精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区亿利东方学校三校联考2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

亿利东方学校2024—2025学年第一学期期末学科素养综合测评 九年级数学试卷 命题：初三数学组 审题：初三数学组 分值：100分 时间：90分钟 一、单选题(共8小题，每小题3分，共24分) 1. 用配方法解方程时，配方后所得的方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 2. 不透明的袋子中装有5个红球、3个黄球、2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出黄球的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．从袋子中随机摸出一个球共有10种等可能的结果，再得出从袋子中随机摸出一个球是黄球的结果有3种，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：∵从袋子中随机摸出一个球共有种等可能的结果，其中，从袋子中随机摸出一个球是黄球的结果有3种， ∴从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为， 故选：C． 3. 反比例函数的图象经过点，则它的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象、求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法和反比例函数的图象是解题关键．将点代入求出反比例函数的解析式，由此即可得． 【详解】解：由题意，将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴这个反比例函数的图象位于第二、四象限， 故选：B． 4. 已知抛物线与交于点，，则关于的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系即可得出结论． 【详解】解：∵与交于点，两点， ∴方程个根为，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与抛物线与x轴的交点的横坐标的关系，二次函数的性质，利用数形结合法解答是解题的关键． 5. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到到的位置，若四边形的面积为,则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理求得即可． 【详解】∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置， ∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于24， ∴AD=DC=， ∵DE=2， ∴Rt△ADE中，AE=． 故选：D． 【点睛】考查了旋转的性质以及正方形的性质，解题关键是利用了旋转的性质得到：四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积． 6. 如图，四边形内接于⊙O，已知点C为的中点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据内接四边形的性质得出的度数，再由点C为的中点得出，最后利用等腰三角形的性质得出结果． 【详解】解：∵四边形内接于⊙O，， ∴， ∵点C为中点， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意得出的度数和． 7. 如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质得，AD=BC，由可判断△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得，然后根据三角形面积公式得，则． 【详解】∵平行四边形ABCD ∴，AD=BC ∵E为边AD的中点 ∴BC=2AE ∵ ∴∠EAC=∠BCA 又∵∠EFA=∠BFC ∴△AEF∽△CBF 如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G， 则， ∴， ∵△AEF的面积为2 ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题． 8. 如图，若二次函数图象的对称轴为，与y轴交于点C，与x轴交于点A、和点B，点，则①；②，③，④当时，，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系等知识点，根据二次函数的性质，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，， ∵是抛物线对称轴， ， ， ，故①错误， ∵过点， ∴，故②错误， 由图象可得抛物线与x轴交于两点， ∴，故③错误， 根据对称轴可得A点横坐标为 ， 由图象可得， 当时，，故④正确， 综上所述有1个正确， 故选：A． 二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是：， 故答案为：． 10. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了解一元二次方程，以及根的定义．先把代入原方程，求出k的值，进而再将k的值代入原方程，然后解方程即可求出方程的另一个根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 将代入原方程得：， 解得：， ∴方程另一个根为． 故答案为：． 11. 如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM=__米． 【答案】3.42 【解析】 【详解】解：根据题意得：AO⊥BM，NM⊥BM， ∴AO∥NM， ∴△ABO∽△NAM， ∴， ∵OA=1.52米，OB=4米，OM=5米， ∴BM=OB+OM=4+5=9（米）， ∴， 解得：NM=3.42（米）， ∴林丹起跳后击球点N离地面的距离NM为3.42米． 12. 二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握求二次函数的顶点坐标的方法是解题关键．直接根据二次函数的解析式的顶点式即可得． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故答案为：． 13. 如图，在直角坐标系中，的边在轴上，，点在上，，且的面积为，若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．设点的坐标为，则，从而可得，再根据三角形的面积公式可得，然后将点代入反比例函数的解析式求解即可得． 【详解】解：设点的坐标为， ∵的边在轴上，，即， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴将点代入得：， 故答案为：． 14. 如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 如图：连接，先根据垂径定理可得，，然后在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：． ∴的半径为． 三、解答题(共6小题，共58分) 15. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，． （1）求这个反比例函数的表达式 （2）求的面积． 【答案】（1） ； （2） ． 【解析】 【分析】（1）根据一次函数求出点坐标，在代入反比例函数即可得到答案； （2）联立两个函数，求出交点坐标，再求出一次函数与y轴的交点，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得， ，解得： ， 代入反比例函数得， ，解得， ∴ ； 【小问2详解】 解：由题意得， 当 时，，即 联立两个函数可得， ，解得： 或， ∴ ，， ∴ ． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数及一次函数反比例函数图像共存交点围成图形面积问题，解题关键是联立两函数求出交点将三角形转换成底边在x轴y轴上的三角形． 16. 为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其他活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两种统计图．请根据统计图解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽查了______名学生；扇形统计图中喜欢“声乐”部分扇形的圆心角为______度． （2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列表或画树状图方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联；画树状图法求概率； （1）用喜欢声乐的人数除以它所占百分比即可得到调查的总人数,进而用乘以喜欢“声乐”的人数的占比，即可得出答案； （2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中“舞蹈、声乐”这两项活动的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：一共抽查： 喜欢“声乐”部分扇形的圆心角为：． 【小问2详解】 画树状图如下： 共12种等可能结果．P（恰好选中“舞蹈、声乐”） 17. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为10，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）运用圆周角定理得，根据三角形的内角和得出，因为是的半径，且，故直线是的切线； （2）结合垂径定理得，运用30度所对的直角边是斜边的一半，即，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． 【小问2详解】 解：如图，∵是的直径，且于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元． 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元． 据此规律，请回答： （1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ 【答案】（1） 2x，，（2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元． 【解析】 【详解】（1） 2x，． (2)解：由题意，得(30＋2x)(50－x)＝2 100 解之得x1＝15，x2＝20． ∵该商场为尽快减少库存，降价越多越吸引顾客． ∴x＝20． 答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元． 19. 如图，在正三角形中，是边上任意一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，，得出，证明，得出，即，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ， 又， ， ， ； 【小问2详解】 解：等边三角形，，， ，， 由（1）知， ， 即， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，两个角对应相等的两个三角形相似． 20. 如图，抛物线与直线l交于点、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点P在抛物线上，且在直线l上方，若的面积为，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）点坐标为． 【解析】 【分析】此题主要考查利用待定系数法求函数解析式和利用二次函数的顶点式求最值，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴，交直线于点，设，，然后根据可求解． 【小问1详解】 解：将、代入二次函数解析式， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的函数解析式为， 将、代入得， 解得， 直线的函数解析式为； 如图，过点作轴，交直线于点． 设，， ， ， ∵的面积为， ∴，整理得， 解得． ∴， ∴点坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 亿利东方学校2024—2025学年第一学期期末学科素养综合测评 九年级数学试卷 命题：初三数学组 审题：初三数学组 分值：100分 时间：90分钟 一、单选题(共8小题，每小题3分，共24分) 1. 用配方法解方程时，配方后所得的方程（ ） A. B. C. D. 2. 不透明的袋子中装有5个红球、3个黄球、2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象经过点，则它的图象位于（ ） A 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 4. 已知抛物线与交于点，，则关于的方程的解是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 5. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到到的位置，若四边形的面积为,则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于⊙O，已知点C为的中点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 8. 如图，若二次函数图象的对称轴为，与y轴交于点C，与x轴交于点A、和点B，点，则①；②，③，④当时，，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是__． 10. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根的值是______． 11. 如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM=__米． 12. 二次函数的顶点坐标是______． 13. 如图，在直角坐标系中，的边在轴上，，点在上，，且的面积为，若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 14. 如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为______． 三、解答题(共6小题，共58分) 15. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，． （1）求这个反比例函数的表达式 （2）求的面积． 16. 为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其他活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两种统计图．请根据统计图解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽查了______名学生；扇形统计图中喜欢“声乐”部分扇形的圆心角为______度． （2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率． 17. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，半径为10，求的长． 18. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元． 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元． 据此规律，请回答： （1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ 19. 如图，在正三角形中，是边上任意一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，抛物线与直线l交于点、两点． （1）求抛物线解析式； （2）已知点P在抛物线上，且在直线l上方，若面积为，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$