精品解析：湖南省常德市安乡县第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

湖南省常德市安乡县第一中学2024-2025学年 高一下学期开学考试数学试题 一、单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则且是“”（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 命题，命题，则下列命题为真命题的是（ ） A B. C. D. 6 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示，则方程解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若函数（，且），则（ ） A. 1010 B. 1011 C. 2022 D. 2023 二、多选题 9. 已知，则下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 11. 函数，对于任意的，方程仅有一个实数根，则m的取值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 函数，且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则__________. 13. 将函数的图象上各点向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的，得到的图象的函数解析式是________. 14. 若关于的不等式，且恰有4个整数解，则的取值范围是__________. 四、解答题 15. 记函数f(x)=的定义域为A， (a<1) 的定义域为B. （1）求A； （2）若BA， 求实数a的取值范围. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调增区间. 17. 建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来大计，是实现中国梦的重要内容．习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）元．已知这种水果的市场售价为16元千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式 （2）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数 （1）关于x的不等式的解集为A，且，求a的取值范围； （2）是否存在实数，使得当时，成立．若存在给出证明，若不存在说明理由. 19. 对于有穷数列，若存在等差数列，使得，则称数列是一个长为的“弱等差数列”. （1）证明:数列是“弱等差数列”; （2）设函数，在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明： 是“弱等差数列”; （3）证明:存在长为2024的“弱等差数列”，且是等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省常德市安乡县第一中学2024-2025学年 高一下学期开学考试数学试题 一、单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的并运算，求即可. 【详解】由题设，. 故选：D 2. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以. 故选：A. 3. 设，则且是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先推出充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案. 【详解】若且，一定有，故充分性成立， 若，不能得到且， 比如满足，但不满足且，必要性不成立， 故且是的充分不必要条件. 故选：A 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先可以大致判断的取值范围，初步断定，只需比b与c的大小即可；根据所给表达式形式以及三角函数值域即可判断. 【详解】解：易知， 且 故只需比b与c大小， 此时由根号和c中分母4联想二倍角公式，因此要比b和c大小， 即比较和大小， 而明显，所以. 即可得 故选：B. 5. 命题，命题，则下列命题为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别判断出命题的真假，再去判断各选项的真假. 【详解】取，则，故命题为真，的图象恒在的图象上方，故命题为真， 所以为真，为假，为假，为假. 故选：A 6. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦的二倍角公式求得的值，进而利用诱导公式求得答案． 【详解】解：因为， 所以． 故选：C． 7. 定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示，则方程解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 由图象可得方程在上有三个实数解，结合函数的值域与单调性即可得解. 【详解】由图(a)可知，方程在上有三个实数解， 由图(b)可知，函数在上单调递减，且值域为， 所以方程有三个实数解. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了数形结合思想，属于基础题. 8. 若函数（，且），则（ ） A. 1010 B. 1011 C. 2022 D. 2023 【答案】B 【解析】 分析】由函数式计算出，因此对所求和采取倒序相加法求解． 【详解】由，得， 设， 则. 两式相加，得，所以. 故选：B 二、多选题 9. 已知，则下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用作差比较法与不等式的性质逐一判断即可. 【详解】在两边同除以负数得，即，与A项矛盾. 由，，得，与B项矛盾. 由，，， 故不一定小于0，故C不正确. 由得，又，两式相乘得， 两边同除以负数，可得，故D正确. 故选：ABC. 10. 已知函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先由函数可知点的坐标，再由三角函数的定义可求解. 【详解】由题意，可知或， 当点是时， 由三角函数的定义有， 所以； 当点是时， 由三角函数的定义有， 所以. 故选：AC 11. 函数，对于任意的，方程仅有一个实数根，则m的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】把转化为，利用的图像和性质解得，对照四个选项，得到正确答案. 【详解】由可得：. 因为，所以. 因为，所以. 因为对于任意的，方程仅有一个实数根， 所以，解得：. 对照四个选项，只有A、C在. 故选：AC 三、填空题 12. 函数，且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】由已知求出定点的坐标，根据待定系数法求出，从而可得结果. 【详解】由，得，所以定点， 设，又，得，所以， 所以， 故答案为：4. 13. 将函数的图象上各点向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的，得到的图象的函数解析式是________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出结果． 【详解】函数的图象上各点向左平移个单位长度，得到函数的图象，再把横坐标缩短为原来的，得到函数的图象． 故答案为： 14. 若关于的不等式，且恰有4个整数解，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设函数，且，再分和两种情况讨论，结合对数函数的性质即可得解. 【详解】设函数，且， 当时，若，则， 此时，不等式1）的整数解的个数大于4，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，所以4个整数解为， 所以，即，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：在解跟底数为参数的对数函数的问题时，通常分底数和两种情况讨论. 四、解答题 15. 记函数f(x)=的定义域为A， (a<1) 的定义域为B. （1）求A； （2）若BA， 求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）令被开方数大于或等于零，列出不等式进行求解，最后需要用集合或区间的形式表示出来； （2）先根据真数大于零，求出函数的定义域，再由BA和a<1求出的取值范围. 【详解】（1）由，得，解得：或，即； （2）由，得， 因为，故，所以， 因为BA，故或，即或， 又，所以或 故当BA时，实数的取值范围是 16. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）先化简解析式，直接求周期； （2）根据复合函数的单调性列不等式，求出增区间. 【小问1详解】 ， 故的最小正周期. 【小问2详解】 由，得， 所以函数的单调增区间为. 17. 建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容．习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）元．已知这种水果的市场售价为16元千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式 （2）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是430元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，则化为分段函数即可， （2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 当时，，对称轴为, 当时，， 当时， 当且仅当时等号成立 答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是430元． 18. 已知函数 （1）关于x的不等式的解集为A，且，求a的取值范围； （2）否存在实数，使得当时，成立．若存在给出证明，若不存在说明理由. 【答案】（1） （2）当时，条件成立 【解析】 【分析】（1）结合二次函数图像及性质求解不等式的解集，借助于得到关于的不等式，从而求解其取值范围；（2）将已知条件化简可知函数为偶函数且函数值为非负数，由此可求得实数的值 【小问1详解】 若关于x的不等式的解集，则，即 当时．不等式解集A为 由题意可知：， 当时，不等式解集A为 由题意可知：， 综上所述： 【小问2详解】 存在，． 证明：当时， 又 所以：当时，条件成立． 19. 对于有穷数列，若存在等差数列，使得，则称数列是一个长为的“弱等差数列”. （1）证明:数列是“弱等差数列”; （2）设函数，在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明： 是“弱等差数列”; （3）证明:存在长为2024的“弱等差数列”，且是等比数列. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）找到一个符合条件的数列即可证明； （2）令得到极值点符合的等式关系，即为和图象交点的横坐标，再结合二者图象的特点找到交点的位置，确定数列即可证明； （3）先构造一个等比数列，其通项公式为，证明存在一个正整数，使其为长为2024的“弱等差数列”即可. 【小问1详解】 存在数列是等差数列，且，所以数列是“弱等差数列”. 【小问2详解】 ，令得， 所以极值点即为和图象交点的横坐标， 由和在内的图象可知，在每个周期都有一个交点， 所以令，则，所以是“弱等差数列”. 【小问3详解】 构造正整数等比数列，，其中是待定正整数， 下面证明：存在正整数，使得等比数列是长为2024的“弱等差数列”. 取若存在这样的正整数使得 成立， 所以， 由，得 ， 于是， 又因为，所以当时，， 而， 所以， 最后说明存在正整数使得， 由， 上式对于充分大的成立，即总存在满足条件的正整数. 所以，存在长为2024的“弱等差数列”，且是等比数列. 【点睛】思路点睛：新定义题目解题策略： （1）依据新定义取特殊值证明其成立； （2）如果有多个条件，先假设符合其中一个条件，再证明其余的条件也符合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$