦定理，可得，即可得的面积. 【详解】对于A，由题可得，则，故A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为：，故B错误； 对于C，由题，由图结合双曲线定义可得， 则. 则，则， 得，故C正确； 对于D，因，则， 则， 得，则，故D正确. 故选：ACD 10 直线与圆相切，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意，圆心到直线的距离等于半径建立方程，解之即得. 【详解】由，可得，知其圆心为，半径为， 依题意，圆心到直线的距离为， 解得或. 故选：AC. 11. 若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间共线向量的判断可知与是否平行，即可求解. 【详解】A：由题意，，则两个法向量平行，故A正确； B：由题意，不存在实数使得，则两个法向量不平行，故B错误； C：由题意，，则两个法向量平行，故C正确； D：由题意，，则两个法向量平行，故D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则_____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意有，联立抛物线求交点纵坐标，即可得弦长. 【详解】由题设，抛物线焦点为，即， 令，则，故. 故答案为：4 13. 在等差数列中，若，则____． 【答案】12 【解析】 【分析】由等差数列的等差中项求出，再利用等差中项即可得到答案. 【详解】由等差中项可知，∴， ∴， 则， 故答案为：12. 14. 已知等比数列的各项均为正数，且，则_____. 【答案】10 【解析】 【分析】利用等比数列的性质以及对数运算求解即可. 【详解】因为数列为正项等比数列，则，即， 所以. 故答案为：10. 四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列中， ,. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和，并求的最大值. 【答案】（1） （2），的最大值为. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于的等式，联立可得，即可求解； （2）利用等差的求和公式得到，结合二次函数性质求其最大值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，所以，解得， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1），， 所以当或时，取最大值，最大值为. 所以，的最大值为. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接,由于，分别是，中点.则,得到四边形为平行四边形,再用平行四边形性质得到线线平行，进而得到线面平行； （2）建立空间直角坐标，计算平面的法向量，以及，然后利用公式计算即可. 【小问1详解】 如图，连接,由于，分别是，的中点. 则,则四边形为平行四边形， ,平面,平面, 则平面. 【小问2详解】 如图，可建空间直角坐标系，则 , , 设平面法向量为，则 ，即，解得，故. 根据点面距离公式，则点到平面的距离. 17. 已知，点在的外接圆上试求的值． 【答案】或． 【解析】 【分析】设圆的一般方程，由三角形三个顶点在圆上，将三角形三个顶点的坐标代入圆的一般方程得到方程组，求解方程组得到参数的值，从而得到圆的一般方程，再将点坐标代入圆方程，求得的值. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意得解得， 即的外接圆方程为． 又因为点在所求的圆上， 故点的坐标满足圆的方程， 可得， 即， 解得或． 18. 在圆上任取一点，过点作x轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为. （1）求的方程. （2）直线 与C交于两点（点不重合）. ①求的取值范围； ②若，求. 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）设，则，代入圆的方程，化简整理即可得到所求方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，消去，得到的方程，运用判别式大于0，即可求解的范围，代入，求解方程两根，即可根据弦长公式求解. 【小问1详解】 设，则， 将代入，可得，即 即点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 ①由，联立整理得：， 由，即，化简得， 故， ②当时，，解得， 故. 19. 已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点. （1）求拋物线的标准方程； （2）若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线过定点，分情况确定抛物线方程； （2）联立直线与抛物线，结合韦达定理与圆过原点可得参数值. 【小问1详解】 当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； 当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； 【小问2详解】 由（1）得当抛物线焦点在轴上时，抛物线方程为， 设，， 联立直线与抛物线，得， 则，解得， 且，，， 又以为直径的圆经过原点， 即，， 解得. 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末考试 高二数学联考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，只收答题卡. 第I卷（选择题） 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且.则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 3. 已知点，则直线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 4. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 若是2和8的等比中项，则实数的值是（ ） A 5 B. 或5 C. 4 D. 或4 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是双曲线的两个焦点，若p是双曲线左支上的一个点，下列说法正确的是（ ） A. B. 渐近线方程为 C. 若，则的面积为16 D. 若，则面积为 10. 直线与圆相切，则实数等于（ ） A. B. C. D. 11. 若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 第II卷（非选择题） 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则_____. 13. 在等差数列中，若，则____． 14. 已知等比数列的各项均为正数，且，则_____. 四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列中， ,. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和，并求的最大值. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. 17. 已知，点在的外接圆上试求的值． 18. 在圆上任取一点，过点作x轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为. （1）求的方程. （2）直线 与C交于两点（点不重合）. ①求的取值范围； ②若，求. 19. 已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点. （1）求拋物线的标准方程； （2）若抛物线焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$